수학의 역사

[권 영 칠]

■ 독서 - 수학의 역사

ㅇ 일자 : 2024.5.20(월)~6.2(일)

ㅇ 저자 : 지즈강,,, 중국 상하이 자이퉁대학에서 과학사, 과학 철학과 교수와 박사과정 지도교수로 재직 중이며

                              수리천문과 수학문헌 등의 고전연구, 수학교육 중의 수학사 운용 등 주로 고대수학사 연구에 힘쓰고 있다.

ㅇ 옮김 : 권수철,,, 한국외국어대학교 통 번역대학원 한중과를 졸업하고 중국어 학원강사를 거쳐 경기관광공사에서 근무하였고,

                              현재 번역 에이전시 엔터스코리아에서 출판기획 및 번역 전문가로 활동하고 있다.

ㅇ 감수자 : 계영희,,, 이화여자대학교 수학과, 동대학원 수학사를 전공하고 한양대학교에서 위상수학으로 석사학위,

                                 홍익대학교에서 위상수학으로 박사학위를 받음

ㅇ 출판 : 더 숲, 초판 인쇄 발행 2011.11.21

ㅇ 개요

* 수학 역사를 따라가다 보면,,, 어느새 수학이 쉬워진다.

* 차례 : 1장. 수학의 기원                                      6장. 해석 기하학에서 미적분까지
           2장. 그리스 수학의 번영                            7장. 대수학의 찬란한 발전
           3장. 중국 고대의 고고한 품격                     8장. 비유클리드 기하학의 혁명
           4장. 동서양을 하나로 묶는 아라비아 수학      9장. 해석의 엄밀화
           5장. 유럽 수학의 르네상스                         10장. 수학의 새로운 시대

 * 수학의 학습동기,, 1) 세계 1위 한국은,,, 입시를 위한 수단, 경쟁의 도구가 되버림
                           2) 세계 2위 필란드는,,, 웃으면서 공부하지만 한국은 울면서 공부

* 미적분학,,, 현대 수학과 현대과학의 기초 제공,
                 미적분없이 살 수 없는 세상,
                 수학의 끝은 미적분,,, 극한과 무한의 개념없이 미적분을 도출할 수 없다.
                 예로서,,, 지반의 거동, 구조물의 해석, 지진 해석, 동적 거동 모두 미분과 적분의 과정이다.

* 페르마의 대정리,,, 미적분 이야기와 수학사의 대사건이 기록되어 있다.

* 최초의 수학책 "린드 파피르스"와 피타고라스의 정리, 아르키메데스의 원리, 피보나치의 수열, 로그의 발명, 미적분 탄생,      유크리드와 비유클리드의 기하학, 푸앵카레의 추측, 페르마 대정리에 이르기까지 동서양을 이루는 수학의 흥미진진한
  역사를 통해 수학의 개념과 원리를 이해한다.

제1장. 수학의 기원

ㅇ 수의 개념은,,, 불의 사용과 마찬가지로 오래전에 형성되었고, 인류문명발전에 커다란 영향을 가지고 있다.

  1) "린드 파피루스",,, 세계에서 가장 오래된 이집트 수학책(나일강)

  2) "점토판 숫자",,, 점토판에 글을 새긴 바빌로니아(티그리스강과 유프라테스강 사이)

  3) "대나무 막대숫자" "현대의 0진법"에 가장 근접한 중국 고대의 산대계산법(황하강)

  4) 인도숫자,,, 9개의 서로 다른 부호(9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1)와 "0"을 표시(인더스강과 갠지스강)

   - 아라비아 숫자,,, 서기 773년 인도숫자가 아랍국가로 전파되고

                                1202년 이탈리아 수학자 피보니치가,, 아라비아 숫자를 유럽 전파

   - 16세기 중엽,,, 국제적으로 통용되는 숫자가 만들어 짐

제 2장. 그리스 수학의 번영

ㅇ 사물에 대해 보는(생각하는) 관점이 다른 그리스

   - 사물을 있는 그대로 본다,,, 고대 이집트인과 바빌로니아인, 인도인

   - 어떤 사물이든 그 것의 근원을 파 헤치고, 증거를 찾으려고 함,,, 후발주자 그리스인

    예-1) 수학에 대해 "어떠한가"만 얘기할 뿐, "왜 그런가?"에 대해 생각하지 않았다.

    예-2) 그리스인은 진리를 추구는 정신으로,,, 수학 증명분야에 큰 발전을 이룩했고, 세계 문화발전에 크게 기여했다.

ㅇ 대표적인 그리스 인물,,, 탈레스, 피타고라스, 아리스토텔레스, 유클리드, 아르키메데스

  1) 탈레스(기원전 624?~546) - 그리스 철학과 자연과학의 창시자

   - 일식을 정확히 예측

   - 삼각형의 닮음 성질을 이용하여,,, 지팡이 그림자 길이로 피라미드의 높이 계산

  2) 피타고라스(BC  582~497) - 수학의 초석을 세움

   - 음악에서 음률의 수학적 원리 발견

   - 변의 개수 사이의 관계 발견

   - 피타고라스 정리,,, 직각삼각형의 빗변의 제곱은 나머지 두변의 제곱의 합과 같다.

                                   (증명 방법은 400가지도 넘음)

  3) 아리스토텔레스(BC 384~322) - 논리학 창시자

  4) 유클리드(BC 330~275) - 기하학의 아버지, 수학의 황금기를 이룸

   - "기하학 원론" 편찬,,, 총 13권(평면기하, 수의 이론, 무리수 이론, 입체 기하)

   - 유클리드는 물질과 우주, 인간의 정신 사이에 하나의 초 자연적인 관계가 있다고 믿었으며

     "점, 선, 면, 체"를 모든 존재의 근간으로 보았다.

