브룅4권14장B: 비유클리드 기하학들 [인명, 주석]

[천야]

수학 철학의 여러 단계들(Les étapes de la philosophie mathématique, 1912)

브룅슈비크(Léon Brunschvicg, 1869-1944), Alcan(PUF), 1912, P.592.

* 목차: 수학 철학의 여러 단계들 (Les étapes de la philosophie mathématique, 1912)

제1부 구성의 시대 Période de constitution 01

제1권 산술학 Arithmétique. 03

제1장 인종지학과 초기의 수적인 조작들 L’éthnographie et les premières opérations numériques 07

제2장이집트 계산법 Le calcul égypties 26.

제3장 퓌타고라스학자들의 산술학 L’arthmétisme des Pythagoriaiens 33

제2권 기하학 Géométrie 43

제4장플라톤학자들의 수학주의 Le mathématisme des platoniciens

단원 A. 플라톤 문제의 입장 Section A. La position du problème platonicien 43

단원 B. 플라톤주의 방법 La méthode platonicienne 49

단원 C. 형이상학의 뮈편과 뉘편 Les livres M et N de Metaphysique 61 §34,

제5장 형식논리학의 탄생. La naissance de la logique fomelle 71

제6장유클리드 기하학 La Géométrie euclidenne 84 §49, §50,

제7장 분석 기하학 La Géométrie analytique 99 §58,

단원 A. 페르마 Fermat 100

단원 B. 데카르트의 보편수학과 물리학 La mathématique universelle de Descartes et la Physique 105

단원 C. 1637년의 󰡔기하학󰡕 La Géométrie de 1637 113

제8장 데카르트학자들의 수학적 철학 La Philosophie mathématique des cartésiens 124

단원 A. 데카르트 주의의 문제들 Les problemes du cartésienisme 124

단원 B. 말브랑쉬의 수학적 철학 La philosophie mathématique de Malebrache 130

단원 C. 스피노자의 수학적 철학 La philosophie mathématique de Spinoza 130

제3권 미분 분석 Analyse infinitésimale 153

제9장미분계산의 발견 La découverte du calcul infinitésimal 153

단원 A. 고대 L’antiquité 153

단원 B. 나눌 수 없는 것들의 기하학과 라이프니츠의 연산법. - La géométrie des indivisibles et l’algorithme leibnizien 163

단원 C. 페르마로부터 뉴턴으로. De Fermat à Newton 177

제10장라이프니츠의 수학 철학 La philosophie mathématique de Leibniz 197.

단원 A. 토대 Le fondement 197 §116

단원 B. 적용들 Les applications 211

제11장수학의 이상성과 형이상학의 실재론L‘idéalité mathématique et le réalisme métapysique 230 §134

제2부 근대 시대 Période moderne 251

제4권 비판철학과 실증주의 La philosophie critique et le posivitisme 253

제12장 칸트의 형이상학적 철학 La philosophie mathématique de Kant 253

[1절] 문제의 제기 La position du problème 253

[2절] 수학들의 기술적 개념작업 La conceptions technique des mathématiques 257

[3절] 시간과 공간의 형상[형식]들 Les formes de l’espace et du temps. 262

[4절] 선험적 연역과 도식주의 La déduction transcendentale et le schématisme 265

[5절] 수학적 인식의 상대성 La relativité de connaissance mathématique 269

[6절] 수학들과 자연의 형이상학 Les mathématiques et la métaphysique de la nature 276

제13장 오귀스트 꽁뜨의 수학 철학 La philosophie mathématique d‘Auguste Comte 282

[1절] 칸트로부터 꽁트로 De Kant à Comte 282

[2절] 분석적 역학 La mécanique analytique 286

[3절] 분석기하학과 분석 열이론 La géometrie analytique et thermologie analytique 293.

[4절] 추상 수학 La mathémitique abstraire 296

[5절] 실증주의에서 수학 La mathémitique dans le positivisme 299

제14장 과학적 토대들의 변형 Transformation des bases scientifiques 302

단원 A. 합리적 역학의 개념작용. La conception de la mécanique rationnelle. 304.

단원 B. 비유클리드 기하학들 Les géométries non euclidiennec 310 §185

[1절] 사케리의 선구자들 Les précurseurs de Saccheri 313, §186 §187.

[2절] 신부 삭케리 Le P. Saccheri. 315 §188. §189.

