포스터 참고 : 버블장력 실험 페르마의 점 실험기

[이정신]

페르마의 점 거리의 합이 최소인 점을 찾는 것은 프랑스의 수학자 페르마(Fermat :1601~1665)에 의해 다음과 같은 문제로 제시되었다. '삼각형의 각 꼭지점으로부터의 거리의 합이 가장 작게 되는 점을 구하여라.' 구하여는 점은 페르마의 이름을 따서 페르마의 점(Fermat Point)이라고 불리며, 이 문제는 여러 수학자들의 지속적인 노력으로 해결되었다. 페르마의 점 실험기 교내외에서 수학체험전을 하며 페르마의 점 실험기를 여러 번 만들었었다. 처음에는 아크릴 판에 드릴로 구멍을 뚫어 쇠막대를 끼워넣었었다. 그러나 생각처럼 단단하게 고정이 되지도 않았고 잘못 다루면 아크릴 판 구멍 부분이 깨어져 버렸다.
두 번째는 볼펜을 잘라서 기둥를 만들고 위 아래로 나사도 끼워넣어 보았다. 하지만 이것도 고정시킨 나사 부분이 헐거워져서 흔들거리기는 마찬가지였다. 더군다나 나사의 모양의 전체적인 분위기를 망쳐 버렸다.(예쁘지 않았다.) 세 번째로 만든 것은 기둥을 예쁜 색의 아크릴 막대를 사용했다.(오른쪽 사진) 지름이 약 3mm 정도 했는데 노락색, 초록색 막대가 아주 예쁘고 다루기가 쉬웠다. 또 재료가 같은 아크릴 판이어서 순간 접착제를 이용하면 쉽게 붙었다. 그러나 최대의 단점이 있었다. 아주 약하다는 것이다. 혹 실험을 하다 실수라도 하면 기둥을 뚝 부러져 애써 만든 페르마의 점 실험기가 쓸모 없어져 버리곤 했다. 고친다는 것도 쉽지 않았다. 네 번째는 바로 아래에 있다. 자석을 이용한 것이데 우연히 강력 자석이 있다는 것을 알게 되었고 이것을 이용하면 페르마의 점 실험기를 쉽게 만들 수 있을 것 같았다. 자석의 힘이 아주 세서 흔들리지 않았고, 잘못해서 부서지더라도 다시 붙이면 되었다. 꼭지점을 이동할 수도 있었고 기둥을 추가하고 제거하기도 쉬웠다. 다시 말하면 삼각형(정삼각형, 예각, 직각, 둔각 삼각형), 사각형, 오각형 등등의 도형을 쉽게 만들 수 있었다. 그리고 실험이 끝난 후 자석을 모두 붙이면 긴 막대모양이 되기 때문에 보관도 아주 쉬웠다. 자석의 가격은 하나에 300원이었다. 평상시에는 메모지를 붙여놓다가 실험이 필요할 때 떼어내어 쓰면 된다.
준비물 : 아크릴판 2장, 아크릴용 칼, 자, 자석 15개
아크릴 판을 원모양으로 자를 수 있다면 아주 좋겠지만 그것은 좀 어렵다. 그래서 아크릴 판을 정팔면체 모양으로 자르기로 했다. 우선 아크릴 판을 정사각형 모양으로 자른다. 그 다음 정사각형의 각 변을 1 : 1.414 : 1의 비로 나누어 그림처럼 자르면 정팔면체가 생긴다.
	1. 바닥에 자석 세 개를 놓는다. 2. 자석 위에 팔각형 아크릴 판 하나를 올려 놓는다. 3. 자석을 3개 겹쳐서 기둥을 만들고 그것을 처음에 자석 놓았던 자리에 가져간다. 그러면 아크릴 판을 사이에 두고 자석들이 딱 달라붙어 고정이 된다. 4. 자석 위에 팔각형 아크릴 판 하나를 다시 올려 놓는다. 5. 자석 세 개를 아크릴 판 위에 올려 놓는다. 6. 이제 페르마의 점 실험기가 만들어졌다.
