@넥클레스최소다항식 개념을 최대한 배제하고 설명해보겠습니다. 강의노트를 보면 A^3=pA^2+qA를 만족하는 p,q가 존재합니다. 나눗셈알고리즘에 의해 A^4=(A^3-pA^2-qA)(A+pI)+(p^2+q)A+pqI 이므로 (!) (p^2+q)A+pqI=0. A는 역행렬이 없으므로 p^2+q=0(!!)이고 따라서 pq=0. 즉 p=q=0이다. 여기서(!)와 (!!)에서 약간의 논의를 생략했습니다. 행간을 읽어내시면 이해하실 수 있을거라 생각합니다.
@넥클레스저도 즐거운 공부가 되었습니다ㅎㅎㅎ 다만 제 생각엔 다른 의도가 있을 것이라고 추정합니다. 해당 내용은 최소다항식을 공부하고 나면 거의 자명한 내용이거든요. 일반적으로 n차 정사각행렬 A에 대해 n보다 큰 m에 대해서 A^m=0 이면 A^n=0이다 같은 내용을 거의 바로 알 수 있습니다.
첫댓글 풀이 중간에
0=((trA)A-kE)A^ 보이시나요?
여기서 의문점을 해결하실 수 있을 거 같습니다
AB가 행렬인데도 AB=0 일때 A=0이 아니면 B=0이 성립하나요?
@넥클레스 아뇨 일반적인 행렬에 대해서 성립하진 않지만
정역의 원소 a,b에 대해 ab=0이면 a=0 or b=0입니다
주어진 상황은 체 위에서의 A이기 때문에 성립합니다
@쪼선생 아직 강의 진도가 정역을 다루지 않아서 잘 모르겠네요.. 정역에 대한 이해 없이는 설명이 불가능할까요? 강의에서도 정역에 대한 언급은 없으셨던거 같은데..
@넥클레스 아 선생님 죄송합니다 제가 착각한거 같애요 체 위에 행렬이라는게 A가 체의 원소라는 말이 아닌거 같애요 일단 위에 설명은 무시해주세요
@넥클레스 A^=0이 아니라는 것은 detA^또한 0이 아니라는 것이죠?
@넥클레스 즉, A^은 가역이라는 것이고 따라서
0=((trA)A-kE)A^
양변 왼쪽에 A^의 역행렬을 붙여줄 수가 있겠죠 그러면 원하는 결과를 얻을 수 있습니디
@쪼선생 'A^=0이 아니라는 것은 detA^또한 0이 아니라는 것이죠?' <- 일반적인 행렬에서는 이를 보장할 수 없는데 A^4=0이면 되는 이유가 무엇인가요? 그리고 말씀하신 명제가 참이라면 'detA=0이면 A=0'도 성립해야 하는 것 아닌가요?
답변 고맙습니다!
혹시 강의에서 최소다항식의 개념을 배운 상태이신가요?
아직 강의는 거기까진 안들었어요. 최소다항식의 정의는 알고 있긴 한데 이 문제에 적용하진 못하겠어요.
@넥클레스 최소다항식 개념을 최대한 배제하고 설명해보겠습니다. 강의노트를 보면 A^3=pA^2+qA를 만족하는 p,q가 존재합니다. 나눗셈알고리즘에 의해 A^4=(A^3-pA^2-qA)(A+pI)+(p^2+q)A+pqI 이므로 (!) (p^2+q)A+pqI=0. A는 역행렬이 없으므로 p^2+q=0(!!)이고 따라서 pq=0. 즉 p=q=0이다.
여기서(!)와 (!!)에서 약간의 논의를 생략했습니다. 행간을 읽어내시면 이해하실 수 있을거라 생각합니다.
@PlainMint (!) 에서 A^4=(A^3-pA^2-qA)(A+pI)+(p^2+q)A^2+pqA, (p^2+q)A^2+pqA=0 아닌가요? 이 경우에는 A가 역행렬이 없으면 pq=0이라고 못하는거 아닌가요?
@넥클레스 헐랭 맞습니다... 다만 실마리는 거의 얻었네요. (p^2+q)A^2=-pqA에서 양변 제곱하면 거의 다 해결됩니다🙂
@PlainMint 아 그러네요 감사합니다
@넥클레스 저도 즐거운 공부가 되었습니다ㅎㅎㅎ 다만 제 생각엔 다른 의도가 있을 것이라고 추정합니다. 해당 내용은 최소다항식을 공부하고 나면 거의 자명한 내용이거든요. 일반적으로 n차 정사각행렬 A에 대해 n보다 큰 m에 대해서 A^m=0 이면 A^n=0이다 같은 내용을 거의 바로 알 수 있습니다.
@PlainMint 나눗셈 알고리즘을 쓰지 않고 한다면, 증명 5번째 줄에서 A^3-(trA)A^2+kA=0 에서 A^3+kA=(trA)A^2 으로 이항하고 양변을 제곱하면 할 수 있네요. 제곱하는 걸 찾아내는 부분이 의도였던 것 같아요.
답변 고맙습니다!
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