[3절] 로바체프스키와 리만 Lobatchevski et Riemann 318 §190 §191

[4절] 메타기하학 Les métagéométries 321 §192 §193

단원 C. 분석학 과 연속성 L’analyse et la continuité 325

[5절] 18세기에서 문제 Le problème au XVIIIe siècle 325 §194

[18세기 말에 데카르트와 뉴턴의 수학으로 해결할 수 없는 문제들이 제기된다.

[19세기는 수학들의 다양한 발명이 있다. 4차원과 복소수(행열) 등이 메타수학이라는 용어를 창안했을 것이다.]

[6절] 뽕슬레에게서 연속성 La continuité chez Poncelet 327 §195

[7절] 꼬쉬의 연속성 La continuité chez Cauchy 330 §196 §197 §198

[8절] 분석의 자치 L’autonomie de l’analyse 334 §199 §200. §201

제5권 산술학의 진화 L’évolution de l’arithmétique 341

§202

# 인명록 ***

1869 브룅슈비크(Léon Brunschvicg, 1869-1944), 프랑스 과학 철학자, 관념론 철학사가. Les étapes de la philosophie mathématique, 1912.

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428 플라톤(Platon, Πλάτων, 전428-348) 고대 그리스 철학자. 󰡔폴리테이아(La République, Περὶ πολιτείας)󰡕

384 아리스토텔레스(Aristote, Ἀριστοτέλης, 전384-322), 고대 그리스의 철학자. 플라톤의 제자. 󰡔형이상학(La Métaphysique, τὰ μετὰ τὰ φυσικά)󰡕

350k 에우클레이데스(Euclide, Εὐκλείδης), 알렉산드리아 수학자. 󰡔원론(Στοιχεῖα)󰡕: 기하학 원론의 저자(?) 알렉산드리아 도서관 관장(?)

135 포세이도니오스(Poseidonios d'Apamée, Ὁ Ποσειδώνιος ὀ Ἀπαμεύς, 전135경-전60) 스토아학파 철학자, 천문학자, 수학자, 지리학자, 문헌학자, 역사가, 기상학자.

10 게미노스(Geminos de Rhodes, Geminus, Γεμῖνος ὁ Ῥόδιος, 전10-후60), 그리스 수학자, 천문학자, 지리학자. 󰡔Théorie des mathématiques󰡕(프로클로스의 인용으로 알려진 에우클리테스의 󰡔기하학 원론󰡕의 주석가)

O

100 프톨레마이오스(Claude Ptolémée, Κλαύδιος Πτολεμαῖος, 100경-168), 알렉산드리아 출생, 천문학자, 점성술사, 수학자, 지리학자. te).

412 프로클로스(Proclus de Lycie ou Proclus de Byzance, Πρόκλος, 412-485), 별명 계승자(διάδοχος), 신플라톤학파의 철학자. 유클리드 기하학원론 주석, 제자인 마리누스(Marinus)의 󰡔Proclus ou sur le bonheur (486)󰡕

1201 에딘 알 투시(Nasr Eddin-al-Tusi, Abū Jaʿfar Muḥammad ibn Muḥammad ibn al‐Ḥasan Naṣīr al‐Dīn al‐Ṭūsī, 1201-1274), 페르샤 뮈쥘망 철학자, 수학자, 천문학자, 신학자. 아비센(Avicenne, (Avicenna), 980-1037)의 영향을 입었다.

1596 데까르트(René Descartes, 1596-1650), 프랑스 수학자, 물리학자, 철학자.

1616 존 월리스(John Wallis, 1616-1703), 영국의 수학자. 영국 목사, 미분계산에 기여.

1623 빠스칼(Blaise Pascal, 1623-1662), 프랑스 박학다식(un polymathe), 수학자, 물리학자, 발명가, 철학자, 도덕론자, 신학자. [파스칼의 가명: Louis de Montalte, Amos Dettonville, Salomon de Tultie.]

1667 삭케리(Giovanni Girolamo Saccheri, ([sakˈkɛri]), 1667-1733), 이탈리아 수학자. 비유클리드 기하학을 가능성 시도자. 제수이트 신부.

