세상을 기하학으로 설계하다.

[유토피아]

오늘날 도형을 다루는 학문을 기하학이라고 하는데, 그 영어로 Geometry라고 한다.

기하학의 시작은 땅을 재는 데서 시작한 것이라고 보는 것이 타당하다.

세계의 각 문명들은 홍수가 잦아 토지는 비옥하였으나 범람에 대비할 필요가 있었다.

첫째, 범람시기를 정확히 예측하기 위해 역학이 발달했고 일찍부터 달력을 사용했다.

둘째, 물을 다스리기 위해 토목공사가 진행되면서 건축술이 발달했다.

셋째, 범람이후 토지를 적절하게 재분배해야 하는 문제 때문에 측량이 발달했고, 이 측량과 관계된 수학분야가 바로 기하학이다.

기하학과 대수학의 역사가 가장 긴 이유는 먹고사는 문제에서 출발했기 때문이다.

도형을 다루는 수학분야를 기하학이라고 한다. 'Geo-'는 땅을 의미하고 'metry'는 '재다'는 뜻에서 유래했다.

그러므로 기하학은 땅을 측량하는 데서부터 출발한 학문이다. 측량을 하는 이유는 경제적 필요성 때문이다. 또 땅을 사고팔기 위해서는 면적을 알아야 하는데, 그러자면 길이나 각을 먼저 알아야 한다.

나라의 입장에서는 누가 얼마나 많은 땅을 소유하고 있는지 정확하게 파악해야만 국가소득의 원천인 세금을 제대로 징수할 수 있다. 넓이를 정확히 측정하려면 길이나 각을 알아야 한다.

기하학은 각, 길이, 넓이, 부피 등 도형의 기본적인 요소와 이 요소들 사이의 상호관계를 알아내는 것이 1차적인 관심사다.

아무튼, 인류는 이미 고대시대에 이미 체계적인 측량이 이루어지고 있었다고 한다.

측량가운데서 삼각측량은 수학적으로 삼각법(三角法, Trigonometry)에 기초하고 있다.

삼각법이란 삼각형의 성질을 이용하여 도형을 연구하는 수학분야를 말한다.

이와 관련 공식적으로 확인된 가장 오래된 기록은, 서양의 탈레스(BC 624?∼BC 546?)가 처음 삼각법을 사용했다고 전한다. 탈레스는 삼각형의 닮음의 성질을 이용하여 피라미드의 높이를 측정했다.

지면으로부터 수직으로 세운 막대기와 그 막대기 그림자를 이용해서 말이다.

또 삼각형과 합동의 성질을 이용해서 산으로 가로 막혀 있는 두 지점 사이의 거리를 구하기도 했고, 해안으로부터 바다에 떠 있는 배까지의 거리를 구하기도 했다. 이처럼 삼각법은 인류의 기술문명과 함께 발달했다.

특히 천문학, 건축, 토목 기술, 항해술 등의 발전은 삼각법의 뒷받침 없이는 불가능했을 것이다. 3변의 길이 및 3각의 크기를 삼각형의 6요소라 한다.

이 가운데 SAS, SSS, ASA 조건을 만족하면 두 삼각형이 합동임을 알고 있다.

이 말은 ‘세 변의 길이가 주어지면(SSS), 그 조건을 만족하는 삼각형은 세상에 단 하나 뿐’이라는 뜻이다. 이와 같은 의미로 삼각형의 합동조건을 결정조건이라고도 부른다.

삼각형이 결정되면 당연히 6요소 가운데 나머지 3요소도 결정이 된다.

닮음 조건도 합동 조건 만큼 중요하다. 두 삼각형이 AA조건을 만족하는 경우 닮음이기 때문에 6요소를 결정짓는 것은 아니다.

그러나 닮음이면 변과 변사이의 비가 일정하기 때문에 삼각형 세변 사이의 비, 즉 sin, cos, tan값을 정의해줄 수가 있다.

피타고라스 정리와 삼각비를 배우고 나면 이제 삼각형의 요소는 분석이 다 끝난다.

이 모든 게 삼각법의 발달이 가져다 준 선물이다.

삼각측량은 이와 같은 수학지식에 기초해서 측량 불가능한 요소를 측량 가능한 요소들로부터 수학적으로 계산해내는 것이다.

삼각형이 중요한 이유는 삼각측량의 이론적 기초가 되기 때문만은 아니다.

다각형연구가 삼각형에서부터 출발하고, 다각형을 잘 알아야 나중에 곡선도 제대로 이해할 수 있다. 좌표 공간상에서 거리개념 역시 피타고라스 정리에서부터 출발하는 만큼 삼각형에 대한 이해는 기하학공부의 출발점이라 할 수 있다.

그러나 다른 한편으로는 삼각비와 피타고라스식의 삼각측량 외에 호도법(radian)의 측량술이 등장하면서 널리 유행하게 된다.

여기서 호도법이란 π를 이용하여 각을 표현하는 방법이다.

1호도는 반지름과 호의 길이가 같은 부채꼴의 중심각을 의미한다.

그렇다면 호도법은 왜 배울까?

단위를 정하는 도량형은 인위적으로 주어지는 것이다. 길이만 예로 들어도 인치, 자, 야드, 미터 등등 문화권에 따라 다양한 단위를 사용한다.

단위는 주어진 상황을 설명하는데 편리한 것이 좋다. 그런데 각의 분도법의 구체화되는 60도 의 분법은 사용하기 쉽고 편리하지만 삼각함수의 미적분에서는 매우 유용한 작도법이다.

결국 수학에서는 호도법이 훨씬 편리하다는 사실을 나중에 알게 된다.

삼각형의 넓이의 공식을 보면 각을 길이와의 관계로 정의하면 편리하다는 사실을 알 수 있다.

한편 도형에 관한 기하학의 지식이 실용적인 기술에서 논리적인 학문 체계로 자리 잡게 된다. 이제 실제의 경험이 추상적이고 논리적인 사고로 발전하는 것이다.

더나가서 철학과 수학은 분리될 수 없었다. 우주만물의 존재와 운동 방식 밑바탕에 수학적 질서가 자리 잡고 있다고 생각했다. 그 중심에 기하학이 있었다.

'신은 기하학적으로 사고한다.'고 말했던 플라톤이 만든 아카데미아 입구에 ‘기하학을 모르는 자는 들어오지 마시오.’라고 쓰여 있었다거나 유클리드가 ‘기하학에 왕도는 없다.’는 말을 남긴 것만 보아도 당시 기하학의 위상을 실감할 수 있다.

그러다 보니 종종 지나치게 기하학에 편중되어 부작용을 낳기도 했다.

가령 무리수를 받아들이지 않고 수를 도형의 길이로 이해한다거나, 방정식의 해조차 작도로 구하는 등 대수학이 거의 발달하지 못했다.

피타고라스는 입체도형 중 가장 아름다운 것은 구이고, 평면도형 중 가장 아름다운 것은 원이라고 강조하였다. 과도하게 작도에 집착한 이유 역시 이런 기하학 중심의 사고방식에서 찾을 수 있다.

한편으로 편중된 사고방식은 기하학이 엄청나게 발전하는 계기가 되기도 했다.

작도, 삼각법, 평면도형연구, 정다면체연구 등의 발전이 그 좋은 예다.

유클리드는 원론이란 책을 써서 당시 기하학을 체계적으로 정리했다.

이 책은 개념 중심으로 사고하고 연역적으로 새로운 사실을 논증해 나가는 방식의 그리스 기하학을 집대성한 것이다.

점, 선, 면, 선분, 직선, 각, 직각 등등과 같은 기본적인 요소에 대한정의, 공리체계의 도입, 증명을 통한 명제정립과정을 거치면서 오늘날 당연하게 받아들이는 수학적 특성들이 자리 잡게 되었다.

