수학공부를 잘하는 방법 : 과목별 자기주도력을 높이는 방법(3)

[마틸다]

수학공부를 잘하는 방법 : 과목별 자기주도력을 높이는 방법(3)

수학공부를 잘하는 방법 : 과목별 자기주도력을 높이는 방법(3)

  3. 수학공부를 잘하는 방법

수학공부는 왜 해야 하나

  수학을 공부해야 하는 이유를 쉽게 비유한다면 다음과 같다. 우리는 헬스클럽에 가면 러닝머신, 덤벨, 역기, 등 많은 운동기구들을 볼 수 있다. 어떤 사람이 헬스클럽에 가서 운동을 하려고 등록을 했다. 안내하는 사람이 여러 가지 운동방법에 대해서 설명하였더니 운동하러 온 사람이 “저는 역도선수가 될 것도 아닌데 왜 역기운동을 하죠? 저것을 제가 써먹는 것도 아닌데요.”, “전 마라톤 선수가 될 게 아닌데 왜 러닝머신을 해야 하죠?”라고 물었다고 하자. 여기서 역기는 꼭 ‘역도선수’가 되기 위해, 혹은 ‘역기를 드는 것’을 써먹기 위해 하는 것이 아니라, 힘과 근육을 기르기 위해서 하는 것이다. 러닝머신도 육상선수가 되기 위해서 하는 것이 아니라 운동에 대한 지구력과 끈기를 배우기 위해 하는 것이다.

  마찬가지로, ‘수학’을 배우는 목적은 수학자가 되기 위해서가 아니다. ‘수학적 사고력’, ‘생각의 힘’을 기르기 위해 수학을 배우는 것이다. 수학은 학문성격상 논리적이기 때문에 수학을 공부하는 과정에서 논리력은 꼭 필요한 요소이다. 또한 답은 하나이지만 풀이과정에 접근하는 방법은 무궁무진하여 사고력 향상에 도움을 준다. 이런 것들을 종합해 보면 논리적이고 사고적인 능력 향상을 통해서 다른 학문을 공부할 때에 좀 더 효율적이고 능률적인 학습에 도움을 준다고 볼 수 있다.

  또한 생각의 힘을 기르기에 ‘수학’처럼 좋은 학문은 없다. 우리가 어떤 글을 쓰려고 할 때 논리적인 사고를 할 수 없다면 이치에 맞는 글을 쓰는 것은 힘들게 된다. 이러한 논리력을 바로 수학으로 기를 수 있다는 것이다.

효과적으로 수학을 공부하는 방법은 무엇인가

  도대체 수학은 왜 그렇게 어려운 것일까? 왜 노력을 해도 점수는 여전히 나쁜 것일까?

  이제부터 수학이 어떤 과목인지 그 특성에 대해 살펴보면서 그 원인을 찾아보기로 하자. 그리고 나서 어떻게 하면 그런 원인을 제거하여 수학을 잘하는 사람이 될 수 있는지 수학공부의 비결에 대해서 알아보자.

  사실 수학은 잘하는 사람보다는 못하는 사람이 더 많다. 뿐만 아니라 학년이 올라갈수록 못하는 사람의 비율은 급격히 높아져 고등학교 3학년쯤 되면 사실 다른 과목은 몰라도 수학과목만은 이미 포기한 사람들이 더 많다고 해도 틀린 말은 아닐 것이다. 고등학교 수학교사에게 물어보아도 고등학교 3학년 학생 중 수업내용을 제대로 이해하는 학생은 50명 중에 10명이 채 안될 것이라고 한다. 그러니 수학은 결코 쉬운 과목이라고 말할 수는 없을 것이다.