󰡔기하학적 질문(Quaesita geometrica, 1693)󰡕

󰡔논리학의 증명(Logica demonstrativa, 1697)󰡕 [Logica deductiva]

󰡔새로운 정역학(Neo-statica, 1708)󰡕

󰡔모든 결점에서 벗어난 유클리드 /유클리드의 모든 결점을 바로잡다(Euclides ab omni naevo vindicatus 1733)󰡕(Euclide lavé de toute tache).

1724 칸트(Immanuel Kant, 1724-1804), 독일 계몽기(Aufklärung) 철학자.

1728 람베르트(Jean-Henri Lambert, deu. Johann Heinrich Lambert, 1728-1777), 물루즈 출신으로 독일에서 활동한 수학자, 철학자. 수 파이(le nombre π)는 유리수가 아니라는 것을 증명하였다.

1736 라그랑쥬(Joseph Louis de Lagrange, en it. Giuseppe Luigi Lagrangia, 1736-1813), 이탈리아 수학자, 역학자, 천문학자. 사르데냐 왕국 출신 프랑스 귀화.

1777 가우스(Johann Carl Friedrich Gauß, 1777-1855) 독일 수학자, 천문학자, 물리학자.

1792 로바체브스키(Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski, 1792-1856), 러시아 수학자. 비유클리드 기하학, Géométrie imaginaire, 쾨팅겐 아카데미 회원. 부인 (Varvara Alexeyevna Moiseyeva, 1812–1885)

1797 뱅상(Alexandre-Joseph-Hidulphe Vincent, 1797-1868), 철학자, 수학자. 음악, 수학, 고고학 등 다방면 학식자.

1798 꽁트(Auguste Comte, Isidore Marie Auguste François Xavier Comte, 1798-1857), 프랑스 철학자, 사회학자, 실증주의 창시자. Cours de philosophie positive (1830-1842)

1802 보여이(János Bolyai, 1802-1860), 헝가리의 수학자. 비유클리드 기하학의 창시자 중의 하나.

1805 해밀턴(William Rowan Hamilton, 1805-1865), 아일랜드 수학자, 물리학자, 천문학자. 4차원과 벡터(quaternions et des vecteurs)에 기여했다.

1809 그라스만(Hermann Günther Grassmann, 1809-1877), 프러시아 수학자, 인도연구자. 언어학자, 물리학자, 네오휴머니스트.

1821 헬름홀쯔(Hermann von Helmholtz, 1821-1894) 프러시아 생리학자, 물리학자. 유체 동역학, 소리와 열의 지각이론과 열역학에 중요한 기여를 하였다

1823 후엘(Guillaume-)Jules Hoüel, 1823-1886), 프랑스 수학자. 천문학자, 번역가.

1826 게오르크 리만(Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866), 독일의 수학자. 해석학, 미분기하학 전문, 리만 적분, 코시-리만 방정식, 리만 제타 함수, 리만 다양체 등의 수학 용어에 남아 있다.

1828 프리드라인(Johann Gottfried Friedlein, 1828-1875), 독일 수학사가, 보에티우스와 플로클로스의 저술 편집자.

1831 델뵈프(Joseph Rémi Léopold Delbœuf, 1831-1896) 벨기에 수학자, 심리학자, 최면 전문가. Essai de logique scientifique - Prolégomènes (suivi d'une étude sur la question du mouvement considérée dans ses rapports avec le principe de contradiction), 1865,

1835 벨트라미(Eugenio Beltrami, 1835-1900), 이탈리아 수학자, 물리학자.

1844 망지옹(Paul Mansion, 1844-1919). 벨기에 수학자, 과학사가. 벨기에 강대학 교수

1849 클라인(Felix Klein, 1849-1925), 독일 수학자. 1868년 새로운 공간 기하학(Neue Geometrie des Raumes), 이 공간에 플뤽커(Julius Plücker, 1801-1868)에게 주의를 끌었으며, 플뤼커가 4차원 공간으로 이용했다고 한다.

1851 르샬라(Georges Lechalas, 1851-1919), 프랑스 기술자, 수학자. - Léchalas, La courbure et la distance en Géométrie générale, ap. Revue de Métaphysique, t. IV, p. 194 (1896).

1851 맥파를란(Alexander Macfarlane, 1851–1913), 스코틀랜드 논리학자, 물리학자, 수학자.

1854 하이베크르(Johan Ludvig Heiberg, 1854–1928), 덴마크 문헌학자, 수학사가.