  5) 아리키메데스(BC 287?~212) - 금관의 수수께끼를 품

   - 기계 제작의 대가,,, 대형 투석기, 팔 모양의 기중기, 태양열 반사 거울

   - "금관의 수수께끼",,, 물 속에서 가벼워진 어떤 물체의 무게는 그 물체가 배출한 물의 무게와 같다. 

제5장. 유럽 수학의 르네상스

ㅇ 대표적인 인물

 1) 피사 출신의 레오나르도 피보나치(1170?~1250)의 "피보나치의 수열"

 2) 네델란드의 시몬 스테빈(1548~1620) - "소수의 표기법" 창안

 3) 17세기 초반 존 네이피어(1550~1617)가 완성한,, 로그(logarithm) 의 발명

   - logAB = logA + logB

   - logA/B = logA - logB 

 4) 1630년 케임브리지 대학교의 월리엄 오트레드(1574~1660)가 "원형 계산자" 발명

ㅇ 수학역사에서 4가지 중요한 발명

   - 다양한 지식분야에서 수치의 계산은 매우 중요하다.

    예-1) 천문학과 항해학(1642년 콜럼버스의 신대륙 발견)

    예-2) 상업무역, 프로젝트, 군대 등에서 계산의 속도와 정확성에 대한 요구는 점점 높아지고 있다.

 1) 인도 - 아라비아 숫자

 2) 10진법 소수

 3) 로그

 4) 계산기

제6장. 해석 기하학에서 미적분까지

   - 대수학을 철저히 이해했기 때문에,,, 『데카르타』는 "해석 기하학을 창안하였고,

   - 이를 기반으로,,, 『뉴턴』과 『라이프 니츠』의 '미분학, 나아가 "만유인력 문제"가 해결 되었다.

ㅇ 해석 기하학

  1) 케플러(1571~1630),,, 현대 천문학의 창시자로서 수학적 분석이 뛰어남

   - 행성의 운동을 수학적으로 규명함 예) "케풀러의 법칙",,, 1~3법칙

   - 회전하는 물체의 부피 계산,, "케풀러의 2번째 법칙"

 2) 데카르타(1595~1650)

   - "변화하는 양"을 다룬 수학,,, "해석 기하학"을 발명함

   - 데카르타의 철학 명제,,, "나는 생각한다. 그러므로 나는 존재한다"

 3) 페르다(1601~1665) - 페르다의 대정리

   - "해석 기하학"과 "확률론", "수론" 등 수 많은 분야에서 뛰어난 업적을 남김

   - 미분학에 관한 초기 연구로 미분법의 기반이 됨

ㅇ 미적분

    - 미적분은,,, 타의 추정을 불허하는 계산능력을 보여 주었다.

     예-1) 미적분의 발명은,,, 1. 수학의 신대륙 처럼 인식되었다.

                                             2. 수학을 새로운 경지로 끌어 올렸고, 고전수학의 종식을 선언했으며

                                                "변화하는 양"을 연구의 핵심으로 하는 근대수학이 시작되었다.

 1) 배로(1630~1677) - 미분 삼각형

 2) 아이작 뉴턴(1642~1727) - 미분학의 기초 완성

   - 행성의 궤도가 "타웡형"이라는 것을 직접 계산함

   - 도서 『프린 키피아』,,, "물체의 궤도 운동에 관한 논문"으로 우주에 관한 통일 된 개념 정리

 3) 라이프 니츠(1646~1716) - 미적분 발명에서 뉴턴과 경쟁

   - 역사의 결론은,,, 두사람은 독립적으로 미적분을 발견하였으며,

                                뉴턴이 먼저 발견했고, 라이프 니츠가 먼저 발표했다. 

제7장. 대수학의 찬란한 발전

ㅇ 중세이후 수학자들의 탁월한 업적은,,,

 1) 숫자 대신 → "문자"와 "기호"로 해를 구하는 대수 방정식의 비약적인 발전

 2) 2차, 3차, 4차 방정식의 해를 구한 후

   - 5차 방정식 이상의 해법을 찾으려고 노력 함

   - 아벨(1802~1829)에 의해,,, 5차 이상의 고차 방정식의 해법이 존재하지 않음을 증명

 3) 1843년 해밀턴(1805~1865)의 4원수 발명으로 수학계의 새로운 지평이 열렸다.

   - "실수"와 "복소수" 등 새로운 수도 만들어 지고,

   - "추상 대수학"으로 나아가는 대문이 활짝 열리게 되었다.

제8장. 비 유클리트 기하학 혁명

   - 유클리트 기하학,,, "2차원의 평면 기하학". "3차원의 공간 기하학"

   -비 유클리트 기하학,,, 로바체프스키의 "쌍곡선 기하학",  리만의 "구면 기하학" 등

ㅇ 유클리트 기하학

   - 유클리트는,,, 기원전 300년경 불후의 명작 "기하학 원론" 완성

ㅇ 비 유클리트 기하학

 1) 로바체프스키(1792~1856)의  "쌍곡선 기하학" 탄생

   - 쌍곡선 기하학의 특징,,, 1. 직선 바깥의 한 점을 지나면서 이 직선에 평행한 직선은 무수히 많다.

                                            2. 삼각형 내각의 합은 더 이상 180º가 아니라 180º  보다 작은 값이다.

 2) 리만(1826~1866)의 구면 기하학

   - 구면 기하학에서는,,, 1. 유클리트의 평행선 공리가 적용되지 않는다.

                                         (실제로, 구면위에서 평행선은 존재하지 않는다)

                                       2. 구면 삼각형의 내각의 합은 180º 보다 크다.