이와 같은 의미에서 그리스시대 완성된 기하학을 논증기하학이라고 부른다.

한편 그리스시대 완성된 기하학 체계는 2000년 동안 큰 변화 없이 유지되었다.

기독교에 바탕을 둔 신학적 세계관은 수학과 과학의 발달을 지체시켰다.

그러나 르네상스시대를 거치며 길고 길었던 중세적세계관도 무너지기 시작했다.

17세기는 과학혁명의 세기라 불릴 정도로 자연과학에 큰 변화가 일어난 시기다.

철학과 자연과학이 분리되지 않았던 전통이 여전히 유지되고 있었으나, 차츰 인문학과 자연과학이 분리되기 시작했다.

이런 변화에 따라 수학의 흐름에도 큰 변화가 생긴다. 데카르트가 좌표를 도입하면서 해석기하학의 세계가 열린 것이다. 좌표 도입과 관련하여 다음과 같은 일화가 전해지고 있다.

데카르트가 침대에 누워 천장에 붙어있는 파리를 보고 파리의 위치를 나타내는 일반적인 방법을 찾으려고 애쓰다가 '좌표'라는 발상을 하게 되었다고 한다.

수학에서 함수를 해석하는 분야를 해석학이라고 부르는데 좌표를 도입하고 함수식을 이용하는 등 기하학 연구에도 함수 해석의 기법이 도입되었다고 해서 17세기 이후 기하학을 해석기하학이라고 부른다.

그런 의미에서 그리스시대 완성된 기하학을 고전기하학이라고 부른다.

고전기하학은 유클리드의 업적을 높이 평가해 유클리드 기하학이라고도 부르고, 그리스 이전 시대와 비교하기 위해 논증기하학이라고도 부른다.

고전기하학, 유클리드 기하학, 논증기하학, 이 용어들 사이에는 조금씩 뉘앙스의 차이가 있지만 대부분 일맥상통한다고 보면 된다.

한편 좌표를 사용하여 도형의 문제를 해결하는 것이 해석기하학적 방법이다.

오늘날 그래프를 그리면서 똑같은 내용을 두 번 배우는데, 가령 직선을 두고 한 번은 일차함수라고 하고 한 번은 직선의 방정식이라고 부른다.

이 역시 함수(해석학)=도형(기하학)의 방정식(대수학)이라는 사고의 전환을 통해

대수학, 기하학, 해석학을 좌표 상에서 통합적으로 다룰 수 있도록 연습을 시키는 과정이다.

이해하기 쉽게 일차방정식, 혹은 직선의 방정식부터 시작해보자.

ax+by+c=o이라는 식을 미지수 x, y 의 관점에서 바라보면 식이 하나인데 미지수는 두 개다.

그러니까 해가 고정되지 않고 무수히 많은 순서쌍의 집합으로 나온다.

그 순서쌍들을 좌표평면상에 모두 표시하면 그래프가 된다.

그런데 똑같은 식을 y=ax+b꼴로 표현하면 함수 x값에 따라 y값이 결정되는 함수관계가 된다. 그래프란 방정식의 해집합이기도 하고 함수식을 만족하는 순서쌍의 집합이기도 하다.

그래서 우리는 직선의 방정식이라고 부르기도 하고 일차함수라고 부르기도 한다.

이처럼 기하학의 패러다임을 바꾼 사람은 데카르트다.

그는 좌표를 도입해서 해석기하학이라는 발상의 전환을 이뤄냈고 이는 기하학의 명적인 변화를 이끌어냈다.

단적으로 말해 좌표를 도입해서 이해할 수 있는 기하학적 사실이 훨씬 많다.

위치를 효과적으로 표시하기 위해 도입된 좌표가 도형을 나타낼 수 있는 효과적인 수단으로 발전한 것이다.

그렇다면 이차곡선이 왜 이차곡선이란 이름을 얻게 되었는지도 분명하다.

타원의 정확한 정의는 두 초점으로부터 거리의 합이 같은 점들의 집합이다.

그런데 이를 좌표평면 상에 함수식으로 표현하면 x, y에 관한 이차식이 된다.

그렇게 해서 함수식으로 표현하고 보니 원, 포물선, 타원, 쌍곡선은 모두 이차식으로 이루어져 있다. 그래서 이차곡선이다.

그런데 이미 2000년 전 그리스시대에 이들을 하나의 기준으로 분류하고 있었다.

원뿔곡선을 처음으로 엄밀하게 정의한 사람은 메나이크모스(375~325 B.C.)인데, 그는 직원뿔을 한 모선에 수직인 평면으로 잘랐을 때의 단면을 생각하여, 직원뿔의 꼭지각이 각각 예각, 직각, 둔각일 때에 따라 단면에 나타나는 곡선이 각각 타원, 포물선, 쌍곡선이 된다는 사실을 알아내었다.

또 아폴로니우스(262~200 B.C.)는 같은 원뿔을 여러 가지 기울기의 평면으로 잘라서 생기는 단면에서 각각 타원, 포물선, 쌍곡선을 얻었다.

아폴로니우스는 8권으로 된 그의 저서 원뿔곡선론에서 원뿔곡선의 정의와 축, 초점, 접선, 점근선 등에 대하여 논하였다.

그는 이 책에서 하나의 직원뿔을 여러 가지 평면으로 잘랐을 때, 이 평면이 밑면과 이루는 각이 모선과 밑면과 이루는 각보다 작은가, 같은가, 큰가에 따라서, 포물선은 “같다”는 뜻에서 “parabola”의 원어를 썼고, 타원은 “부족하다”는 뜻의 “ellipse”, 쌍곡선은 “초과하다”는 뜻의 “hyperbola”를 썼다.

한편 3차원 입체도형에서는 각, 길이, 넓이 외에도 겉넓이, 부피와 같은 고유 속성을 추가로 갖게 되고, 공간좌표를 이용해 이 값들을 알아내는 문제가 공간도형의 출발점이다.

그런데 2차원 평면상에서 직교좌표를 통하여 점의 위치를 순서쌍으로 표현가능하고 또 좌표로 주어진 두 점 사이의 거리, 내분점/외분점 등을 편리하게 구할 수가 있다.

그 다음 순서쌍의 개념을 방정식의 해집합으로 확대시켜 그래프를 그리고, 그래프의 여러 가지 성질을 분석해서 도형을 연구한다.

3차원 공간상에서도 이와 똑같은 수순을 밟는다.

공간상에서 점의 위치를 순서쌍으로 표현하는 법을 배우고 나면 좌표로 주어진 두 점 사이의 거리, 내분점/외분점 등을 구한다. 공간상에서 역시 거리 개념이 기하학 연구의 출발점이다.

그 다음 공간도형을 방정식의 해집합으로 이해하게 되고 3차원 그래프 분석을 통해 공간도형의 여러 가지 성질을 알아낸다.

이와 같은 사고의 확장은 수학적으로 매우 전형적인 유추의 과정이다. 2차원을 사고했던 방식을 기초로 3차원을 사고하는 것이다.

이 3차원의 공간도형을 다루게 되면 정사면체, 정육면체, 정팔면체는 정십이면체와 정이십면체에 까지 확대되면서 정십이면체와 정이십면체가 어떻게 생겼는지 머리속에서 상(image)을 그려낼 수가 있게 된다.

또 벡터의 개념은 기하학을 더 풍부하게 한다.

벡터는 그 자체로 특수한 대수적 성질, 즉 고유한 연산 구조를 갖는다.

덧셈, 뺄셈이야 순서쌍으로 확대되었을 뿐 일반 수 연산과 차이가 없다. 벡터 연산의 백미는 역시 내적이다.

내적을 이용해서 증명할 수 있는 명제도 많지만, 내적이 중요한 이유는 도형의 가장 기본적인 성질, 즉 거리와 각을 내적으로 표현할 수 있다는 점이다.