1854 베로네세(Giuseppe Veronese, 1854-) 베니스 출생, 이탈리아 수학자.

1854 쁘왕까레(Henri Poincaré, 1854-1912), 프랑스 수학자, 물리학자, 기술자, 철학자.

1855 로젤(Léonce Laugel, 1855–1925), 프랑스 수학자, 과학 작품 번역가.

1861 히스(Thomas Little Heath, 1861–1940), 영국 공무원, 수학자, 고대 그리스 수학사가. The thirteen books of Euclid's Elements, 1908[번역]

1862 힐버트/힐베르트(David Hilbert, 1862-1943), 독일 수학자. 수학의 형식주의자 Grundlagen der Geometrie (Les fondements de la géométrie) en 1899. 2판 1903.

1863 바일라티(Giovanni Vailati, 1863–1909), 이탈리아 수학자, 과학사가, 철학자. 󰡔철학 저술들(Scritti filosofici󰡕(1911).

1874 보놀라(Roberto Bonola, 1874-1911) 이탈리아 수학사가. Nichteuklidischen Geometrie (La geometria non euclidea. Esposizione storico critica del suo sviluppo, Bologna, Zanichelli), erschienen 1906 (Reprint 1975),

1874 리프만(Heinrich Liebmann, 1874–1939), 독일 수학자, 수학사가. 미분기하학.

-*-*- 310

단원 B. 비유클리드 기하학 .

-*-*- 311

유클리드 “원론(Éléments, Στοιχεία)”

des définitions, des « demandes » (postulats), des « notions ordinaires » (axiomes) et des propositions (problèmes résolus, au nombre de 470 au total dans les treize livres). / le livre I contient 23 définitions (point, ligne, surface, etc.), cinq postulats et cinq notions ordinaires. / "definition" (ὅρος or ὁρισμός), "postulate" (αἴτημα), or a "common notion" (axiomes, κοινὴ ἔννοια). / définitions, axiomes, théorèmes et leur démonstration

[-10 게미노스(Geminos de Rhodes, Γεμῖνος ὁ Ῥόδιος, 전10-후60), 고대 그리스 수학자, 천문학자, 지리학자. Euclid's Elements에 대한 주석이 있다.]

-*-*- 312

312, 1) Ὁ Γεμῖως ὀρθῶς ἀπήντησε λέγων ὅτι παρ’ αὐτῶν ἐμάθομεν τῶν τῆς ἐπιστήμης ταύτης ἡγεμόνων μὴ πάνυ προσέχειν τὸν νοῦν ταῐς πιθαναῐς φαντασίαις εἰς τὴν τῶν ἐν γεωμετρία παραδοχήν. Proclus in Euclid, éd. Friedlein, 1873, p. 192. 프로클로스의 구절은 벵상의 작품 속에 번역되었다. Vincent, Sur un point de l’histoire de la géométrie chez les Grecs et sur les principes philosophiques de cette science, [초 1853] 1857, p. 10.

- p. 10. .Proclus .. Vincent, Sur un point de l’histoire de la géométrie chez les Grecs et sur les principes philosophiques de cette science, [초 1853] 1857, p. 10.

- « εἰς τὴν τῶν ἐν γεωμετρία παραδοχήν » : « pour l'acceptation des démonstrations (ou propositions) en géométrie ».

[412 프로클로스(Proclus de Lycie ou Proclus de Byzance, Πρόκλος, 412-485), 별명 계승자(διάδοχος), 신플라톤학파의 철학자. 유클리드 기하학원론 주석, 제자인 마리누스(Marinus)의 󰡔Proclus ou sur le bonheur (486)󰡕

[1828 프리드라인(Johann Gottfried Friedlein, 1828-1875), 독일 수학사가, 보에티우스와 플로클로스의 저술 편집자.

[1797 뱅상(Alexandre-Joseph-Hidulphe Vincent, 1797-1868), 철학자, 수학자. 음악, 수학, 고고학 등 다방면 학식자. .

312, 2) Ibid., p. 362. Cf. Vincent, op. cit., p. 15-21, et Heath, The thirteen Books of Euclide’ Elements, t. I, 1908, p. 204 et suiv.

