수학/유클리드의 삼각형 3/6월29일

[나래]

유클리드 삼각형 3

삼각형의 한 꼭짓점에서 마주보는 변위의 점을 연결하여 그 변과 직각을 이루는 선분을 삼각형의 높이라고 한다. 삼각형 모양에서 적절한 조각을 잘라내어 새로 붙이게 되면 직사각형 모양을 만들 수 있다. 삼각형의 넓이는 직사각형의 넓이와 같다. 삼각형의 높이와 밑변의 길이를 알고 있다면 그 삼각형의 넓이는 사각형의 넓이를 이용하여 구할 수 있다.

삼각형의 넓이

=(직사각형의 넓이)÷(가로의 길이)×(세로의 길이)÷2=(밑변의 길이)×(삼각형이 높이)÷2

평행선에 그려진 삼각형들은 밑변의 길이만 같다면 높이가 모두 같기 때문에 그 넓이가 같다.

이등변 삼각형의 성질

1)이등변 삼각형은 두 변이 길이가 같고 마주보는 두 밑각의 크기가 서로 같다. 이등변 삼각형을 같은 길이의 변이 겹쳐지도록 접으면 직각삼각형을 만들 수 있다.

2)이등변 삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분 한다. 삼각형이 이등변삼각형인지 아닌지 알 수 있는 가장 쉬운 방법은 두 변의 길이가 같은지 확인하는 것이고 또 다른 방법은 두 개의 각을 비교해 보는 것이다.

3)두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변 삼각형이다.

정삼각형은 이등변 삼각형 중에서 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형이다. 정삼각형은 어느 방향으로 돌려보아도 모양이 균형 잡혀 있고 대칭적인 모양을 갖고 있다. 정삼각형에는 대칭축이 세 개가 있다. 정삼각형은 이등변 삼각형의 성질을 갖고 있기 때문에 정삼각형을 어느 방향으로 돌려보아도 모양이 똑같아 세 개의 내각 중 아무것이나 이등변 삼각형의 꼭지각 역할을 할 수 있고 나머지 각은 밑각이 되므로 결국 세 내각이 모두 같은 크기를 갖게 된다.

∠A+∠B=+180°이고 ∠A=∠B=∠C이다.

파스칼은 수학자이자 물리학자이고 철학자로 많은 사람들에게 알려져 있다. 파스칼은 수학자로서 ‘파스칼의 정리’라는 업적을 만들었고 페르마라는 수학자와 도박과 관련된 문제를 풀어 ‘확률론’이라는 수학 분야를 개척한 유명한 수학자이다. 파스칼 삼각형은 도형이 아니라 파스칼이 만든 특별한 수의 배열을 말한다. 17세기 파스칼이 만들었다고 알려져 파스칼 삼각형이라는 이름이 붙었지만 실제 역사적으로는 동양인 중국에서 11세기에 천문학자이며 수학자인 가헌이 먼저 발견했다고 한다. 파스칼 삼각형은 단순하면서도 여러 가지 수학적인 의미를 가지는 수의 삼각형이다. 모든 줄의 가장 왼쪽과 가장 오른쪽의 숫자는 모두 1이다. 파스칼 삼각형의 원리는 윗줄의 이웃한 두 수의 합으로 수를 만들어 가는 것이다. 파스칼 삼각형의 또 다른 특징 중 하나는 대각선 방향으로 수를 읽어낼 때 삼각수를 찾을 수 있다는 것이다. 1,3,6,10,15,21등이 바로 삼각수에 속하는 것으로 삼각수는 1부터 배열해서 피라미드 모양 즉 삼각형 모양이 되는 수를 말한다.

직각삼각형은 직각을 제외한 다른 두 내각의 크기의 합이 90°이다. 직각삼각에서 빗변의 중점은 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있다. 빗변은 직각의 대변 즉 직각과 마주보고 있는 변이다. 이 빗변의 길이를 정확히 이등분하는 점이 바로 중점인데 중점에서 세 꼭짓점의 길이를 재면 모두 같다. 중국에서 직각삼각형의 모양이 다리를 구부린 모양과 비슷하다고 하여 구고라 부른 것으로 밑변을 구, 높이를 고, 빗변을 현이라고 했다. ‘고’와 ‘구’를 각각 한 변으로 하는 두 정사각형의 넓이의 합은 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 같다.

구²+고²=현²

(밑변)²+(높이)²=(빗변)²

바로 피타고라스의 정리와 같다.

직삼각형은 특별한 성질을 많이 갖고 있는 삼각형이다. 다른 도형과 직각삼각형의 관계에서 탈레스의 정리라고 불리는 성질이 있다. 원과 직각삼각형의 관계를 보여주는 이 정리는 원에 내접하는 삼각형을 관찰할 때 나타나는 것이다. 원에 내접하는 삼각형의 한 변이 원의 지름을 지나면 그 때 삼각형의 원의 지름을 빗변으로 하는 직각삼각형이 된다. 직각삼각형을 비교할 때 직각을 제외한 한 쌍의 내각의 크기가 같으면 다른 나머지 내각끼리도 그 크기가 같다는 것을 알 수 있다. 이 사실을 기본으로 두 직각삼각형의 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같으면 서로 합동인 것을 알 수 있다. 직각삼각형의 또 다른 합동조건은 빗변의 길이가 같고 다른 한 변의 길이가 같을 때이다. 직각은 영어로 Right angle 이라고 하고, 빗변은 Hypotenuse 라고 하기 때문에 이 단어들의 앞 글자를 이용하여 직각삼각형의 합동조건을 간단히 나타내기도 한다.

직각삼각형의 합동조건

빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같을 때 = RHA합동

빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같을 때 =RHS합동

삼각형은 변의 길이가 길어지거나 짧아지지 않는 한 그 모양이 변하지 않기 때문에 가장 단순하고 기본적인 도형이면서도 강하고 단단한 성질을 가지고 있다. 그래서 안전해야 하는 건물이나 다리 등에 많은 전문가들이 삼각형 구조를 자주 이용한다. 공사장이나 야외 공연장의 무대를 설치 할 때 단단한 뼈대를 만들기 위해 삼각형으로 이루어진 골격을 사용한다. 고층 건물은 바람의 영향으로 많이 흔들리기 때문에 꼭대기 층까지 안전하도록 삼각형 틀 4개로 둘러싸인 모양의 틀이 건물 안에 들어 있다. 삼각형 구조에서 힘을 얻는 가장 유명한 건축물로는 프랑스 파리에 있는 에펠탑이 있다. 정삼각형은 변의 길이가 모두 같고 내각의 크기도 같기 때문에 세 개의 꼭짓점에 골고루 힘이 나누어진다. 정삼각형의 꼭짓점들은 힘을 고르게 받아 안정적이며, 간단하게 만들 수 있기 때문에 휴대하기 좋아 삼각대, 영사대 등 생활 속에서 많이 이용된다.