  그러나 다른 과목들의 시험점수를 보면 대부분 학생들의 점수가 그리 큰 차이가 없는데 반해, 수학시험 점수만은 잘하는 사람과 못하는 사람의 점수 차이가 매우 크다는 것을 알 수 있다. 즉, 수학에서만큼은 다른 과목과는 달리 잘하는 사람과 못하는 사람이 뚜렷이 구분되어 적지 않은 학생들이 거의 매번 0점에 가까운 점수를 받는가 하면, 또 어떤 몇몇 학생은 거의 매번 100점이나 100점에 가까운 점수를 받는 경향이 있다.

  이렇게 매번 거의 만점을 맞는 사람들은 흔히 “나는 사실 수학과목이 편합니다. 왜냐하면 기본 원리만 알면 별 어려움 없이 많은 문제를 풀 수 있으니까요. 그러니 얼마나 간단합니까? 다른 과목들은 모든 것을 다 암기해야만 문제를 풀 수 있지 않습니까?”라고 말한다.

  이렇게 수학은 편한 과목이다. 왜냐하면 다른 과목들처럼 모두 다 외울 필요가 없기 때문이다. 수학은 몇 가지 기본만 공부하면 많은 문제들은 그저 응용하여 다 풀 수가 있다. 여기서 수학공부의 몇 가지 기본이란 ‘정리’, ‘공식’ 그리고 ‘기본 유형문제’이다. 이렇게 요약하고 보니 수학공부 를 잘하는 비결도 별 것 아닌 것처럼 느껴질 것이다. 그렇다면 우리도 그까짓 것 못할 것도 없지 않겠는가?

  이제부터는 수학 잘하는 비결을 나름대로 정리하여 좀 더 자세히 설명해보기로 한다. 수학공부 비결을 정리해 보니 대부분 다음과 같은 4단계로 수학공부를 해나가는 것이 바람직하다고 여겨진다.

  ① 제1단계 : 개념과 원리의 이해

  개념과 원리의 이해란 무엇인지 예를 들어 설명해보자.

  초등학교 6학년 이상이라면 여러분은 원의 넓이를 구하는 공식이 (원주율)×(반지름)2임을 알 것이다. 그리고 그 원의 넓이공식을 이용하여 대부분 원의 넓이를 구할 것이다. 그렇다면 어떻게 하여 원의 넓이공식이 (원주율)×(반지름)2인지 아는가?

  원의 넓이공식의 유도과정은 그리 어려운 편이 아니다. 원을 한없이 잘게 잘라 붙이면 직사각형 모양과 비슷해진다. 그래서 직사각형의 넓이를 구하면 원의 넓이와 같아지는데, 직사각형에서 가로의 길이는 원주의 반이고 세로의 길이는 반지름이므로 원주의 반과 반지름의 길이를 곱하면 (원주율)×(반지름)2의 공식이 나오게 된다.

  그럼에도 불구하고 많은 학생들은 그것을 열심히 보지 않거나 대충 훑어보거나 했을 것이다.

왜냐하면 그 유도과정을 볼 시간동안 한 문제라도 더 풀어봐야 하기 때문에, 또는 공식 하나 알아서 그것을 대입하여 풀면 쉬운데 굳이 그런 유도과정까지 볼 필요가 없다고 느끼기 때문이다. 하지만 앞으로 수학을 더 잘해보고자 하는 사람이라면 수학의 개념이나 원리를 이해하는 데 좀 더 많은 노력을 기울여야 할 것이다.

  지금까지 많은 정리와 공식을 공부할 때 그 결과를 그저 외우기만 했던 학생이라면, 이제부터는 그 증명과정을 좀 더 열심히 보고 이해하려고 노력해야 할 것이며, 만약 그것을 보아도 이해가 안되는 사람이라면 그 수준에 맞지 않는 사람이니 그 아래 학년의 수학적 개념이나 원리부터 다시 공부하고 올라와야 할 것이다. 수학에는 결코 ‘대충’이란 것이 없다. ‘확실히’ 이해가 되어야만 아는 것이고, ‘조금’이라도 모르면 모르는 것이지, ‘대충’ 알 것 같다는 것은 있을 수 없다. 다른 과목에서는 그렇지 않을 수 있지만, 수학에서만큼은 ‘대충’ 알 것 같다는 것은 ‘전혀’ 모르는 것과 같다. 아니, 어쩌면 전혀 모르는 것보다 ‘대충’안다고 생각하는 것이 더 위험할 수도 있다.