[1861 히스(Thomas Little Heath, 1861–1940), 영국 공무원, 수학자, 고대 그리스 수학사가. The thirteen books of Euclid's Elements, 1908[번역]

-*-*- 313

1667 삭케리(Giovanni Girolamo Saccheri, ([sakˈkɛri]), 1667-1733), 이탈리아 수학자. 비유클리드 기하학을 가능성 시도자. 제수이트 신부.

1775 Farkas Bolyai, en hongrois Bolyai Farkas, en fr. Farkas de Bolya, 1775-1856) 헝거리 수학자. 보여이 야노시(Bolyai János, 1802-1860), 헝가리의 수학자다. 비유클리드 기하학의 창시자 중의 하나.

-*-*- 314

전135 포세이도니오스(Poseidonios d'Apamée, Ὁ Ποσειδώνιος ὀ Ἀπαμεύς, 전135경-전60) 스토아학파 철학자, 천문학자, 수학자, 지리학자, 문헌학자, 역사가, 기상학자.

[존 월리스(John Wallis, 1616-1703), 영국의 수학자. 영국 목사, 미분계산에 기여하였다.

314, 1) Op. cit., p. 176.

314, 2) “Praesumo tandem (ex praesupposita rationum natura tanquam cognita et figurarum similium definitione), ut communem notionem, datae cuicumque figurae, similem aliam cujuscumque magnitudinis possibilem esse. Hoc enim (propter quantitates continuas in infinitum divisibiles, pariter atque in infinitum augibiles), videtur ex ipsa quantitatis natura fluere; figuram scilicet quamlibet continue posse (retenta figurae specie) tum minui, tum augeri in infinitum.” [Wallis John,] Demonstratio postulati quinti Euclidis (1663), porp. VIII, Opera, t. II Oxford, 1693, p. 676.

[1831 델뵈프(Joseph Rémi Léopold Delbœuf, 1831-1896) 벨기에 수학자, 심리학자, 최면 전문가. Essai de logique scientifique - Prolégomènes (suivi d'une étude sur la question du mouvement considérée dans ses rapports avec le principe de contradiction), 1865,

Voici la traduction en français de cette citation classique du mathématicien jésuite Girolamo Saccheri (issue de son ouvrage de 1733, Euclides ab omni naevo vindicatus, où il explore la géométrie non euclidienne)

“Praesumo tandem (ex praesupposita rationum natura tanquam cognita et figurarum similium definitione), ut communem notionem, datae cuicumque figurae, similem aliam cujuscumque magnitudinis possibilem esse. - « Je présume enfin (à partir de la nature supposée des proportions comme étant connue, et de la définition des figures semblables) comme une notion commune qu'il est possible d'avoir une autre figure, semblable à une figure donnée quelconque, et de grandeur quelconque. » [결국 내가 (마치 알려져 있는 것으로서 비례들로부터 그리고 비슷한 도형들의 정의로부터 가정된 자연으로부터 시작하여) 마치 공통용어처럼 가정하는데, 어떤 크기의 어떤 주어진 도형에 닮은 다른 도형이 있다는 것이 가능하다고 가정한다.

Hoc enim (propter quantitates continuas in infinitum divisibiles, pariter atque in infinitum augibiles), videtur ex ipsa quantitatis natura fluere; - fr. "En effet, cela (en raison des quantités continues divisibles à l'infini, tout comme augmentables à l'infini) semble découler de la nature même de la quantité." - en. "For this (on account of continuous quantities being infinitely divisible, as well as infinitely augmentable) seems to flow from the very nature of quantity." [그래서 이런 것은 (전적으로 무한히 증가할 수 있는 것처럼, 무한히 나누어질 수 있는 연속적 양들을 근거로) 양의 본연(자연) 자체로부터 흘러나올 것 같다.]

figuram scilicet quamlibet continue posse (retenta figurae specie) tum minui, tum augeri in infinitum. - fr. « ...[Il semble découler de la nature même de la Quantité ;] à savoir que n'importe quelle figure peut continuellement (tout en conservant sa forme) être aussi bien réduite qu'augmentée à l'infini. » - [말하자면 그 어떠한 도형도 연속적으로 (자기 형태를 보존하면서) 무한히 증가되는 것과 마찬가지로 축소(환원)될 수도 있다.]

