고체역학 이해!

[Kim byoungil]

1. 고체역학이란?

 평형 상태의 힘이 고체(변형이 가능한 재료)에 가해졌을때 그 재료의 변형에 대한 학문.  따라서 고체역학에서는 다음의 3가지 개념에 대해서 배운다.

 (1) 힘

  물체 외부에 가해지는 외력, 물체내부내 존재하는 내력으로 분류

또한 일반적으로 힘은 직진력(Force)과 회전력(Moment)을 포함한다.

물체에 가해지는 힘이 평형상태에 있기 위한 조건 유도

 (2) 고체 (재료)

  재료의 물성치에 대한 정의 및 유도.

물성치는 내력과 변형률의 관계식으로 나타내어진다.

 (3) 변형

물체 내부에 존재하는 내력에 의하여 물체가 변형하며 그 변형은 변형조건을 만족하여야 한다. 변형(률)에 대한 정의 및 유도.

2.    힘의 평형 조건

Ø  힘의 정의

 고체역학내에서의 힘은 일반적으로 직진력(Force)과 회전력(Moment)을 동시에 의미한다.  3차원 공간상내에서 Force 및 moment는 각각 3개의 성분을 갖는 vector로 표시된다.

여기서 특히 moment는 회전력을 의미하며, + 방향을 다음과 같은 회전평면의 수직방향으로 정의한다.

* 참고 :

변형 가능한 재료의 해석절차에 제시된 세 예제는 statically indeterminate한 경우이다. 즉 힘의 평형 조건식에서 미지수의 갯수가 평형 조건식보다 많다. 따라서 힘의 평형식, 변형의 조건식, 재료의 물성치 수식을 동시에 연립으로 풀어야 반력 및 변형 등을 계산할 수 있다.

²  축방향의 하중 및 변형

일차원 구조물 내에 축방향 하중이 가해질때 그 구조물을 Bar라고 부른다.

이때 축방향의 하중과 변형은 Bar의 길이(l) 및 단면적(A), 물성치와 관련되어 있다.

다음과 같은 지지조건하에서 외부하중(P)가 길이(l), 단면적(A)의 Bar에 가해질때 변형량이 d라 하자.

축방향 변형은 다음과 같은 선형성을 갖는다.

  1) 변형량은 하중 크기에 비례한다.

  2) 변형랑은 길이에 비례한다.

  3) 변형량은 단면적에 반비례한다.

위의 내용을 정리하면

관계를 다음과 같이 표현할 수 있다.

즉, 구조물에서 단위 면적당 가해지는 힘을 응력(stress, s), 단위 길이당 늘어나는 변형량을 변형률(strain, e)이라 하며 stress와 strain의 비례상수를 E라고 할 수 있다.

Young's Modulus E는 재료의 형상(l, A)과 무관한 재료의 물성치이다.

인장(+)에 대해 는 압축(-)이므로 비례관계에서 (-)가 있음에 주의하라. 또한 직관적으로 보다 는 항상 작으므로 n는 1보다 작음(실제는 0.5)을알 수 있다. 대체적으로 금속재료는 n=0.3을 갖는다.

n(steel) = 0.28,   n(Al) = 0.33,   n(Rubber) = 0.49

4. Beam 이론

구조물의 길이가 단면의 폭 혹은 높이보다 상대적으로 길고, 가해지는 하중이 길이의 수직방향으로 가해질 때 그 구조물을 일반적으로 Beam이라 한다. 길이방향을 x, 수직방향을 y방향으로 정의한다. 

* 하중의 종류

  분포하중

  집중하중

  집중 모멘트

* 지지조건의 종류 및 반력

	수직		회전
	변위	반력	각도	모멘트
단순지지	0	미지수	미지수	0
고정단	0	미지수	0	미지수
Sliding	미지수	0	0	미지수
자유단	미지수	0	미지수	0

Ø  Beam의 평형방정식

일반적으로 Beam에는 수직방향으로 하중이 가해지므로 2차원 평형방정식에서 다음 2개의 식이 적용된다.

