이항정리 개념

[성지훈]

-이항정리-

이항정리란 두 항으로 이루어진 식을 거듭제곱했을 때 그 전개식의 성질을 정리한 것.

에서 각 항의 계수를 구하는 두 가지 접근방식이 있다.  

1) ‘조합’으로 접근.

(a+b)라는 괄호 n개 각각에서 a나 b 둘 중 하나를 골라서 총 n개를 곱한 것으로 생각.

의 계수는 첫 번째 괄호부터 n번째 괄호까지의 n개 중에서 a를 고를 괄호 r개를 선택하거나 b를 고를 괄호

(n-r)개를 선택하는 경우의 수와 동일.

따라서 의 계수는 

2) ‘같은 것이 있는 순열’로 접근.

우변을 전개해서 동류항 계산을 하지 않고 그냥 모든 항을 나열하면 아래와 같다.

a가 곱해진 개수(=r)와 b가 곱해진 개수(=n-r)의 합은 항상 n이며 r의 값이 서로 같은 항들이 곧 동류항이고 식을

간단히 할 때 동류항의 개수가 곧 그 항의 계수가 된다.

예를 들어 r=1 즉, a가 1개 곱해진 항은 이고 이 항의 계수는 위에 나열된 모든 항 중 a 1개와 b (n-1)개가

곱해져 있는 항의 개수를 센 것과 같으므로 a 1개와 b (n-1)개를 일렬로 나열한 경우의 수와 같다.

이를 일반화하면 의 계수는 a r개와 b (n-r)개를 일렬로 나열한 경우의 수와 같다.

따라서 ‘같은 것이 있는 순열’의 개념으로 접근하면 의 계수=

이상에서 이항정리를 적용한 전개식은 아래와 같다.

여기서 사용된 각 항의 계수 을 ‘이항계수’라 한다.

-다항정리(이항정리 포함)-

둘 이상의 항으로 이루어진 식을 거듭제곱했을 때 그 전개식이 갖는 성질을 정리한 것.

이항정리는 첫 번째 접근방식인 조합으로 이해하는 것이 수월하지만 다항정리는 두 번째 접근방식인 ‘같은 것이

있는 순열’개념으로 이해하는 것이 수월하다.

을 전개했을 때 의 계수는 a p개, b q개, c r개를 일렬로 나열한 경우의 수와 같으므로

이고 이를 ‘다항계수’라 한다.

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수식이 안보인다하여 우선 링크를 써둡니다. 수식부분이 그림파일이라 다운로드 되어야 보이는 듯 합니다. 번거롭겠지만

아래 링크를 갔다오시면 잘 보입니다. 다음에 올릴 땐 더 공부해서 번거롭지 않도록 해보겠습니다.
https://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=snuguy1&logNo=221287744252&categoryNo=0&parentCategoryNo=0&viewDate=¤tPage=1&postListTopCurrentPage=1&from=menu