도형을 연구하는 출발점이 거리나 각과 같은 기본적인 요소임을 생각한다면 도형 연구에 내적이 매우 중요한 역할을 해내리라 짐작 가능하다.

벡터는 공간도형을 이해하는 데 중요할 뿐만 아니라 운동을 이해하는 데도 필수적이다.

벡터는 그 개념 자체가 16세기 역학의 발달과 함께 발생하여 수학 분야로 발전되어 왔다.

벡터는 크기와 방향을 동시에 갖는 물리량을 표현하는데 매우 유용하다.

한편 고대 이집트 지역에서는 나일강의 범람으로 강 주변의 땅 모양이 수시로 바뀌었으므로

땅의 넓이를 정확히 측정하여 땅 주인들에게 적절히 분배하는 일이 매우 중요하였다.

그런데 자연적으로 생겨난 땅은 대개 곡선으로 둘러싸여 있어서 그 넓이를 구하기가 어렵기 때문에 근사값으로 대신하였다.

이것이 최초의 적분 개념과 흡사한 구분구적법의 초보적인 원리다.

이와 같은 사고를 토대로 구분구적법을 사용한 사람이 아르키메데스(B.C 287~212?)로 17세기 뉴턴과 라이프니츠에 이르기까지 거의 2000년 동안 그에 필적하는 이론이 나오지 않았다.

아르키메데스는 원에 내접, 외접하는 96각형을 이용하여 원주율과 원의 넓이의 근사값을 구했으며 오늘날의 구분구적법과 유사한 ‘평형법’으로 구의 부피를 구하였다.

독일의 천문학자 케플러가 발견한 행성의 세 가지 운동법칙 가운데 제2법칙이 태양과 행성을 연결하는 직선이 같은 시간 동안에 그리는 면적은 항상 일정하다는 것으로 흔히 면적속도의 법칙이라 부른다.

적분 개념이 완전히 자리 잡기 전에 어떻게 이것을 알아냈을까?

케플러는 스승 티코 브라헤가 남긴 천문관측 자료를 바탕으로 거대한 종이에 그림을 그리고

구분구적법과 거의 비슷한 원리로 그 넓이를 일일이 계산하였다고 한다.

그는 볼록한 형태의 포도주 술통의 부피를 구할 때도 구분구적법의 원리를 이용해 여러 개의 원기둥 부피의 합으로 술통의 부피를 구했다는 유명한 일화가 있다.

이처럼 넓이와 부피를 구하는 과정에서 구분구적법이 발달했으나, 극한 개념이 없었기 때문에 근사값을 구하는 수준에서 만족해야 했다.

하지만 위와 같은 노력들은 구분구적법의 토대를 쌓았고, 훗날 미적분의 도입과 맞물려 미분기하학으로 발전하게 된다.

또 미분법이란 말은 라이프니츠가 처음으로 사용하였으며, 적분법이란 말은 베르누이(1667~1748)이 명명한 것이다.

적분 기호 ∫는 무한히 작은 양을 합친다는 뜻에서 라틴어‘summa’(영어의 sum)의 첫 자 s를 따서 만든 것이다.

적분을 뜻하여 영어 'integral'은 ‘전체를 구성하는’, ‘완전체의’ 등을 의미한다.

한자로 보면 미분이 미세하게 나눈다는 의미이고 이와 대조적으로 적분이 나뉜 것을 쌓는다는 의미를 나타낸다.

미적분의 역사를 이야기할 때 반드시 언급해야만 하는 두 사람이 뉴턴과 라이프니츠다.

뉴턴과 라이프니츠는 각각 독창적으로 미적분을 발견하였다.

시대상으로는 뉴턴이 조금 먼저 미적분을 발견하였으나 발표는 라이프니츠가 빨랐다.

이것을 두고 영국인들은 라이프니츠의 논문이 뉴턴의 논문을 모방한 것이라고 주장하였고,

독일인들은 뉴턴이 라이프니츠보다 발표가 늦었다는 사실을 들어 뉴턴이 표절했다고 주장하게 되었다.

이 문제는 영국의 수학계와 유럽대륙의 수학계 사이의 자존심 대결로 비화되어 학문적 교류가 중단되었다.

오늘날에는 이 두 사람의 공로를 모두 인정하고 있는데, 뉴턴은 주로 물체의 운동을 연구하는 과정에서 미적분의 개념을 발전시켰고, 라이프니츠는 기호의 확립과 연산에 중점을 두고 미적분을 발전시켰으니 두 사람 모두 수학사에 큰 족적을 남겼다.

지금까지 인류의 문명사에서 기하학의 역사를 간단하게 언급하였는데, 기하학의 시초로 토지의 측량에서 비롯되었으며, 점차 기하학의 학문 수준을 높여 왔던 것이다.

특히 고대 문명을 이룩하는데서 가장 핵심이 되는 토지 개간과 건축과 성탑의 축조 등에서 기하학의 지혜는 매우 중요한 수단이 되었다.

이러한 측량술이 그리스인들에 의해 정의되고, 증명을 통해 정리됨으로서 논리적이고 체계적인 기하학의 기틀이 만들어졌다.

그런데 그들은 실용적인 가치보다도 바른 지식 체계를 중요시했기 때문에, 의외로 쉽게 풀 수 있는 문제를 어렵게 푸는 경우도 많았다.

그런데 서양문명사에서 기하학의 가장 기초적인 문제는 앞에서 언급한 바와 같이 원과 직선의 문제였다. 모든 건축은 피타고라스의 삼각비와 원주율의 관계식으로 요약된다.

그러므로 원과의 관계에서 매우 중요한 개념이 바로 원주율이다.

원주율은 원의 지름과 둘레 길이의 비율을 말한다. 원주율은 직선인 자로 원의 둘레를 정확히 잴 수 없기 때문에 필요하고, 넓이나 부피를 구하기 위해서 반드시 알아야 할 값이다.

이 끝이 없는 수는 방정식으로는 나타낼 수 없다. 어떤 수가 이어질 지, 어떤 수가 자주 나올지 아무런 규칙이 없다.

유한한 시간에 이 끝이 없는 수에 어떤 규칙이 존재하는지 밝혀질 수가 없어 π는 미지의 세계이다.

한편 오늘날 원주율은 원의 지름에 대한 둘레의 비율을 나타내는 수학 상수이다.

원의 지름이 1일 때, 원주는 π이다. 유클리드 평면에서 원은 크기와 관계없이 언제나 닮은 도형이다. 따라서 원의 지름에 대한 둘레의 비는 언제나 일정하며, 이를 원주율이라 한다.

수학과 물리학의 여러 분야에 두루 쓰인다. 그리스 문자 π로 표기하고, 파이라고 읽는다.

원주율은 무리수인 동시에 초월수이며 수학에서 가장 중요한 상수 가운데 하나이다.

아르키메데스의 계산이 널리 알려져 있어 '아르키메데스의 상수'라고 부르기도 하며, 독일에서는 1600년대 루돌프 판 체울렌이 소수점 이하 35자리까지 원주율을 계산한 이후 '루돌프 수'라고 부르기도 한다.

원주율을 나타내는 기호 π는 1706년 영국의 수학자 윌리엄 존스에 의해 쓰이기 시작했다.

이것은 둘레를 뜻하는 고대 그리스어 "페리페레스"(περιφηρής)의 첫 글자를 딴 것이다.

윌리엄 존스는 “특정 도형의 길이나 넓이를 구하는 계산에 매우 유용한 여러 가지 방법이 있다. 원을 예로 들면 지름이 1인 원의 둘레를 약 3.14159…= π로 표기하는 것이다.”라고 기호 π의 사용을 제안하였다.