따라서 Beam문제가 statically determinate되기 위해서는 미지수(반력, 모멘트)가 2개이어야 한다.

*  내력의 부호 정의

**  면의 방향

5.    응력(stress)의 정의

물체가 외력을 받고 있을때 물체 내부에는 내력이 발생한다.

발생되는 내력의 방향과 크기는 그 물체의 평형조건에 따라 결정된다. 임의의 점에서의 내력을 표시하기 위해서는 우선 그 점을 통과한 면의 방향이 결정되고, 그 면에 존재하는 분포하중의 크기와 방향이 결정되어야 한다.

이러한 임의의 점에서의 내력을 일반적으로 물체내의 응력(stress)이라 한다.

따라서 임의점에서의 응력은 그 점을 통과하는 면의 방향과 그 면에 존재하는 분포하중으로 표시되어 진다. 

다음 그림과 같이 점 O에서 존재하는 내력을 2차원으로 살펴보자.

또한 Mohr's circle에서 관찰될수 있는 사항은 다음과 같다. 

(1) 최대 인장 응력및 최소 인장 응력

²  Measurement of Strain

Strain Gage는 어떤 물체의 표면의 Normal Stain을 측정할 때 많이 이용되고 있다. 아래의 그림과 같이 많은 수의 얇고 긴 저항들을 가진 Rosette를 가지고 Strain의 변화를 측정할 수 있다.

Ø  측정방법

1. Rosette을 해석하고자 하는 물체 (body) 에 부착시킨다. (대개 이 Rosette는 1mm  이하의 초박형인 경우가 많다.)

2. 휘스톤브릿지 회로를 (Wheatstone-bridge Circuit ) 을 이용하여 저항의 변화를 관찰함으로써 Strain의 변화를 해석하게 된다.

< 원리 >

1.

 의 원리 즉, Rosette의 저항의 길이변화가 저항의 변화가 되고 이것이 출력 전압의 변화로 이어진다.

2. 우리는 이 출력전압의 변화를 이용하여 strain을 측정할 수 있으며 두번째 그림처럼 저항의 방향을 달리하여 나온 데이터를 바탕으로 계산식을 이용해서 ( 또는 Mohr's circle 로 ) Normal Strain을 구할 수 있다.

²  Elastic stress-strain relations

다음과 같은 3차원 물체 내부에 존재하는 Stress(응력)와 발생하는Strains(변형률)은 그 재료의 물성치에 의하여 서로 관련되어 있다.

Material	E (GPa)	n	G (GPa)	a (10-6/oC)
Aluminum	68~78.6	0.32~0.34	25.5~26.5	20~24.1
Steel	193~220	0.26~0.29	75.8~82.0	9.9~12.8
Lopper	117~118	0.33~0.36	63.4~64.8	16.6~16.9
Rubber	~0.0041	0.5	~0.001	126~198

* 대체적으로 금속은 Poisson's Ratio n=0.3 으로 계산한다.

5.    CRITERIA FOR INITIAL YIELDING

재료가 견딜수 있는 응력은 한정되어 있다.

따라서 내부의 발생응력이 재료의 (허용, 항복)강도보다 작게 설계되어야 한다.

응력 < (허용, 항복)강도

1.    단축인장의 경우

 : Yield Strength

    (재료가 가지고 있는 물성치)

옆의 그림에서와 같이

를 고려하여 항복강도보다 작은 힘이 걸리도록 재료의 단면적을 결정하여야 안전한 설계가 된다.

Ø  만일 단축이 아닌 여러방향에 힘이 걸린다면 어떻게 설계를 하여야 안전한 설계가 되는가?

                  -> Yield Criteria 이론

 : Yield Strength

    (재료가 가지고 있는 물성치)

옆의 그림에서와 같이

를 고려하여 항복강도보다 작은 힘이 걸리도록 재료의 단면적을 결정하여야 안전한 설계가 된다.

Ø  만일 단축이 아닌 여러방향에 힘이 걸린다면 어떻게 설계를 하여야 안전한 설계가 되는가?

                  -> Yield Criteria 이론