<p>임용에서는 명시적으로 사용되는 용어는 아니지만, 대다수 미분기하 교과서에 매니폴드(다양체) 개념이 나옵니다. </p><p>당장 우리가 미기에서 많이 다루는 곡면만 해도 2차원짜리 미분 다양체를 지칭하는 말이죠. </p><p> </p><p>다양체 정의도 책에 나와서 알고 있습니다. 몇몇 이상한 경우들을 제외시키기 위해서 Hausdorff, paracompact 같은 조건들을 추가하기는 하지만, 본질적으로는 각 점마다 적당한 근방이 국소적으로 유클리디언 공간 R^n 과 위상동형이 되어서, 그것들을 모두 이어붙인 것이 위상적 다양체이고, 추가로 위상적 다양체가 근방들이 미분가능한 함수들을 잘 보존하면 미분다양체 라고 합니다. </p><p> </p><p>지금부터 다양체는 특별한 말이 없으면 위상적 다양체라고 하겠습니다. </p><p> </p><p>제 질문은 </p><p> </p><p>1) 우선 간단한 것으로, 속이 꽉 차있는 open ball 즉,</p><p>B^n (r) = { (x1, x2, ... , x_n) ∈ R^n | (x1)^2 + ... + (x_n)^2  <  r^2 },   ( r>0 )</p><p>은 3차원 다양체 맞습니까?</p><p> </p><p>2) 다양체의 모티프라할 수 있는 모델이 무엇입니까? 혹시 좌표공간에서 방정식으로 주어진 도형입니까? (eg. 이차곡선, 함수의 그래프 등등)</p><p> </p><p>다음 질문은 필요한 이유가 있다는 것을 알고 있지만, 제가 스스로 생각하기에 무엇인가 충분히 제대로 이해하고있지 않다는 생각이 들어서, 모른다고 간주하고 드리는 질문입니다. </p><p> </p><p>3) 그냥 음함수 표현이나 매개변수 표현으로 해도 될텐데, 왜 다양체가 왜 필요한 것입니까?</p><p>그러니까, 좀더 질문의 의도를 살려서 바꿔 질문하면, </p><p>다양체가 되면 다양체가 안될때와 비교했을때 구체적으로 어떤점들이 더 좋은것인가 궁금합니다. 구체적인 예를 들어서 설명해 주시면 좋겠습니다. </p><p> </p><p> </p><p>참고로, 제게는 3)번 질문이 가장 중요한 핵심질문이고 그다음은 2)번 질문입니다.</p><p> </p><p> </p><p>자다가 갑자기 생각이 꽂혀서 일어나서 글을 썼는데, 혹시 질문이 미비하더라도 양해해주십시오. </p><p>미리 감사드립니다. </p><p> </p><p>ps. 말머리는 위상수학으로 할까하다 미분기하로 하였습니다. 필요하면 수정하겠습니다.  </p><p> </p><p>** (수정) 처음에 쓴 용어를 한글 용어로 바꾸었습니다.  </p><p> </p><p>  </p><p> </p><p> </p>
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다앙체의 모티브는 기본적으로 곡면이라 할 수 있습니다. 그런데 이것이 보통 방정식으로 표현되는 그런 형태의 곡면은 아니었습니다. 구체적으로 리만 곡면을 말하는데 물론 리만 곡면이라고 리만이 이름 붙인 것은 아니고 리만이 연구한 곡면을 리만 곡면이라고 이름을 붙인겁니다. 이것은 공간상의 곡면이 아니고 복소수 구조를 가진 복소수 차원으로 보자면 1차원 '곡선'입니다. 이를 좀 직관적으로 설명해 보겠습니다. 이것을 이해하기 위해서는 당시의 상황을 또 좀 이해해야 하는데 19세기 초 아벨의 적분론이 등장하면서 복소 적분에 관한 많은 연구가 이루어졌습니다. 아주 간단한 예를 들자면 ∫ln z dz 는 일단 복소 평면에서 잘 정의되지 않습니다. 하지만 일단 정의되면 이를 ln으로 쓸 때 ln(ab)= ln a+ln b 와 같은 함수방정식을 만족합니다. 그런데 이런 현상은 다양한 적분 문제에서 반복적으로 발견되었습니다. 적분 하나를 팔 때마다 논문이, 그리고 이론이 쏟아져 나왔습니다. 이를 두고 어떤 수학자는 '아벨은 우리가 백 년 동안 논문 쓸 거리를 마련해 주었다'라고 할 정도였습니다. 그런데 이 상황은 리만에 의해 하루아침에 180도 달라지게 됩니다.