페르마의 점의 성질 1. 삼각형에서 페르마의 점의 성질 - 삼각형의 세 변 위에 각각 정삼각형을 그렸을 때, 세 정삼각형의 외접원의 교점이 페르마의 점이다. - 삼각형의 세 꼭지점과 페르마의 점을 잇는 세 선분이 이루는 각의 크기는 모두 120° 이다. <- 그림설명 : 박부성님의 Fermat 점 작도법 2. 다각형에서 페르마의 점의 성질 - 페르마의 점은 다각형의 꼭지점의 개수보다 2개 적게 생긴다. - 페르마의 점에서 꼭지점을 잇는 선분을 그렸을 때 세 선분이 이루는 각의 크기는 모두 120°이다. - 삼각형의 세 변 위에 각각 정삼각형을 그렸을 때, 각 변을 사이에 두고 마주보는 두 꼭지점까지의 길이가 서로 같다.
페르마의 점 증명 1. 삼각형에서의 페르마의 점 증명 오른쪽 그림에서 △ABC 의 내부에 한 점 D를 잡아 각 꼭지점을 연결시킨다. 이 때 생긴 (노란)△ABD를 점 B를 중심으로 60° 회전이동시킨 삼각형을 △A'BD'이라고 하면 AD + BD + CD = A'D' + DD' + CD 이 때의 최단거리는 A'C이다. 마찬가지로 △BCD를 점 C를 중심으로 60° 회전시켜 (파란)△B'CD''을 만들 수 있고, 이 때의 최단거리는 AB'이다. AB' = A'C 이므로 두 선분의 교점 E가 페르마의 점이다. 왼쪽 그림에서 페르마의 점 E에 점 D를 일치시키면 △BDD'은 정삼각형이므로 ∠DD'B = 60° , ∠D'BD = 60° ∴ ∠BDC = 120° △ABD ≡ △A'BD' 이므로, ∠ADB = ∠A'D'B = 120° 따라서 페르마의 점 D에서 세 꼭지점에 이은 세 선분은 모두 120°를 이룬다.
2. 사각형에서의 페르마의 점 증명 그림과 같이 사각형 ABCD의 내부에 임의의 두 점 E, F를 잡아 각 꼭지점과 연결시킨다. 이 때, AE + BE + EF + CF + DF의 최소값을 찾기 위해 △ABE, △CDF를 60° 회전이동시키면 AE = A'E' (∵ △ABE ≡ △A'BE') CF = C'F' (∵ △CDF ≡ △C'DF') BE = EE' , DF = FF' (∵ 정삼각형)이다. 따라서 AE + BE + EF + CF + DF = A'E' + EE' + EF + FF' + C'F' ≥ A'C' 이므로, A'C'이 가장 짧은 거리이다. (참고 : 아하! 신기한 체험수학전 2000 p151, 수학사랑, 2002)
생활 속의 페르마의 점 바다 속 여러 곳에는 석유가 많이 나오는 유전들이 있다. 유전에서 생산된 석유를 한 곳으로 모으기 위해서 '석유 이동 통로'를 만들려고 한다. 돈을 절약하기 위해 통로의 길이를 가장 짧게 하려고 한다. 유전들을 어떻게 연결하면 좋을까? 광섬유를 사용하여 세 도시간의 정보통신망을 구축할려고 한다. 연결하고자 하는 세 도시 사이의 연결망은 땅을 파서 케이블을 설치하는데, 여기에 드는 총 비용은 케이블 설치와 케이블을 놓게 될 땅을 파는 인건비에 따른 것이다. 이 비용을 최소화하기 위해 케이블을 설치할 때 그 길이를 가장 짧게 하려고 한다. 세 도시를 어떻게 연결하여야 하는가? 비눗막에서도 페르마의 점을 찾을 수 있다. 비누막이 형성될 때는 가능한 한 표면이 비누막은 공기에 닿는 넓이가 가장 작게 되도록 퍼진다는 성질을 가지고 있다. 따라서 비부방울은 그 모양이 공의 형태를 띠게 된다. 그러나 이러한 비누방울이 모여 거품을 이룰 때는 비누방울의 가장자리가 120°의 각도로 삼각교차를 하며 만나는 다른 형태가 된다. 이 삼각교차점은 세 직선이 120°의 각도로 만나는 점으로 '페르마의 점'이라 할 수 있다. 이를 응용하면 길이가 가장 짧은 연결 통로를 만들 수 있다.