원주율은 소수점 아래 어느 자리에서도 끝나지 않고, 순환마디도 없이 무한히 계속되는 무리수이다. 원주율이 무리수라는 것은 1761년 요한 하인리히 람베르트가 증명했다.

원주율의 소수점 이하에서 나타나는 수열은 무작위 표집에 의해 만들어지는 난수표와 같은 성질을 보인다. 십진법으로는 정확한 값을 표기할 수 없어서 계산에서는 근사 값을 이용한다.

별의 모양과 궤도 속에 파동이 가는 길에, 그렇게 원이 있는 곳에 π가 있다.

그러므로 원, 달, 태양, 행성에 나타나므로 모든 별은 π를 품고 있다. 또 π가 원자에 나타나므로 π는 모든 물질에 존재한다.

원이 우주처럼 크든, 혹은 원자처럼 작든 π는 모든 원에 똑같이 나타나고 지름은 원주를 정확히 π배 만큼 두른다. 그래서 π의 불변함은 절대적이다.

그래서 파이라는 존재는, 가상적인 존재이면서 절대적인 것으로 하여 아름다움의 극치라고 생각하여 인류의 천재적인 철학자들도 그 값의 본질이 무엇인지를 알려고 일생을 걸었던 것이다.

그러나 π의 존재는 인간의 존재를 넘어선다. 그래서 모든 문명사에서 원주율이란 수는 불가능의 수로서 인정되었다. 그러나 인간은 이에 굴하지 않고 이 불가능의 수의 비밀을 파헤치고자 꺽이지 않는 불굴의 투혼으로 지칠 줄 모르는 탐구를 집요하게 시도한다.

사실 고대 유적지와 유물에 담긴 π의 흔적은 뚜렷하다.

고대인들에게 파이란 우주에서 가장 단순한 형태이며 자연의 신비를 반영한 것으로 생각한다.

그래서 그 신비를 벗기기 위한 과정으로 π값을 구하려는 노력을 계속했다.

이러한 과정에서 파이란 작도할 수가 있는가? 과연 파이는 숫자인가 문자인가 하는 논란거리를 남겨두게 된다.

고대 바빌로니아인은 다음 그림과 같이 원둘레(원주)를 반지름의 길이로 잘라 가면 여섯 번째에 원위치로 돌아오는 것을 알고 원주율을 3으로 보았다.

즉 파이=3.125=3과 1/8로 계산했다.

<v:shapetype id=_x0000_t75 stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" o:preferrelative="t" o:spt="75" coordsize="21600,21600"><v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path o:connecttype="rect" gradientshapeok="t" o:extrusionok="f"></v:path><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:shapetype><v:shape style="WIDTH: 131.71pt; HEIGHT: 54.12pt; v-text-anchor: top" id=_x229023456 type="#_x0000_t75"><v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\Hnc\BinData\EMB000004c45045.bmp" o:title="EMB000004c45045"></v:imagedata><w:wrap type="topAndBottom"></w:wrap></v:shape><v:shapetype id=_x0000_t75 stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" o:preferrelative="t" o:spt="75" coordsize="21600,21600"><v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path o:connecttype="rect" gradientshapeok="t" o:extrusionok="f"></v:path><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:shapetype><v:shape style="WIDTH: 263.42pt; HEIGHT: 27.06pt; v-text-anchor: top" id=_x229195712 type="#_x0000_t75"><v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\Hnc\BinData\EMB000004c45046.bmp" o:title="EMB000004c45046"></v:imagedata><w:wrap type="topAndBottom"></w:wrap></v:shape>

고대 이집트에서는 다음과 같은 방식으로 파이 값을 계산하였다.

<v:shapetype id=_x0000_t75 stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" o:preferrelative="t" o:spt="75" coordsize="21600,21600"><v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path o:connecttype="rect" gradientshapeok="t" o:extrusionok="f"></v:path><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:shapetype><v:shape style="WIDTH: 107.92pt; HEIGHT: 58.84pt; v-text-anchor: top" id=_x229216888 type="#_x0000_t75"><v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\Hnc\BinData\EMB000004c45047.bmp" o:title="EMB000004c45047"></v:imagedata><w:wrap type="topAndBottom"></w:wrap></v:shape><v:shapetype id=_x0000_t75 stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" o:preferrelative="t" o:spt="75" coordsize="21600,21600"><v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path o:connecttype="rect" gradientshapeok="t" o:extrusionok="f"></v:path><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:shapetype><v:shape style="WIDTH: 90.17pt; HEIGHT: 56.53pt; v-text-anchor: top" id=_x229219896 type="#_x0000_t75"><v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\Hnc\BinData\EMB000004c45048.bmp" o:title="EMB000004c45048"></v:imagedata><w:wrap type="topAndBottom"></w:wrap></v:shape><v:shapetype id=_x0000_t75 stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" o:preferrelative="t" o:spt="75" coordsize="21600,21600"><v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path o:connecttype="rect" gradientshapeok="t" o:extrusionok="f"></v:path><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:shapetype><v:shape style="WIDTH: 101.66pt; HEIGHT: 31.89pt; v-text-anchor: top" id=_x229501328 type="#_x0000_t75"><v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\Hnc\BinData\EMB000004c45049.bmp" o:title="EMB000004c45049"></v:imagedata><w:wrap type="topAndBottom"></w:wrap></v:shape>구약성경에서는 다음 그림처럼 10큐빗은 바깥쪽 지름의 길이이고 둘레 30큐빗은 물동이

안쪽의 둘레의 길이로 해석 하여 물동이의 두께를 다음과 같이 계산하였다.

<v:shapetype id=_x0000_t75 stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" o:preferrelative="t" o:spt="75" coordsize="21600,21600"><v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path o:connecttype="rect" gradientshapeok="t" o:extrusionok="f"></v:path><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:shapetype><v:shape style="WIDTH: 141.72pt; HEIGHT: 75.13pt; v-text-anchor: top" id=_x229511944 type="#_x0000_t75"><v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\Hnc\BinData\EMB000004c4504a.bmp" o:title="EMB000004c4504a"></v:imagedata><w:wrap type="topAndBottom"></w:wrap></v:shape><v:shapetype id=_x0000_t75 stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" o:preferrelative="t" o:spt="75" coordsize="21600,21600"><v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path o:connecttype="rect" gradientshapeok="t" o:extrusionok="f"></v:path><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:shapetype><v:shape style="WIDTH: 153pt; HEIGHT: 26.81pt; v-text-anchor: top" id=_x229515416 type="#_x0000_t75"><v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\Hnc\BinData\EMB000004c4504b.bmp" o:title="EMB000004c4504b"></v:imagedata><w:wrap type="topAndBottom"></w:wrap></v:shape>

인도에서는 이미 피타고라스가 태어나기 훨씬 이전부터 피타고라스의 정리를 알고 있었다.

그러나 그에 대한 기록은 없고 다만 천문학의 수준도 상당히 높았다는 것을 알 수가 있다.

즉 지름10인 원에 내접하는 12, 24, 48, 96각형의 둘레는 그 변의 수가 올라 갈수록 1000의

제곱근에 가까이 하게 된다는 원리에 입각하여 10파이= 루트1000의 값으로 계산한다.

<v:shapetype id=_x0000_t75 stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" o:preferrelative="t" o:spt="75" coordsize="21600,21600"><v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path o:connecttype="rect" gradientshapeok="t" o:extrusionok="f"></v:path><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:shapetype><v:shape style="WIDTH: 253.17pt; HEIGHT: 32.14pt; v-text-anchor: top" id=_x229669392 type="#_x0000_t75"><v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\Hnc\BinData\EMB000004c4504c.bmp" o:title="EMB000004c4504c"></v:imagedata><w:wrap type="topAndBottom"></w:wrap></v:shape>

중국의 유휘는 다음과 같은 할원술로서 파의 값을 계산하였다.