  왜냐하면 그렇게 생각하는 사람은 자기가 아는지, 모르는지도 몰라 무엇을 다시 공부해야 하는지도 모를 테니까 말이다. 이제부터는 수학의 공식이나 정리의 증명과정에 관해서 만큼은 “아하, 바로 이렇게 하는 것이구나.”하고 분명히 이해해서 감탄이 나올 수 있을 정도로 확실히 알고 넘어가도록 해야 할 것이다.

  ② 제2단계 : 공식암기

  공식이란 정리의 일종으로서 선배 수학자들이 자신들의 머리를 사용하여 그것이 참임을 증명해낸 수학의 명제들이다. 공식이나 정리의 증명과정을 이해하는 것이 앞의 제1단계에서 해야 하는 일이라면, 제2단계에서는 그 증명의 결과인 수학적 공식들을 확실히 암기하는 일을 해야 한다. 공식이란 곧 수학에서 있어서의 기본 도구라 할 것이니, 그것들을 얼마나 정확하게 암기하여 필요한 때에 제대로 사용할 수 있느냐에 따라 수학점수가 결정되는 것이다.

  기본 개념과 원리를 분명히 이해한 사람이라도 공식을 외우지 않고 있으면 문제를 풀 때마다 매번 스스로 기본 공식을 유도해 낸 후에 그것을 사용해야 할 것이니, 시간은 얼마나 많이 들 것이며, 번거롭기는 또 얼마나 번거롭겠는가? 그래서는 수학에서 좋은 점수를 받기가 어렵다는 점이다.

  만약 반지름의 길이가 3cm인 원의 넓이를 구한다면 (원주율)×(반지름)2인 공식에 대입해 풀 수 있다. 그러면 3.14×3×3＝π×3×3＝9π로 쉽게 풀 수가 있다.

  이 2단계에서 수학공식들을 확실히 외웠다면, 이제 그 다음 단계인 3단계로 넘어가도록 하자.

  ③ 제3단계 : 기본 문제유형별 훈련

  ‘기본 문제유형’이란 무엇인가? 보통 문제집을 보면 책에 ‘필수예제’라는 이름으로 나와 있는 문제들이 있다. 그 문제들이 바로 그 분야 수학문제의 대표선수격인 것들이다. 각각의 기본 문제유형은 그것을 푸는 데 필요한 독특한 방식이 있다. 그 방식을 정확히 이해하고 암기하여 그 밑에 있는 ‘유사한 문제’를 풀 때 적용해야 한다.

  ‘기본 문제유형별 훈련’이란 수학에 있어 문제를 풀기 위한 기본기를 닦는 과정이라 할 수 있다. 모든 일이 기본기가 잘되어 있어야 실수도 적고 시간이 갈수록 실력이 더 늘지 않는가? 태권도에서도 기본 자세와 기본 동작이 중요하고, 테니스나 피아노 배우는 데도 역시 마찬가지이다. 마음이 급하다고 기본기 훈련을 소홀히 하고 바로 시합이나 연주로 들어가면 실력이 느는 것이 아니라 오히려 자신감만 잃게 되기가 쉽다. 수학도 꼭 그와 같아서 ‘필수예제’를 이해하고 ‘유사한 문제’를 통해 그런 유형을 확실히 익히지 않은 채로 바로 시험문제를 풀려고 하다 보면 어디서부터 손을 대야 할지도 몰라 당황하게 되어 수학에 점차 공포심을 갖게 된다. 일반시험에 나오는 문제도 언뜻 보기에는 매우 복잡한 문제 같지만 찬찬히 분석해 보면 몇 가지 ‘기본 문제유형’을 섞어 놓은 것에 불과함을 알 수 있을 것이다.

