Re:포락선

먼저 첫번째 질문은 미분방정식을 이용해서 나온 y식 말고도 다른형태의 y식이 존재하는가요? 예를들면 kreyszig 공업수학 1.6 44번문제입니다. Riccati방정식문제인데 예로 제시된 y' = x^3*(y-x)^2 + (1/x)*y 의 해가 y=x인걸 알고서 Rernoulli로 변환하여 구한 식은 y=1/x(-(1/5)*x^5 + C) 입니다. 그러면 미분방정식을 만족하는 식이 2개가 생기는건데.. 즉 방적식을 통해서 얻은 y 말고도 또다른 y가 있다는게 의문입갑니다. 이점이 제 첫번째 질문입니다. ............................................................................................... yes. 포락선이기 때문입니다. 옛날 기술 시간에 작도해 봤을겁니다. x >0 ,y > 0 인 좌표평면에서 직선을 조금씩 누이며 그었을 때 어떤 휘어진 곡선이 나온다는 것. 그 휘어진 곡선이 포락선이 되겠습니다. 다음의 미분방정식을 봅시다. y =xy' + (y')^2 이 미방의 해는 y=cx + c^2 이라는 것을 y'=c 를 대입해보면 알 수 있습니다. 그러나 y = -x^2/4 역시 이 미방의 해입니다. 이 해는 직접 미방해법으로 나오지 않아서 특이해라고 하는데 바로 y =cx + c^2 이 만드는 포락선입니다. 지금 그래프를 그릴 수 있는 프로그램이 있다면 한번 시도 해 보십시오. c=-1.6 에서 1.6 까지 0.2 씩 변하게끔 하고 그래프를 그렸을 때 포락선 y=-x^2/4 를 눈으로 확인 할 수 있을 겁니다. 공수문제로 돌아가서 y' = x^3*(y-x)^2 + (1/x)*y 의 일반해는 y = 5x/( c -x^5 ) +x 가 되겠습니다. 님이 제시한 해는 틀렸습니다. 역시 c 에 미소한 변화를 주어 그래프를 그려보면 포락선 y =x 를 얻을 수 있을 겁니다. 포락선도 일반해를 만족하는 좌표로 이루어져 있으므로 미방의 해가 됩니다. 참고로 일반해 F(x,y,c) = 0 이 나타내는 곡선군의 포락선을 구하는 방법을 제시하겠습니다. F(x,y,c) = 0 , ∂F(x,y,c)/∂c = 0 에서 c 를 소거하여 얻은 식 y = f(x) 가 주어진 미방을 만족하면 특이해,즉 포락선이 되겠습니다. y = 5x/( c -x^5 ) +x 의 포락선을 구해 보면 F(x,y,c) =5x/( c -x^5 ) +x - y = 0 ∂F(x,y,c)/∂c = - 5x/( c -x^5 )^2 = 0 이 두식을 연립하면 y = x 가 나옵니다. ...................................................................................... 두번째는 계산상의 의문입니다. 예를 먼저들죠. 예는 공업수학 해답에 나오는 예입니다.(솔루션보면 안된다는건 알지만 그래도 참고용으로) ∫ 1/(y-2) dy = ∫ cotx dx ln|y-2| = ln|sinx| + c ->여기까지는 문제가 없네요 문제는 다음이죠 ∴ y = c sinx + 2 입니다. 제생각은 y = ±c sinx + 2 입니다. 여기에서 제 두번째 의문입니다. 솔루션이나 책의 풀이과정을 보면 절대치가 풀리면서 반대편의 식이 ±(식) 꼴이되는것은 거의 무조건적으로 쌩까고 +로 가정해버리더군요. 몇몇식에서는 이해가 가지만(위의 식은 크게 지장이 없군요.나중에 다른 예를 들겠습니다.) 어떤식에는 무작정 가정하기엔 무리가 있는경우도 종종 봤습니다. 여러분들은 이럴때 어떻게 하세요? 여러분들도 이런 경험을 했을꺼라 생각되는데 조언부탁드립니다 .................................. c 는 임의의 상수이므로 ±c 라고 표현할 필요가 없습니다. 이미 c 라는 표기에 모든 정보가 들어 있습니다. 그리고 생까고 + 로 대체하는 일은 절대 없습니다. 중간 과정을 생략할 뿐입니다. 진짜 그런 문제를 맞닥들였을때 나누어 생각해보면 생깐 이유가 있다는 것을 아실 겁니다.