<v:shapetype id=_x0000_t75 stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" o:preferrelative="t" o:spt="75" coordsize="21600,21600"><v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path o:connecttype="rect" gradientshapeok="t" o:extrusionok="f"></v:path><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:shapetype><v:shape style="WIDTH: 165.52pt; HEIGHT: 76.86pt; v-text-anchor: top" id=_x229674512 type="#_x0000_t75"><v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\Hnc\BinData\EMB000004c4504d.bmp" o:title="EMB000004c4504d"></v:imagedata><w:wrap type="topAndBottom"></w:wrap></v:shape>

즉, 한 변의 길이가 a이고 그 넓이가 A이면 정N각형의 값은

<v:shapetype id=_x0000_t75 stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" o:preferrelative="t" o:spt="75" coordsize="21600,21600"><v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path o:connecttype="rect" gradientshapeok="t" o:extrusionok="f"></v:path><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:shapetype><v:shape style="WIDTH: 158.01pt; HEIGHT: 21.14pt; v-text-anchor: top" id=_x229537440 type="#_x0000_t75"><v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\Hnc\BinData\EMB000004c4504e.bmp" o:title="EMB000004c4504e"></v:imagedata><w:wrap type="topAndBottom"></w:wrap></v:shape><v:shapetype id=_x0000_t75 stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" o:preferrelative="t" o:spt="75" coordsize="21600,21600"><v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path o:connecttype="rect" gradientshapeok="t" o:extrusionok="f"></v:path><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:shapetype><v:shape style="WIDTH: 141.6pt; HEIGHT: 23.39pt; v-text-anchor: top" id=_x229540912 type="#_x0000_t75"><v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\Hnc\BinData\EMB000004c4504f.bmp" o:title="EMB000004c4504f"></v:imagedata><w:wrap type="topAndBottom"></w:wrap></v:shape>

송나라 말기 남서주의 종사사인 조충지가 더욱 정밀하게 셈하여, 원의 지름이 1척일 때 원주는 3장 1척 4치 1푼 5926임을 구했다.

이는 유럽에서 16세기까지도 구할 수 없었던 정확한 값이다.

<v:shapetype id=_x0000_t75 stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" o:preferrelative="t" o:spt="75" coordsize="21600,21600"><v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path o:connecttype="rect" gradientshapeok="t" o:extrusionok="f"></v:path><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:shapetype><v:shape style="WIDTH: 343.33pt; HEIGHT: 46.46pt; v-text-anchor: top" id=_x229684528 type="#_x0000_t75"><v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\Hnc\BinData\EMB000004c45050.bmp" o:title="EMB000004c45050"></v:imagedata><w:wrap type="topAndBottom"></w:wrap></v:shape>

그 후 원주율은 일반적으로 약 3.14로 통용되고 있다.

원주율은 주기적인 현상을 다룰 때 반드시 나타나는 신비한 수로, 음악, 소리, 빛, 전자기파 등 모든 파동에 쓰인다. 심지어는 우주왕복선 같은 첨단과학에서 실질적인 실험의 바탕을 이루기도 한다.

한편 건축축조에서 전통적으로 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용해서 작도하는 문제가 기하학의 기조를 이루었고 이 학문적인 발전은 당연히 건축의 아름다움으로 증명되었다.

그러나 건축현장에서의 실천과정에서 작도 불가능의 문제가 발견된다.

첫째, 정육면체를 두 배로 늘이는 것, 즉 어떤(임의의) 정육면체가 있을 때, 그것의 두 배의 부피를 가진 정육면체를 만드는 문제

<v:shapetype id=_x0000_t75 stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" o:preferrelative="t" o:spt="75" coordsize="21600,21600"><v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path o:connecttype="rect" gradientshapeok="t" o:extrusionok="f"></v:path><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:shapetype><v:shape style="POSITION: absolute; WIDTH: 240.95pt; HEIGHT: 76.54pt; v-text-anchor: top; mso-position-vertical-relative: line; mso-position-vertical: absolute; mso-position-horizontal-relative: text; mso-position-horizontal: center" id=_x229701064 type="#_x0000_t75"><v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\Hnc\BinData\EMB000004c45051.bmp" o:title="EMB000004c45051"></v:imagedata><w:wrap type="topAndBottom"></w:wrap></v:shape>

둘째, 어떤(임의의) 각을 3등분하는 문제.<v:shapetype id=_x0000_t75 stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" o:preferrelative="t" o:spt="75" coordsize="21600,21600"> <v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path o:connecttype="rect" gradientshapeok="t" o:extrusionok="f"></v:path><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:shapetype><v:shape style="POSITION: absolute; MARGIN-TOP: 13.7pt; WIDTH: 340.16pt; HEIGHT: 76.54pt; v-text-anchor: top; mso-position-vertical-relative: line; mso-position-vertical: absolute; mso-position-horizontal-relative: text; mso-position-horizontal: center" id=_x229710992 type="#_x0000_t75"><v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\Hnc\BinData\EMB000004c45052.bmp" o:title="EMB000004c45052"></v:imagedata><w:wrap type="topAndBottom"></w:wrap></v:shape>

셋째, 원을 정사각형으로 고치는 것, 즉 어떤 임의의 원과 같은 넓이를 가진 정사각형을 만드는 문제.

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눈금 없는 자와 컴퍼스만을 이용하여 주어진 조건을 만족하는 도형을 그리는 것을 작도라고 한다. 수많은 기계들이 발전하고 있는데도 불구하고 현재까지도 이 방법이 이어져 오고 있는 이유는, 굳이 눈끔 없는 자와 컴퍼스만으로 작도하는 것을 강조하고 있기 때문이다.

또 이 이면에는 ‘가장 완전한 도형은 직선과 원이며 그래서 신은 이 둘을 중히 여긴다.’라는 믿음 때문이었다고 한다.

이러한 믿음의 배경 때문에 오늘날까지 오직 직선과 원을 그릴 수 있는 자와 컴퍼스에 작도를 국한 시킨 것이다.

특히나 눈금 없는 자를 사용한 이유로 다음과 같이 설명하는 것이 정설이다.

즉, 그 당신 수학자들은 육체적 쾌락에 빠지기 보다는 지적인 활동을 통해서 마음의 기쁨을 누렸다. 그리스 시민은 노동을 멸시하였으며, 그런 일은 노예가 하는 것으로 치부했다.

따라서 수학 중에서도 길이나 넓이를 재는 따위의 측량술은 노예들이나 하는 천한 기술이었다. 눈금 있는 자를 사용하는 것이 노예들이 치르는 계산술과 관련이 있기에, 지금까지 그 전통을 따르고 있다. 그러한 전통의 시작은 플라톤 때부터였다.

그의 평소의 신조는 "자와 컴퍼스 이외의 다른 작도 방법은 기하학의 장점을 포기하고 파괴하는 것이다. 그것은 기하학을 영원한 사상의 영상으로 드높이기는커녕 오히려 이것을 다시 감각의 세계로 끌어내리기 때문이다." 라는 말에서 쉽게 알 수가 있다.

또한 피타고라스도 입체도형 중 가장 아름다운 것은 구이고, 평면, 도형 중 가장 아름다운 것은 원이라고 강조하였다. 그러한 사고의 영향으로 당시의 종교적 상징인 건축물에는 원과 직선이 많이 사용되고 있었다고 한다.

더나가서 작도에서 눈금 없는 직선자와 컴퍼스만을 사용하는 이론적 근거는 유클리드의 원론에서 찾아 볼 수 있다.

유클리드의 원론에서의 다섯 개의 공준 중에서 작도에 관해서는 오직 세 개의 공준만을 포함하고 있다.

공준1.한 점에서 또 다른 한 점으로 직선을 그릴 수 있다.