314, 3) Prolégomènes philosophiques de la géométrie et solutions des postulats. Liége, 1860, p. 132. Cf. Cournot, Essai sur les fondements de nos connaissances et sur les caractères de la critique philosophique, § 234, t. II. 1851, p. 55, n. 1. “다음을 확신하기 위하여 기본적 기하학으로 평범한 인식들만이 그리고 약간의 반성만이 필요하다. 다음이란; 평행선들 이론의 불완전성이(인정된 단어를 사용하기 위하여), 비슷함의 용어를 또는 하나의 도형이 주어지면 사람들이 항상 그것과 다른 것[도형]을 상상할 수 있다는 관념을, 자연적이고 원초적인 용어처럼 인정하기를 거절하는데 있다. 그런데 그 다른 도형은 원초적 도형과 다르지 않다. 왜냐하면 사람들은 구축작업의 사다리를 변경했기 때문이고, 또는 왜냐하면 도형의 모든 선들은 비례적으로 증가하거나 줄어들었기 때문이다”

[1801 꾸르노(Antoine Augustin Cournot, 1801-1877), 프랑스 경제학자, 수학자, 철학자.]

-*-*- 315

315, 1) Sur une classe remarquable de raisonnements par réduction à l'absurde. Revue de métaphysique et de morale, [volume 12,] 1904, p. 799 et suiv. [p. 811-821]

[1863 바일라티(Giovanni Vailati, 1863–1909), 이탈리아 수학자, 과학사가, 철학자. 󰡔철학 저술들(Scritti filosofici󰡕(1911)) ]

315, 2) Eléments, IX, 12. Ed. Heiberg, II, p. 362 et suiv.

[하이베크르(Johan Ludvig Heiberg, 1854–1928), 덴마크 문헌학자, 수학사가.]

-*-*- 316

316, 1) [Saccheri,] Logica demonstrativa, p. 132, apud Vailiti, art.cit., p. 805.

[Logica demonstrativa, Pavie (Ticini Regij), typis haeredum Caroli Francisci Magrij, 1701

-*-*- 317

[1826 리만(Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866)[마흔] 독일 수학자. 위상학, 미분기하학, 비유클리드 기하학의 길을 열었다.

317, 1) Cf. Bonola (tr. Liebmann), Die Nichteuklidischen Geometrie, Leipzig, 1908, p. 13.

[1874 보놀라(Roberto Bonola, 1874-1911) 이탈리아 수학사가. Nichteuklidischen Geometrie (La geometria non euclidea. Esposizione storico critica del suo sviluppo, Bologna, Zanichelli), erschienen 1906 (Reprint 1975),

[1874 리프만(Heinrich Liebmann, 1874–1939), 독일 수학자, 수학사가. 미분기하학.

[1201 에딘 알 투시(Nasr Eddin-al-Tusi, Abū Jaʿfar Muḥammad ibn Muḥammad ibn al‐Ḥasan Naṣīr al‐Dīn al‐Ṭūsī, Naṣīr al‐Dīn al‐Ṭūsī, Naṣīr ad‐Dīn ad‐Ṭūsī, 1201-1274), 페르샤 뮈쥘망 철학자, 수학자, 천문학자, 신학자. 아비센(Avicenne, (Avicenna), 980-1037)의 영향을 입었다.

317, 2) [Saccheri,] Euclides ab omni naevo vindicatus sive: Conatus geometricus quo stabiliuntur prima ipsa universæ geometriæ principia. Milan: [Pauli Antonii Montani,] 1733, prop XIV, p. 19. Cf. Mansion, Annales de la Société scientifique de Bruxelle, t. XIV, 1889-1890, p. 35 et suiv.

en.tr. "Euclid freed from every flaw: or a geometric attempt by which the very first principles of universal geometry are established." - fr. Euclide exempt de tout vice (ou débarrassé de toute imperfection) ou essai (tentative) géométrique par lequel sont établis les principes premiers de la géométrie universelle. - [[󰡔모든 결점에서 벗어난 유클리드: 기하학적 시론에 의해 보편 기하학의 초기 원리들의 확립󰡕 ].

[1844 망지옹(Paul Mansion, 1844-1919). 벨기에 수학자, 과학사가. 벨기에 강대학 교수.]

317, 3) Prop., XXXIII, p. 70.

317, 4) Prop., XXXIX, Schol., p. 98.

-*-*- 318

318, 1) Prop., XXXIX, Schol., p. 99.