19세기 중반 많은 수학자들은 아벨 적분론을 연구하면서 다양한 함수 방정식을 도출해내고 있었습니다. 하지만 리만은 이 현상을 보는 관점을 바꾸어 함수의 정의역을 복소 평면에서 벗어나 곡면으로 옮겨놓았습니다. 그러니 이전에는 이해할 수 없었던 함수방정식의 구조가 시각적으로 파악되기 시작했습니다. 이전에 준비하던 논문들 중 상당량이 아마 쓰레기통을 향했을 겁니다. 그런데 이때 등장하는 곡면은 기존에 3차원 공간에서 방정식으로 쉽게 구현할 수 있는 그런 성질의 것이 아니었습니다. 다양체의 개념이 필요하게 된 결정적인 계기가 된 것이지요.
앞서 말씀드린 ln의 경우에는 이것이 우리가'나선면'으로 배우는 형태입니다. 물론 이 정도로 간단한 리만 곡면은 방정식으로 줄 수 있긴 합니다. 하지만, 토러스라면? 조금 더 어렵겠지요? 그게 아니고 지너스가 두 개 있는 것이라면? 아니 지너스 n개 아니면 클라인 병 같은 것은?
먼저 답변 감사합니다. 그럼 방정식으로도 표현을 해주기 어려운 대상들을 다양체라는 확장된 개념을 통해 기하적으로 대상화했다면, 다양체는 어떻게 표현되고(기술되고) 또 계산을 하는것입니까? 보다 구체적으로, 지너스가 1이상인 곡면, 클라인 병 들을 예로 드셨는데, 실제로 그런 것들을 위상수학에서 다뤘을 때는, 그 곡면들을 어떤 구체적인 방정식이나 매개변수표현으로 일일히 묘사한 것은 아니었습니다. (오히려 삼각분할 같은 것을 사용했습니다) 그러나 그때에는 곡률이나 부피 등이 문제가 되지 않았으므로, 연결성, 컴팩트성, 상공간, 기본군, 호모토피 같은 것들을 이용해서 위상동형 여부를 판단할 수 있었습니다. 그런데, 만약 곡률, 길이, 부피 같은 것이 의미를 갖는 기하학 경우라면, 예를 들어 미분기하 경우, 매개변수 표현, 방정식으로 표현이 사실상 불가능한 경우의 다양체 (아마 이경우는 위상다양체로는 안되고 미분다양체까지 되어야할런지도??) 라면, 어떻게 그녀석에 곡률 같은 것을 계산하는 것입니까? 그때 (미분)다양체를 방정식도, 매개변수표현도 아닌 무엇으로 표현하는 것인지 궁금합니다. 구체적인 예를 들어주시는 것도 좋을 것 같습니다.
물론 embedding theorem 으로 인해 추상적인 다양체는 유클리드 공간에 넣을 수 있습니다. 또한 approximation theorem 으로 인해 임의의 다양체는 대수적 다양체로 근사할 수 있습니다. 하지만 그렇다고 하더라도 추상 다양체의 유용함을 대체할 수는 없습니다.
만약 그렇다면 embedding thm에 의해서 추상적 다양체를 다룰때, 그것을 유클리드 공간 (이 유클리드 공간이 R^n이라면) 으로 밀어 넣어서, (편의상 차원이 2인 곡면이라면) 우리가 미분기하 시간에 다뤘던 곡면처럼 방정식이나 매개변수 표현으로 (대신하여) 나타내어 다루는 것이 가능하단 뜻입니까?
첫댓글 말씀하신 Open ball \( B^n(r) = \{(x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n \mid x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 < r^2, \quad \} r>0\) 은 n-차원 다양체입니다. 특히 n=3일 때는 3차원 다양체입니다.