비누용액 만들기 준비물 (최소사양)- 물통, 물, 세제, 글리세린 또는 물엿 , 세므론, 수건, 스펀지(거품 제거용), (고무장갑) 물과 주방세제만을 이용하면 점도가 약해서 비누막이 잘 터진다.7 1. 특별한 준비가 되지 않았을 때는 '물 + 세제 + 물엿', 또는 '물 + 세제 + 글리세린'을 이용한다. 2. 가장 좋은 방법은 '물 + 세제 + 글리세린 + 세므론' ( 16 : 4 : 2 : 1 ) 으로 비누용액을 만드는 것이다. ① 증류수나 깨끗한 물 1000㎖ 에 주방용 세제 250㎖ 정도를 섞는다. ② 글리세린(무색투명한 점성액체로서 냄새가 없고 단맛이 있음) 125㎖를 넣는다. 글리세린은 수분의 증발을 막아서 비누방울을 오랫동안 유지시키는 역할을 한다. ③ 다시 세므론 60㎖을 넣는다. 세므론은 세제의 끈기를 높여 주어 비누방울이 터지지 않고 잘 만들어진다. ④ 위의 재료를 잘 섞는다. 혼합액을 잘 휘저어 섞고, 그대로 잠시동안 가만히 놓아둔다. ⑤ 비누거품이 생기면 거품을 걷어낸다. 비누방울은 오랫동안 전 세계 어린이들의 사랑을 받아왔다. 18세기의 그림에서도 어린이들이 비누방울을 가지고 노는 모습이 나온다. 비누방울이 생성되는 원리는 표면장력에서 찾을 수 있다. 표면장력이란 액체분자들이 표면에서 서로 끌어당겨 최소의 면적을 유지하려고 하는 힘을 말한다. 꽃잎에 맺힌 이슬방울이 이 때문에 생겨나는 것이다. 비누방울은 그 안에 공기를 담고 있는 공 모양의 비누필름 층으로 볼 수 있다. 이 필름은 약 1마이크로미터(1000분의 1밀리리터)로 눈으로 볼 수 있는 것 중에서 가장 두께가 얇은 막이다. 비누방울의 두께는 거의 빛의 파장에 가깝기 때문에 도달한 빛의 일부는 바깥층에서 반사되고 일부는 안쪽에서 반사된다. 이 두개의 반사광이 서로 간섭해 다양한 색을 나타내는 것이다. 그러나 비누방울은 길어야 10초 정도만 지나면 수분이 증발해 터져 버린다. 화창한 날에는 비누방울이 잘 안 만들어지는 것도 이 때문이다. 이를 막기 위해 비누나 세제, 물과 함께 글리세린을 넣어주는 것이다. 글리세린은 물의 증발을 늦춘다. 비누방울 두개를 가까이 가져가면 서로 달라붙는다. 그렇다면 이때 달라붙은 면의 모양은 크기가 큰 쪽으로 휜다, 작은 쪽으로 휜다, 아니면 평면이다 어느 것일까? 답은 최소 면적을 갖기 위한 표면장력 때문에 평면이 된다. 거품목욕을 하면서 확인해보시라. (매경이코노미 2003년 5월 23일자 참고, 그림참고 : http://www.clownhotline.com/bubbles.htm)

출처  :  http://user.chol.com/~badang25/bdf03.htm