이항정리 응용

[성지훈]

-이항정리 응용-

이항정리를 제대로 이해하면 앞으로 확률 단원에서 배우게 될 ‘독립시행의 확률’개념과 통계단원에서 배우게 될 ‘이항분포’의

개념을 너무 쉽게 이해할 수 있다. 일석삼조라 생각하고 더더욱 충실히 익혀두길 바란다. 기본 개념서에 소개된 응용은 그 

설명만으로도 이해하는데 충분하므로 기본 개념서에 소개되지 않은 것들을 여기에 소개한다.

이항정리에 따라 이 성립하는데 이는 곧 에 대해 서로 다른 n개 중 r개를 뽑는 경우의 

수로만 생각할 것이 아니라 의 r차 계수로 생각할 수 있다는 뜻이다.

1. 에 대해 생각해보자.

1) 경우의 수로 접근

는 서로 다른 10개 중 k개를 뽑는 경우의 수, 는 서로 다른 10개 중 8-k개를 뽑는 경우의 수이므로 k=0일 때부터 

8일 때까지의 합은 결국 서로 다른 20개 중 8개를 뽑는 모든 경우를 센 것과 같으므로 과 같다.

2) 이항정리로 접근

는  에서 k차 계수이고 는 에서 (8-k)차 계수이다.

따라서 는 을 전개했을 때 상수항*8차계수+1차계수*7차계수+...+8차계수*상수항을 

계산한 것과 같으므로 의 8차계수 즉, 의 8차계수인 을 구한 것과 같다.

2. 을 간단히 바꾸면 어떻게 될까.

교과서에 소개된 조합의 성질 을 활용하면 이와 같이 연속된 조합의 합을 간단히 바꿔 표현할 수 있다.

처음 두 항에서 을 활용하기 위해서는 이 아닌 이 필요하다. 그런데 임의의 자연수 n에 

대해 이므로 은 으로 대체할 수 있다.

그러면 첫 두 항의 합은 .

여기에 다음 항인 를 더해주면 .

이와 같이  을 연속적으로 활용하면

마지막 연산은 이 되므로

=

이것을 파스칼의 삼각형 상에서 도시해보면 오른쪽 아래로 쭉 내려가는 방향으로 더한 것이고 결과는 마지막으로 더하는 값의 

위치에서 왼쪽 아래로 한 칸 꺾은 위치의 값이다. 같은 원리로 왼쪽 대각선 아래 방향으로 더하는 경우 마지막으로 더하는 값의 

위치에서 오른쪽 아래로 한 칸 꺾은 위치의 값이 그 결과이다. 이 모양이 마치 하키스틱의 모양과 같다하여 ‘하키스틱 패턴’이라 

부른다.

3. 에 대해 생각해보자.

우선 이항계수가 눈에 보이고 합을 구하는 것이니 이항정리를 떠올리게 된다. 일단 일반항을 익숙한 형태인 으로 변형하자.

그런데 이항정리를 활용하려면 곱해진 값이 두 가지여야 하는데 아무리봐도 3 한 가지 밖에 안 보인다. 그렇다면 여기서 어떤 

생각을 해야할까. 두 가지 값이 곱해져있는데 하나는 안 썼다? 그렇다면 다른 하나는 곱셈에서 생략가능한 수 즉, 1이 생략된 

것이다. 임을 생각해낼 수 있다면 이 문제는 허무할 정도로 쉬워진다.

4. 에 대해 생각해보자.

 에서 접근했던 방식과 틀은 같다. 다만 k가 아닌 2k이기 때문에 좀 더 복잡하다.

기본성질 중 을 유도하는 과정을 이해했다면 그리 어렵지 않다.

이므로 변변 더하면

짝수(2k)가 아닌 홀수(2k+1)로 주어질 때도 같은 방식으로 해서 차를 이용하면 된다.

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