1728 람베르트(Jean-Henri Lambert, deu. Johann Heinrich Lambert, 1728-1777), 알사스의 물루즈 출신으로 독일에서 활동한 수학자, 철학자. 수 파이(le nombre π)는 유리수가 아니라는 것을 증명하였다.

318, 2) Pangéométrie ou Précis de géométrie fondée sur une théorie générale et rigoureuse des parallèles (Lobatchevski, vol. II, p. 618).

-*-*- 319

319, 1) Ibid., p. 617.

319, 2) Ibid., p. 678.

319, 3) Ibid., p. 619.

319, 4) [Lobatchevski,] Recherches géométriques sur la théorie des parallèles [원: Geometrische Untersuchungen zur Théorie der Parallellinien, 1840], proposition n° 19, tr. Houel, 1859 p. 7.

[1823 후엘(Guillaume-)Jules Hoüel, 1823-1886), 프랑스 수학자. 천문학자, 번역가.]

319, 5) vide supra, § 53.

-*-*- 320

320, 1) Klein, Conférence sur les Mathématiques (Chicago, 1893), tr. Laugel, 1898, p. 86.

[1849 클라인(Felix Klein, 1849-1925), 독일 수학자. 1868년 새로운 공간 기하학(Neue Geometrie des Raumes), 이 공간에 플뤽커(Julius Plücker, 1801-1868)에게 주의를 끌었으며, 플뤼커가 4차원 공간으로 이용했다고 한다.

Cf. 클라인(Morris Kline, 1908–1992), 미국 수학교수, 수학사가. 수학의 대중화에 힘씀.

[1855 로젤(Léonce Laugel, 1855–1925), 프랑스 수학자, 과학 작품 번역가.

320, 2) [Gauss,] Disquisitiones generales circa suoerficies curvas, (1827)[곡면에 관한 일반적인 연구], Oeuvres, IV, 219 et suiv. ... Lechalas “...” La courbure e la distance en géométrie générale, Revue de métaphysique, 1896, p. 195.

- 이제, 사람들은 르샬라(Lechalas, 1851-1919)와 더불어, 어떻게든 본래 곡률의 관념을 제시할 수 있다. “만일 표면 위에서 사람들이 어떤 닫힌 곡선에 의해서 지역을 제한한다면, 그리고 만일 반지름 1인 구의 중심에 의해서 사람들이 탄젠트인 평면에 수직적인 또는 정상적인 평행선들로부터 곡선의 다양한 점들로 이끌린다면, 직선들의 일체에 의해 구 위에서 잘려진 지역의 표면은, (곡선의 내부에 포함된 표면의 할당에 비례[연관]하여) 가우스가 주어진 표면 위에 고려된 지역의 적분적 곡률이라고 불렀던 것이다. 만일 이제 이런 지역이 M이란 점의 주위에 무한정하게 좁혀진다면, 적분적 곡률이 향하는 한계는, 즉 법칙에 따라 고려된 지역이 사라지게 되는 그 법칙으로부터 독립적인 한계는, 점 M에서 표면의 곡률이며, 일반적으로 채택된 표현을 사용하자면 그것의 전체적 곡률[적분적 곡률]이다. 사람들은 점 M에 의해 표면 위에 그어진 모든 곡선들은 가운데, 그것들 중에 서로 서로 직각인 두 곡선이 있다. 이들 중에, 곡률의 반경들이, 말하자면 중요한 반경들이 하나는 최대치이고 다른 하나는 최소치이다. 따라서 만일 사람들이 중요한 방향들에 평행하는 변들 갖는 정사각형의 표면 요소를 고려한다면, 사람들은 전체적 곡률이 중요한 곡률의 두 반경들의 생산물의 거꾸로에 동일하다. 두 반경이 동일한 의미[방향] 또는 반대 의미[방향]임에 따라, 곡률은 긍정적[양수] 또는 부정적[음수]이다.”

[1777 가우스(Johann Carl Friedrich Gauß, 1777-1855) 독일 수학자, 천문학자, 물리학자.

[1851 르샬라(Georges Lechalas, 1851-1919), 프랑스 기술자, 수학자. - Léchalas, La courbure et la distance en Géométrie générale, ap. Revue de Métaphysique, t. IV, p. 194 (1896)]

[1821 헬름홀쯔(Hermann von Helmholtz, 1821-1894) 프러시아 생리학자, 물리학자. 유체 동역학, 소리와 열의 지각이론과 열역학에 중요한 기여를 하였다.]