공준2.유한직선은 무한히 연장시킬 수 있다.

공준3.임의의 점을 중심으로 하고 그 중심으로부터 그려진 유한직선과 동일반경 을 갖는 원을 그릴 수 있다.

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이것들은 유클리드 작도에 대한 게임의 원칙을 말하는 것이다.

따라서 모든 작도는 오직 이 세 개의 공준들의 합성에 의해 이루어져야 한다.

이러한 작도를 기하학적 작도라고 부른다. 이 공준들은 직선자와 컴퍼스만을 사용하도록 기하학적 작도를 제한하고 있기 때문에 직선자와 컴퍼스를 유클리드 도구라고 부르며, 또한 여기에 사용되는 직선자를 유클리드 직선자, 그리고 컴퍼스를 유클리드 컴퍼스라고 부른다.

공준 1과 2는 유클리드 직선자를 가지고 작도할 수 있는 것, 즉 임의의 두 점을 지나는 직선을 그릴 수 있다는 것을 말하며, 공준 3은 유클리드 컴퍼스를 가지고 작도할 수 있는 것,

즉 임의의 한 점을 중심으로 하고 또 다른 한 점을 지나는 원을 그릴 수 있다는 것을 말한다.

따라서 선분이나 각의 이등분, 수직선과 평행선, 주어진 세 점을 지나는 원, 또 굉장히 아름다운 몇 개의 정다각형 등의 다양한 작도는 유클리드 도구만으로 제한해도 단순한 기하학적 작도에 의해 쉽게 해결할 수 있다.

그러나 아주 단순해 보이는 3대 작도문제들이 해결될 수 없다는 것은 믿기 어려운 일이었다.

유클리드 직선자에는 눈금이 없음을 주목해야 한다. 왜냐하면 공준1과 2는 오직 직선만을 그릴 수 있다는 것을 말하기 때문이다.

만약에 눈금이 있는 자라면 임의의 각을 삼등분하는 것은 가능하다. 또한 유클리드 컴퍼스와 오늘날의 컴퍼스는 다르다.

현대식 컴퍼스는 임의의 점 O를 중심으로 하고 임의의 선분 AB를 반경으로 하는 원을 그릴 수 있다. 왜냐하면 컴퍼스를 양각기로 사용하여 선분 AB를 중심O로 옮길 수 있기 때문이다.

그러나 공준 3에서 원의 반경을 중심으로부터 그려진 유한직선으로 제한하고 있기 때문에 유클리드 컴퍼스는 일단 컴퍼스의 한 다리가 종이로부터 떨어지면 접힌다는 것을 말한다.

이러한 이유에서 유클리드의 컴퍼스를 종종 접히는 컴퍼스라 부른다.

따라서 오늘날의 컴퍼스가 유클리드의 접히는 컴퍼스보다 강력해 보일지 모르나, 신기하게도 이 둘은 똑같은 성질의 도구이다.

왜냐하면 유클리드 컴퍼스를 가지고 다음과 같은 방법으로 주어진 점 O를 중심으로 하고 주어진 선분 AB를 반경으로 하는 원을 작도할 수 있기 때문이다.

간단히 중심이 O이고, 점 A를 지나는 원을 기호 O(A)로, 중심이 O이고 반경이 선분 AB와 같은 원을 기호 O(AB)로 표현하자.

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위의 그림에서 원 A(O)와 원 O(A)의 교점을 D, E라 하고, 원 D(B)와 원 E(B)의 교점을 F라 하면 AB=OF이다. 따라서 O(F)=O(AB)이다.

아무튼 위 3가지 작도문제를 풀기 위하여, 2300여 년 동안 많은 사람들이 호기심과 지루함을 같이 하며 지내왔는데, 무척 간단하게 보이는 문제 몇 개가 그리스시대부터 제기돼 2천년 동안 해결되지 않고 있다가, 19세기에 이르러 작도가 불가능하다는 것으로 밝혀졌다.

즉 반트젤(1814～1848)과 린덴만(1852～1939)에 의해서 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 작도가 불가능 하다는 것이 증명되었다.

이렇게 풀 수 없는 문제를 놓고 2천년 동안 연구한 수학자들이 어리석을 지도 모르지만, 이 세 가지 문제를 풀기 위한 왕성한 연구는 갖가지 부산물이 쏟아져 나왔고, 그리스의 기하학에 깊고 큰 영향을 미쳤다. 그 성과들은 다음과 같다.

첫째, 작도법이 발달하였고, 각의 3등분을 할 수 있는 제도 기구 등 다양한 도구가 개발되었다.

둘째, 배적문제를 해결하는 과정에서 메나이크무스는 원뿔곡선을 발견하였고, 그의 연구가 아폴로니우스의 이르러 더욱 체계화되어 케플러가 행성의 궤도는 타원임을 밝히는 이론적 근거가 되었다.

뿐만 아니라, 오로지 학문의 목적에 의해 연구된 원뿔 곡선이 우리 일상 곳곳에서 활용되고 있다. 예를 들면, 파라볼라 안테나, 헤드라이트, 천체망원경 등등이 있다.

셋째, 3차 곡선, 4차 곡선, 히피아스 곡선, 유선형의 콘코이드 곡선 등 다양한 곡선의 발견이 이루어졌다. 대수적 수와 군론(Group-Theory)의 발전에 영향을 주었다.

이 가운데 특히 우리가 주목하여야 하는 것은 세 번째가 π와 관련된 문제다.

즉 지름이 1이면 원 넓이가 π이므로, π를 작도할 수 있다면 구하는 정사각형을 작도할 수 있기 때문이다.

그러나 π는 작도할 수 없다. 이러한 사실은 대수방정식의 근조차 될 수 없는 초월수의 등장으로 밝혀진다.

그런데 수학에서 말하는 작도란 무엇인가? 그리고 작도가능과 불가능이란 무엇인가?

작도란 눈금 없는 자와 컴퍼스를 유한 번 사용하여 여러 가지 도형을 그리는 것이다.

자는 두 점을 잇는 데에만 쓸 수 있고 컴퍼스는 선분을 옮기거나 원, 원호를 그릴 때만 쓸 수 있다. 이렇게 도구가 제한되어 있기 때문에 못하는 것이 많았다.

각을 3등분하기, 주어진 정육면체의 부피가 2배인 정육면체 만들기, 주어진 원과 넓이가 같은 정사각형 만들기 같은 것이 '3대 작도 불가능 문제'로 꼽혀왔다. 그런데 이것을 제대로 이해할 필요가 있다.

1. 이러한 것을 할 수 없는 것은 쓸 수 있는 도구와 조건이 제한되어 있기 때문이다. 다른 물건을 쓸 수 있다면 이 문제는 얼마든지 가능한 문제이다.

2. 작도 불가능문제는 이 3가지만 있는 것이 아니다. 무한하다. 이 3가지는 고대그리스에서 특히 논란거리가 된 것일 뿐이다. 자와 컴퍼스밖에 못 쓰는데 그릴 수 있는 것은 극히 제한되어 있지 않겠는가?

그렇기에 수학, 특히 대수학과 해석기하학의 발달로 작도의 수학적 의미, 즉 자와 컴퍼스만을 쓴다는 것의 의미가 밝혀졌고, 이 3가지 문제는 그 수학적 의미를 해석하여 불가능함이 밝혀진 것이다.

이 수학적 의미를 해석함으로써 우리는 주어진 작도 문제를 가능 또는 불가능하다고 밝힐 수 있게 되었다.

3. 그럼에도 지금도 이것을 시도하는 사람들이 있다. 그들은 대수학을 이해하려고 하지 않으며 수학자들이 제대로 연구하지 않았다고 주장한다.

그리고 이것을 다른 사람에게 알리려고 한다. 그러나 그건 부질없는 짓이다.