다앙체의 모티브는 기본적으로 곡면이라 할 수 있습니다. 그런데 이것이 보통 방정식으로 표현되는 그런 형태의 곡면은 아니었습니다. 구체적으로 리만 곡면을 말하는데 물론 리만 곡면이라고 리만이 이름 붙인 것은 아니고 리만이 연구한 곡면을 리만 곡면이라고 이름을 붙인겁니다. 이것은 공간상의 곡면이 아니고 복소수 구조를 가진 복소수 차원으로 보자면 1차원 '곡선'입니다. 이를 좀 직관적으로 설명해 보겠습니다. 이것을 이해하기 위해서는 당시의 상황을 또 좀 이해해야 하는데 19세기 초 아벨의 적분론이 등장하면서 복소 적분에 관한 많은 연구가 이루어졌습니다. 아주 간단한 예를 들자면 ∫ln z dz 는 일단 복소 평면에서 잘 정의되지 않습니다. 하지만 일단 정의되면 이를 ln으로 쓸 때 ln(ab)= ln a+ln b 와 같은 함수방정식을 만족합니다. 그런데 이런 현상은 다양한 적분 문제에서 반복적으로 발견되었습니다. 적분 하나를 팔 때마다 논문이, 그리고 이론이 쏟아져 나왔습니다. 이를 두고 어떤 수학자는 '아벨은 우리가 백 년 동안 논문 쓸 거리를 마련해 주었다'라고 할 정도였습니다.
그런데 이 상황은 리만에 의해 하루아침에 180도 달라지게 됩니다.
19세기 중반 많은 수학자들은 아벨 적분론을 연구하면서 다양한 함수 방정식을 도출해내고 있었습니다. 하지만 리만은 이 현상을 보는 관점을 바꾸어 함수의 정의역을 복소 평면에서 벗어나 곡면으로 옮겨놓았습니다. 그러니 이전에는 이해할 수 없었던 함수방정식의 구조가 시각적으로 파악되기 시작했습니다. 이전에 준비하던 논문들 중 상당량이 아마 쓰레기통을 향했을 겁니다. 그런데 이때 등장하는 곡면은 기존에 3차원 공간에서 방정식으로 쉽게 구현할 수 있는 그런 성질의 것이 아니었습니다. 다양체의 개념이 필요하게 된 결정적인 계기가 된 것이지요.
앞서 말씀드린 ln의 경우에는 이것이 우리가'나선면'으로 배우는 형태입니다. 물론 이 정도로 간단한 리만 곡면은 방정식으로 줄 수 있긴 합니다. 하지만, 토러스라면? 조금 더 어렵겠지요? 그게 아니고 지너스가 두 개 있는 것이라면? 아니 지너스 n개 아니면 클라인 병 같은 것은?
먼저 답변 감사합니다.
그럼 방정식으로도 표현을 해주기 어려운 대상들을 다양체라는 확장된 개념을 통해 기하적으로 대상화했다면, 다양체는 어떻게 표현되고(기술되고) 또 계산을 하는것입니까? 보다 구체적으로, 지너스가 1이상인 곡면, 클라인 병 들을 예로 드셨는데, 실제로 그런 것들을 위상수학에서 다뤘을 때는, 그 곡면들을 어떤 구체적인 방정식이나 매개변수표현으로 일일히 묘사한 것은 아니었습니다. (오히려 삼각분할 같은 것을 사용했습니다) 그러나 그때에는 곡률이나 부피 등이 문제가 되지 않았으므로, 연결성, 컴팩트성, 상공간, 기본군, 호모토피 같은 것들을 이용해서 위상동형 여부를 판단할 수 있었습니다. 그런데, 만약 곡률, 길이, 부피 같은 것이 의미를 갖는 기하학 경우라면, 예를 들어 미분기하 경우, 매개변수 표현, 방정식으로 표현이 사실상 불가능한 경우의 다양체 (아마 이경우는 위상다양체로는 안되고 미분다양체까지 되어야할런지도??) 라면, 어떻게 그녀석에 곡률 같은 것을 계산하는 것입니까? 그때 (미분)다양체를 방정식도, 매개변수표현도 아닌 무엇으로 표현하는 것인지 궁금합니다. 구체적인 예를 들어주시는 것도 좋을 것 같습니다.
물론 embedding theorem 으로 인해 추상적인 다양체는 유클리드 공간에 넣을 수 있습니다. 또한 approximation theorem 으로 인해 임의의 다양체는 대수적 다양체로 근사할 수 있습니다. 하지만 그렇다고 하더라도 추상 다양체의 유용함을 대체할 수는 없습니다.
만약 그렇다면 embedding thm에 의해서 추상적 다양체를 다룰때, 그것을 유클리드 공간 (이 유클리드 공간이 R^n이라면) 으로 밀어 넣어서, (편의상 차원이 2인 곡면이라면) 우리가 미분기하 시간에 다뤘던 곡면처럼 방정식이나 매개변수 표현으로 (대신하여) 나타내어 다루는 것이 가능하단 뜻입니까?