풀이&답 Re: 풀이입니다. (부등식의 증명, 절대부등식)

[오대감]

작년 여름에 풀었던 문제라서 풀이를 기억하고 있습니다.

산술기하 두번 쓰는건 아니고, 젠센부등식과 산술기하를 이용합니다.


[문제]


임의의 양수 a,b,c에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보이고, 등호가 성립할 조건을 찾아라.


　　　　a³/bc + b³/ca + c³/ab　≥　a+b+c



[풀이]


양변에 abc 를 곱하면　　a^4 + b^4 + c^4 ≥ abc(a+b+c)


a^4 + b^4 + c^4 ≥ 1/27 × (a+b+c)^4　　　　　　(젠센 부등식)

산술기하에 의해　　a+b+c ≥ 3 ³√(abc) 이므로,　(a+b+c)^3 ≥ 27abc

(a+b+c)^4 = (a+b+c)(a+b+c)^3 ≥ 27abc(a+b+c)

a^4 + b^4 + c^4 ≥ 1/27 × (a+b+c)^4 　≥　 1/27 × 27abc(a+b+c) = abc(a+b+c)


　　∴　a³/bc + b³/ca + c³/ab　≥　a+b+c


등호성립 조건은 a=b=c



그럼, 이만.


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