현대 수학에서는 일반적인 작도 가능 여부를 정리하였으므로 이 3가지 중 어느 하나를 성공시킬 수 있느냐 없느냐 따지는 것은 아무런 의미가 없다.

'임의의 각 3등분은 불가능하다.'란 말을 바로 이해해야 한다. 이 말은 '모든 각에 적용할 수 있는 3등분 방법을 찾아내는 것이 불가능하다'는 뜻이다.

'3등분할 수 있는 각은 없다'는 뜻이 아니다. 60도의 3등분이 불가능하다는 것은 이미 증명되었다. 그러므로 이 증명법을 응용하면 어떤 경우에 3등분이 가능하고 어떤 경우에 3등분이 불가능한지를 알 수 있다.

그렇다면 '모든 각에 적용할 수 있는 3등분 방법'이란 있을 수 없다.

왜? 어떤 방법이 나오든지 60도에는 결코 적용할 수 없기 때문이다. 바로 그렇기 때문에 '3등분이 가능한 각을 찾아냈으므로 임의의 각 3등분이 불가능하다는 말은 틀린 말'이라고 할 수 없는 것이다.

또한 우리가 '3등분'에 집착할 필요도 없는데, 이미 '임의각의 n등분은 불가능하다(단 n이 2의 거듭제곱일 때는 제외한다.)'가 증명되었기 때문이다.

중요한 점은 이들 도구를 가지고는 이 문제를 해결할 수 없다는 것이지만, 이 세 가지 문제를 풀기위한 왕성한 연구가 결국 그리스 기하학에 심대한 영향을 끼쳤다.

작도라는 것은, 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 도형을 그리는 것을 말한다.

자로는 임의의 두 점을 지나는 직선을 그릴 수 있고, 컴퍼스로는 주어진 중심과 반지름을 갖는 원을 그릴 수 있다.

결국 각 문명마다에서 원주율과 같은 불가능의 수가 있음을 확연하게 인정하게 되었고 원이란 다각형의 합이 될 수가 없는 것이기에 수로서 확정할 수 가없는 것임을 알게되었다.

특히 이른바 3대 작도의 불가능의 문제를 공유하게 되었던 것이다.

그러나 이 시기에 이를 불가능의 문제를 가능의 문제로 둔갑하여 기만적인 고 마술적인 방법으로 출세와 사회적인 지위를 얻으려는 거짓현자들이 출현하게 된다.

우선 서양문명에서는 이들 거짓현자들을 이른바 “소피스트” 혹은 궤변자로 지칭한다.

그리스시대 수도 아테네는 정치와 문화의 중심지였는데, 아테네 사람들은 생활상의 일들은 거의 노예에게 맡기고, 자신들은 정치와 학문에 열을 올리고 있었다.

이 같은 분위기 속에서 소피스트(Sophist)라는 직업적 교사가 나타났다.

원래 소피스트라고 하는 것은 현명한 사람이라는 뜻이다. 그런데 이들 소피스트들이 세월이 흐르면서 웅변술을 주된 일로 하였기 때문에, 그들을 가리켜 궤변학파라고 부르기도 한다.

이들은 다음과 같은 " 3대 작도 불가능 문제 "를 교묘하게 역이용하에 갖가지의 문제를 제기하며 현학적인 주장을 공론화하게 된다.

그러나 이들의 목적은 오로지 학문의 진실을 위한 것이기보다는 자신들의 지위를 얻기 위한 것이었으므로 일 종의 기만과 속임수에 불과한 것이었다.

결국 이들의 행각에 대하여 이른바 3등분가라는 딱지가 붙혀지게 된다.

이와 같은 거짓현자들의 출현은 각 문명마다에서 공통적으로 발견된다.

한편 과연 우리 동양사회에서는 자와 컴퍼스의 물건이 없었는가 하는 점이다.

이미 우리 고조선의 초기에 해당하는 시기에도 서양의 자와 컴퍼스와 유사한 물건이 있었다. 물론 오늘날에는 우리나라에는 남아 있는 것은 없다. 다만 중국을 비롯하여 남방의 여러나라에서 황실의 전승되는 보물로 자와 컴퍼스의 형상으로 보아 간접적으로 확인할 수가 있을 뿐이다.

현재 국립중앙박물관에 소장되어 있는 복희여와도는 7세기 투루판 아스타나 묘실 천장에 부착되어 있던 것이다.

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이것은 폭이 79㎝, 높이가 189㎝인 삼마에 채색된 것으로 천지창조 설화를 표현한 그림이다. 이 그림에서 남자 신인 복희는 왼손에 곡척(ㄱ자 모양의 자)을 들고 있고, 여자 신인 여와는 오른손에 컴퍼스를 들고 있다. 둘 다 모두 하반신이 뱀의 모습이다. 둘이 균형을 이루며 서로 꼬고 있는 것은 세상의 조화와 만물 생성을 상징한다.

복희여와도의 오른쪽에는 북두칠성이 그려져 있고, 왼쪽엔 하나의 별을 중심으로 육각형 모양의 별이 그려져 있다. 중앙에서 서로 마주보는 위치에 7개의 별을 그린 것은 균형을 이루기 위함이었을까? 육각형모양의 별과 왕관자리는 서로 관련이 있을까?

위 그림은 마치 여호와와 복희가 자와 컴퍼스를 들고 세상을 창조하는 과정을 그림으로 형상화 한 것이라고도 할 수가 있다. 즉 자와 컴퍼스는 조물주가 세상을 대상으로 하여 작도한 것을 의미하는 것이다.

자와 컴퍼스가 이처럼 천지창조의 도구로 상징화된 것은 비단 동양사회에서만 이 한정된 것도 아니며 고대사회에서만 가정된 일은 아니다.

다음의 그림은 천지창조와 관련하여 19세기 영국의 시인이자 화가인 윌리엄블레이크(1757~1827)는 혼자서 왼손에 컴퍼스를 들고 우주를 작도하고 있는 신의 모습을 그렸다.

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알다시피 도형의 기하학에서 가장 단순하면서도 중요한 수학적 도구는 자와 컴퍼스다.

그런데 천지창조와 관련하여 이 두 그림이 전달하고자 한 것은 무엇일까 우주가 수학적으로 설계된 것을 암시한 것은 아닐까?

한편 컴퍼스의 말 자체가 프랑스말의 의미로는 “한바퀴 돌다”, “ 측정하다”, “균등분할하다” 는 뜻과 “함께”를 뜻하는 'com-'과 걸음을 뜻하는 'passus'가 결합한 라틴어 compassare에서 유래한 말이라 한다. 광의의 의미로 해석하자면 그 어원자체가 천지창조의 개념을 함축하고 있다.

그렇다면 동양사회에서 자와 컴퍼스는 어떻게 사용되었는가?

우선 동양에서도 규구술이라고 하여 자와 컴퍼스를 광범위하게 사용한 흔적이 있다.

규구(規矩)는 복희씨의 발명으로 알려진 콤파스와 곱자(곡척), 다림추 그리고 먹통이다.

그리고 이 규구는 오늘날까지도 우리나라에서는 장인들의 건축과 목수의 일에서 필수불가결의 도구이자 상징물이다.

즉, 콤파스, 곡척, 수준기(다림추), 먹줄 이 네 가지가 있어야 비로소 건축이나 목수노릇을 할 수 있음을 의미한다.

건축을 하는데 이론적인 지식만으로 안 되고 반드시 연장을 필요로 한다.

오늘날은 지식도 하나의 연장이 되었지만, 몸이 따라주지 않는다면 무용지물이되는 법이다. 문제는 규구를 알면 인과를 알기에 모든 규칙을 알고, 규율을 알고, 규정을 알고, 규찰을 알고, 규범을 알게 된다.