  따라서 수학을 공부하는 데 있어서는 바로 이 제3단계에 가장 많은 시간과 노력을 투자해야 할 것이다. 기본 문제유형별 훈련을 충실히 하면 할수록 모든 수학문제들이 점차 뻔한 문제로 보이게 될 것이다.

 하나, 둘 공부하다 보면 할수록 이해와 숙련의 속도가 점점 더 빨라질 것이니 겁먹지 말고 지금부터라도 하나하나 착실히 공부해 나가야 하겠다. 수학시험에서 좋은 점수를 받느냐 못 받느냐는 바로 제3단계인 기본 문제유형별 훈련에 달려 있음을 명심해야 할 것이다.

  ④ 제4단계 : 실전연습

  이제는 수학공부의 마지막 단계이다. 앞의 세 단계를 충실히 다져온 사람이라면, 이제는 그 동안 튼튼히 닦아온 기본기를 바탕으로 연습이 아닌 진짜 시합을 해보고 싶은 마음이 생길 것이다.

 그럴 때 도전하게 되는 문제가 일반 문제집에서는 연습문제이다. 앞에서도 이야기했던 대로, 그런 문제들은 어떤 한 가지 기본 유형에 속하는 것이 아니라, 여러 가지 기본 유형이 복합된 것들이므로 앞 단계들을 충실히 했다고 해도 쉽게 풀리지만은 않는다. 물론 앞 단계들을 충실히 하지 않은 사람이라면 전혀 손도 대지 못하는 것이 당연한 일이다.

 실전문제에 도전할 때는 먼저 이 문제는 어떤 기본 유형의 변형인지, 혹은 어떤 기본 유형과 또 다른 어떤 기본 유형이 섞여 있는 문제인지 분석해보아야 한다. 그것이 바로 ‘문제의 이해’이다. 문제를 풀 수 있으려면 주어진 문제가 무엇을 요구하는 것인지 우선 알아야 하지 않겠는가? 그런데 그것도 그리 쉬운 일이 아니다. 문제를 제대로 이해하는 것도 상당한 실력을 요구한다. 앞에서 이야기한 1, 2, 3단계의 공부가 바로 ‘문제이해’의 능력을 키워주는 준비단계라 할 것이다.

 문제가 이해된다는 것은, 문제에서 주어진 조건들을 각각 어떻게 이용해야 할지 알 수 있게 된다는 것이다. 수학문제란 곧 ‘주어진 모든 조건’을 이용하여 ‘요구되는 결과’를 논리적으로 도출해 내는 과정이다. 만약 주어진 조건 중에 이것은 어떻게 하라는 것인지 잘 모르겠다면 그 문제는 애초부터 풀기에 틀린 문제이다.

 도대체 왜 그런 느낌을 가지지 못할까? 그것은 해답을 보아도 그 풀이과정을 이해하지 못하기 때문이다. 그런 사람이라면, 역시 앞의 기본 개념과 원리나 혹은 기본 문제유형을 다시 공부해야 한다. 또 어떤 사람은 그것까지 다시 공부했는데도 여전히 풀이과정을 이해하지 못하는 경우가 있다. 그런 경우는 기본적인 개념과 원리공부를 다시 철저히 함으로써 풀이과정을 이해할 수 있도록 노력해야 할 것이다.

  한편 해답을 보면 이해를 할 수 있는 사람 중에서도 그 풀이과정을 그저 눈으로만 보면서 감탄과 안타까움을 느끼는 것으로 끝내버리는 사람이 적지 않다. 그래서는 수학실력이 늘지 않는다. 눈으로 볼 때는 다 아는 것 같은데, 나중에 같은 문제를 또 보게 되면 여전히 풀지 못하는 것이다. 그렇다면 어떻게 해야 할까? 해답을 볼 때도 끝까지 볼 것이 아니라 막혔던 부분의 푸는 방법만 보고나서, 다시 연습장으로 돌아와 내 손으로 써가며 풀기 시작해야 한다.