-*-*- 321

321, 1) Werke, 2e édit. 1892, p. 282, tr. Laugel, 1898, p. 292.

[1835 벨트라미(Eugenio Beltrami, 1835-1900), 이탈리아 수학자, 물리학자.

1855 라우젤(Armand Louis Léonce Henri Philippe Auguste Laugel, 1855-1925) 프랑스 수학자, 번역가. 독일 수학자들 가우스와 리만 작품 번역가.

321, 2) Essai d’interprétation de la géométrie non euclidienne, tr. Hoûel, Annales scientiques de L’Ecole normale supérieure, t. VI, 1869, p. 251 et suiv. Cf. Helmholtz, Les axiomes de la géométrie, leur origine et leur signication, Revue des cours scientifiques, 2e série, t. XII, 1877, p. 123b.

1823 후엘(Guillaume-)Jules Hoüel, 1823-1886), 프랑스 수학자. 천문학자, 번역가.

321, 3) Revue Néo-scolastique, Louvain, 1896, p. 352.

[망지옹(Paul Mansion, 1844-1919)]

-*-*- 322

322, 1) A, 220. AKB, IV, 146, Ba, I, 280 et TP, 233.

322, 2) [Renouvier,] La philosophie de la règle et du compas, théorie logique du jugement dans ses rapports et ses applications aux géométriques et à la méthode de géomètres, L'Année philosophique, 2e année (1891), 1892, p. 22.

-*-*- 323

323, 1) [Hilbert,] Les principes fondamentaux de la géométrie, tr. Laugel, 1900, p. 24. [원: Grundlagen der Geometrie (Les fondements de la géométrie) en 1899.]

[1862 힐버트(David Hilbert, 1862-1943) 독일 수학자. 수학의 형식주의자 Grundlagen der Geometrie (Les fondements de la géométrie) en 1899. 2판 1903.

323, 2) 이런 명칭을 고려하여, 베로네세(Giuseppe Veronese, 1854-?)의 이런 중요한 논평을 상기하는 것이 무용하지 않다: 기하학적 연속성을 충분하게 고려하기 위하여 또한 다른 요청[공리]을 다음의 형식으로부터 도입해야 한다. “변한다고 할지라고 모든 선분은 선분의 [두] 극단들로부터 구별하는 점을 포함한다.” « Les postulats de la géométrie dans l'enseignement », Congrès des mathématiciens (Paris 1900), p. 449.

[1854 베로네세(Giuseppe Veronese, 1854-) 베니스 출생, 이탈리아 수학자.

323, 3) Trad. Laugel, 1900, p. 33.

323, 4) Ibid.

-*-*- 324

324, 1) Annales de la Société scientifique de Bruxelles, t. XXIX, 1905, p. 200. [이 년보에 힐베르트의 비유클리드 기하학에 관한 글이 실려 있다.] Cf, Poincaré, Journal des Savants, 1902, p. 262. “비유클리드 기하학은, 이 연속의 측도에 관한 우리의 관념들을 뒤엎어버렸다고 할지라도, 말하자면 기하학적 연속성에 대해 우리들의 질적 개념작업을 존중했다. 비아르키메데스 기하학은 이런 개념작업을 파괴하였다. 이 기하학은 새로운 요소들을 도입하기 위하여 해부했다(disséquer).

[쁘왕까레(Henri Poincaré, 1854-1912), 프랑스 수학자, 물리학자, 기술자, 철학자.]

324, 2) Macfarlane, Les idées et les principes du calcul géométrique, Bibliothèque du Congrès international de philosophie, (Paris, 1900) t. III, 1901,p. 405 et suiv.

[1851 맥파를란(Alexander Macfarlane, 1851–1913), 스코틀랜드 논리학자, 물리학자, 수학자.

[1805 해밀턴(William Rowan Hamilton, 1805-1865), 아일랜드 수학자, 물리학자, 천문학자. 4차원과 벡터(quaternions et des vecteurs)에 기여했다.

[1809 그라스만(Hermann Günther Grassmann, 1809-1877), 프러시아 수학자, 인도연구자. 언어학자, 물리학자, 네오휴머니스트.

(옮 6:22, 59QKE) (10:18, 59QLB)

책1912브룅슈1869수철인14B.hwp

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