곡척은 건축일 하는 이, 가구작업자, 돌을 새기는 이들이 즐겨 쓰는 필수연장, 특히 목재공작에 있어 먹치기에 옛 부터 사용, 주판과 같이 가감과 곱하기 나누기까지 할 수 있음은 물론 평방근, 입방근 등도 구할 수 있다.

더욱이 곡척에 새겨진 겉눈, 안눈을 사용 평 물매, 귀 물매 및 허튼 귀, 귀 물매를 손쉽게 구할 수 있다. 길고 짧은 두개의 자가 직각으로 조합되어 있는데, 긴 쪽을 장수(長手), 짧은 쪽을 단수(短手) 눈금은 리, 푼 , 치로 표시된 것과 미터법으로 표시된 것을 사용한다.

또 장수의 길이는 대체로 1자6치2푼(50cm), 단수는 8치1푼(25cm)정도이고, 단수와 장수가 만나는 부분은 약간 두껍게 되어 있어 직각을 바르게 유지할 수 있도록 돼 있다 .

특히 주목되는 것은, 작도의 도구로서의 컴퍼스가 항해술의 도구로서의 나침판과는 같은 의미로 사용했다는 사실이다.

즉 서양사회에서는 컴퍼스의 의미가 15세기 이전까지는 작도의 도구를 지칭하는 것으로 사용하였으나, 15세기 초 이후 항해사들에 의해 나침반이라는 의미로도 쓰이게 된다는 사실이다.

나침반의 의미가 덧붙은 것은 둥근 형상과 뾰족한 자침(磁針)을 갖기 때문인 것으로 생각된다.

그런데 원래 인류의 최초의 나침반은 신라의 것이라고 다소 생경한 주장을 한 과학자가 있는 것이다. 우리나라의 과학자인 이종호는 그의 저서 <과학 삼국사기> <과학 삼국유사>를 따라가다 보면 고개가 끄덕여진다.

그의 주장에 의하면, 지금까지 중국이 자랑하는 4대 발명품의 하나인 나침반이 중국이 아닌 신라에서 발명한 것이라고 한다. 나침반의 본디 이름은 ‘신라침반’인데 여기서 ‘신’자가 빠져 나침반이 됐다는 것이다.

침반은 바늘을 올려놓는 쟁반 또는 물건을 올려놓는 제구를 뜻한다. 중국에서 건너온 것이라면 ‘지남침’이라고 불러야 했다는 것도 논거의 하나다.

그러나 그러한 사실만 가지고 나침반의 원조가 신라라고 할 수 있을까?

이를 검증하기 위해서는 중국 문헌에 나오는 나침반 관련 구절들을 살펴보아야 한다. 또 중국의 나침반이 서구에 어떻게 전파돼 오늘의 나침반이 됐는지도 조사해야 한다.

그는 저서에서 선덕여왕의 총기, 막걸리, 포석정에서 김치, 가마솥, 방짜에 이르기까지 20가지의 주제로, 삼국사기>에서는 개마무사(고구려 기병), 순장, 해녀 등 19가지 주제로 우리나라 역사 속의 과학들을 찾아 나선다.

포석정에서는 유체역학의 ‘회돌이’라는 현상을 이용해 술잔이 엎어지거나 멈추지 않고 흘러가도록 한 신라시대의 과학적 수준을 추론하고, 가마솥이나 김치에서는 우리 조상들의 뛰어난 생명공학적 능력을 파헤친다.

삼국유사 <기이(1)> ‘지철로왕’ 편에 나오는 “너희가 만일 항복하지 않으면 이 짐승을 놓아버리겠다”며 왜구들을 협박하는 구절은 당시 로봇공학이 상당 수준 발달해 있음을 보여준다고 해석한다.

사실, 우리나라의 현존하는 최고의 역사책인 부도지에서는 고조선의 국가를 정하는 일이나 바다를 항해하는데서 현대물리학의 자석의 원리를 응용한 사례들을 쉽게 발견할 수가 있다.

다만 아쉬운 것은, 그러한 역사서들이 역사저인 사료로 합당한가에 대한 검증조차 할 수 있는 형편이 되지 못하고 있는 것이다.

아무튼 인류의 역사에서 각 민족과 국가들이 다양한 문명을 건설하는데서, 자와 컴퍼스 그리고 나침판은 수학과 건축 그리고 항해와 세상의 창조에 관하여 지혜의 상징이었음을 알 수가 있다.

특히 직각자와 컴퍼스는 기하학, 수학, 건축학에서 필수적인 수단으로 부와 명예의 상징과 같다. 이미 고대사회에서 신에게서 지식을 부여 받은 집단이 상당한 수준의 수학적, 과학적 지식을 가지고 있었음을 말해준다.

고대문명의 거대한 피라미드와 도시유적의 건축물들은 바로 이러한 놀라운 수준의 기하학적 과학적 지식의 산물이었다.

일찍이 수메르 문명의 그림에서도 뱀 모양의 신이 어떠한 지식을 전수해주는 모습이 나온다. 이러한 신의 지식을 구체화하고 발전시킨 집단이 세상을 지배했을 것이고 지금도 그렇다고 보인다.

그런데 놀라운 것은, 오늘날에도 자와 컴퍼스를 상징마크로 정한 국가와 집단이 있다.

다음 아래의 그림은 프리메이슨의 상징마크이며 옆은 이스라엘 탱크에 새겨진 마크이다.

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프리메이슨은 16세기 말에서 17세기 초에 발생한 인도주의적 박애주의를 지향하는 우애단체 혹은 취미 클럽이라고 알려져 있으며, 정확한 단체명은 프리메이슨리라고 한다.

이들은 중세시대 석공들의 조합에서 비롯되었으며, 가톨릭에서 떨어져 나온 한 종파라고 한다.

즉 이들은 중세 가톨릭교회 시대부터 교회에 속하여 교회 건축물과 석조물을 짓던 건설 노동자 조합의 하나였는데, 서유럽에서 혁명사상이 번지던 시기에 본래의 기독교 체제가 갖는 보수성에 저항하고자 여러 가지 사상들에 의지하여 교회 체제를 거부하고, 사회혁명사상에 몰입하는 조직이 되었고, 이를 근거로 교회는 프리메이슨조직을 파문하게 되었다.

그 후 종교와 관련된 입회의 특별한 조건이 없어졌으며, 희랍적 신비주의에 바탕한 직능인 조합의 특성을 띄게 되었다. 그러나 아직도 가톨릭전통이 남아있는 프랑스 프리메이슨의 경우에는 가톨릭신앙을 믿는 것을 입회의 원칙으로 삼고 있다.

사실 이들은 자신이 선택받은 민족이라고 말한 적은 한 번도 없다. 그들이 오해받은 이유는 그들이 어떠한 경우에도 대응하지 않는다는 방식 때문이며 그로 인해 프리메이슨의 진실이 가려버리게 됐다고 한다. 그들은 여성에게도 우호적인 단체이며 '동방의 별'이란 단체를 운영하고 있는 중이라 한다.

위 프리메이슨의 심볼 가운데 하나인 컴퍼스와 자는 일찍이 이 조직이 석공 길드였단 것을 말해준다.

오름새 삼각형(컴퍼스)와 하향 삼각형(직각자)이 결합해 형성된 다윗의 별은 남자와 여자, 하늘과 땅, 정신과 물질, 빛과 어둠 등 세계의 이원성의 융화를 표현하고 있다.

중앙의 ‘G’는 히브리어로 하나라는 뜻의 기멜(Gimel)로 “우리는 하나”라는 뜻이며 또는 지고적 존재, 곧 신과 기하학을 의미한다.

또한 프리메이슨을 상징하는 건축도구는 각각 인간의 미덕과 대응해 컴퍼스는 진리, 직각자는 도덕, 흙손은 결속과 우애, 몽둥이는 지식이나 지혜를 상징한다.