 그러다가 또 막히면 해답에서 그 부분만 다시 보고 와서 풀고 그런 식으로 반복해야 한다. 그러면서 그 풀이의 전과정을 내 머리와 내 손을 사용하여 완성해야만 하는 것이다. 그런 후에는 다시 그와 유사한 문제를 접해 이번에는 해답을 보지 않고 순전히 내 힘만으로 풀 수 있으면, 이제는 분명히 그 문제를 풀 수 있는 실력을 갖게 된 것이라고 확신해도 좋다.

 지금까지 수학공부의 비결을 네 단계로 나누어 살펴보았다.

 이제는 마지막으로 수학공부할 때 조심해야 할 부분에 대해서 이야기하겠다.

  앞의 수학공부 4단계에서는 수학에서의 ‘이해’와 ‘암기’의 중요성에 대해서는 충분히 강조되었는데, 수학실력의 3요소 중 한 가지가 상대적으로 소홀히 되었던 것 같다. 그것이 바로 ‘계산력’인데, 수학은 이해 및 암기와 함께 계산능력이 모두 중요한 과목이다. 그렇기 때문에 계산실력이 떨어지는 사람은 수학의 원리를 잘 이해하고 기본 공식을 잘 외우고 있다하더라도 문제를 푸는 도중에 계산 실수를 하거나, 혹은 제대로 풀더라도 시간이 부족하여 좋은 점수를 받지 못하게 된다. 그러므로 계산능력도 키워놓아야 한다. 그러려면 역시 자기 손으로 문제를 많이 풀어 보는 수밖에 없다. 다른 모든 것들이 그러하듯이 많이 그리고 자주 하게 되면 능률이 오르게 되는 것이다. 자신감을 가지고 위의 사항들을 잘 지켜 나가다 보면 어느새 수학뿐만이 아니라 다른 과목까지도 잘하는 우등생이 되리라고 본다. 

수학시험에 대비하는 방법은 무엇인가

  ① 교과서 중심으로 공부한다.

 공부를 잘하려면 중심교재가 있어야 하는데, 그 중심교재가 바로 교과서이다. 우등생이 되는 첫 번째 관문은 교과서 정복이다.

  ② 모르는 것이 무엇인지 알고 수업에 임해야 한다.

  수업이 재미있어야 한다. 그러기 위해서는 우선 선생님이 지루하지 않게 해야 하는데 그것은 선생님의 몫이다. 그 다음은 학생 스스로 재미있어야 하는데 그 방법은 모르는 것이 무엇인지 알고 수업에 임하는 자세이다.

  ③ 선생님 강의에 집중해야 한다.

  우등생의 특징은 선생님의 강의를 열심히 듣는 것이다. 그리고 그 시간에 소화하려고 애쓴다. 수업을 소홀히 하고 열심히 듣지 않는 것은 배우는 학생으로서 기본 자세가 안되어 있는 것이다. 수업을 열심히 듣고 책에도 적고 노트에도 적어 보자. 메모하는 습관은 영재교육의 출발점이라는 말이 있다.

  ④ 암기보다는 원리를 알려고 힘써야 한다.

  공부는 원리를 이해하고 암기하는 과정을 걸쳐서 완성된다. “왜 그렇게 되지?”라고 의문을 던지고 원리를 알고자 노력해 보자. 여기서 원리란 만들어진 이유와 원칙을 말한다. 원리를 모르겠거든 질문을 하도록 하자.

  ⑤ 알고 있는 것을 충분히 복습해야 한다.

  선생님의 강의를 듣고 이해를 했다면 공부방법의 출발점이 좋은 것이다. 이해한 것이 내 것이 되고 또한 다른 이들에게 설명할 수 있도록 충분히 복습해야 한다. 충분히 복습하지 않으면 배운 것을 다 잊어버리게 된다. 상위권과 중위권의 차이는 충분히 복습했느냐 안 했느냐의 차이라는 것을 명심해야 한다.

  ⑥ 실수한 문제들을 정리해 놓는다.

 문제를 풀어봄으로써 완전하고 단단한 지식이 된다. 문제를 한두 번 풀어서는 실력이 늘지 않는다. 실수한 문제는 또 실수할 가능성이 많기 때문이다. 또한 실수를 적게 하는 것은 아주 중요하다. 실수한 문제들을 표시해놓고 풀고 또 풀어보도록 하자.

  ⑦ 찾아보고 확인하는 습관을 길러야 한다.

  교과서를 통해 배운 개념들을 백과사전을 통해 확인하는 습관을 길러야 한다. 수학에 있어서도 피타고라스의 정리가 맞는지 실제로 그려보라. 아마 그냥 배운 상태에서와 실제로 확인해 본 후의 느낌이 다를 것이다.

  ⑧ 자투리 시간 활용법을 습관화해야 한다.

  인생은 자투리 시간의 효과적인 활동여하에 따라 크게 달라진다. 중학교 때 자투리 시간을 활용하는 습관을 길러 평생 생활화해야 한다. 수학공식들은 자투리 시간에 외우고, 배운 것을 생각으로 재생산하는 습관을 길러야 한다.

초등수학

  ① 공부를 잘하기 위해서는 복습보다는 예습이 필요하다.

  ② 예습은 독학이 최고다.

  ③ 요점정리는 스스로 하는 것이 제일 좋다.

  ④ 시험공부는 교과서와 문제집의 문제를 푸는 게 좋다.

  수학은 교과서에서 나오는 문제를 한 번씩 수업하는 곳까지 푼다. 그리고 다시 2~3번씩 공책에 참고서에 나오는 수학문제를 반드시 답이 나올 때까지 푼 뒤에 문제집을 풀어서 자신의 실력을 시험한다. 틀린 문제는 수학 오답노트의 한쪽에 정답을 쓰고, 다른 한쪽에는 오답을 쓴다. 그 뒤에 답이 나올 때까지 계속 풀면 된다.

중등수학 

 ① 스스로 공부할 수 있어야 한다.

 부모님의 압력에 의해 하는 공부는 한계가 있다. 매일 30분이라도 규칙적으로 공부하는 시간을 가져야 한다. 학교나 학원에서 내준 숙제를 하는 시간을 공부하는 시간으로 착각하는 학생이 많다. 숙제하는 시간은 공부시간이라고 보기 어렵다. 학교에서 배운 내용을 다시 한 번 살펴보는 복습이나 내일 배울 내용을 미리 들여다보는 예습을 진정한 의미의 공부라고 할 수 있다. 평소에 예습과 복습을 철저히 하는 성실한 학습 자세야말로 공부를 잘할 수 있는 비결이다.

  ② 매일 일정한 장소에서 조금씩이라도 공부를 하겠다는 마음가짐을 가져야 한다.

 공부방은 차분하고 안정감 있게 꾸미고 책상 주변에는 되도록 아무것도 두지 않는 것이 좋다. 좋아하는 연예인 사진 등을 붙여 두는 학생들도 있는데, 얼핏 생각하면 이러한 것들이 기분을 좋게 하고 공부 의욕을 북돋울 것 같지만 실제로는 공부에 집중할 수 없게 만든다. 책상은 공부하는 곳이지 아름답게 꾸미는 곳이 아니다. 학습능률을 높이고 싶으면 공부하는 데 필요한 최소한의 물건만 책상 위에 올려놓도록 한다.

  ③ 시간을 아껴 쓴다.

 자투리 시간은 덩어리 시간 사이에 남는 조각시간을 의미한다. 자투리 천들은 버리면 쓰레기이지만 모아서 잘 연결하면 훌륭한 이불보를 만들 수도 있다. 마찬가지로 자투리 시간도 잘 활용하면 덩어리 시간 못지않게 효과적으로 사용할 수 있다.