유리수와 무리수

원시시대부터 가장 자연스러운 수를 만들어 낸 자연수부터 아무것도 없다는 개념을 받아들인 혁신적인 수 0 그리고 수직선을 그려 도입된 음수까지를 합쳐서 정수라고 한다-3 –2 –1 0 1 2 3 4...... 인간지성이 이 정도 발전했으니 이제 분수 1/2가 등장하여 소수점이 있는 소수가 만들어졌다 그리스시대 피타고라스학파는 자신의 이름으로 대변되는 피타고라스정리를 발견(증명)한다 즉 직각삼각형의 두 변의 제곱합은 빗변의 제곱과 같다 무지무지 중요한 발견이다 왜냐하면 이 정리로부터 수학(기하학)의 발전이 시작되기 때문이다 a제곱+b제곱=c제곱 이다 이 정리에서 가로 세로 모두 길이가 1이면 1제곱+1제곱=빗변제곱인데 즉 1+1-?제곱수 이 수가 제곱하여 2가 되는수 즉 루트2이다 대략 1.414... 이다여기까지는 좋았다 그런데 이 루트2는 자연수 ab를 가지고 a/b로 나누어지지 않는다는 것 또한 증명이 되었다 이는 무슨 말인가 이때까지만 해도 임의의 서로 다른 길이 a,b가 있을 때 길이를 무한히 쪼개어 원자단위길이 깊이정도 까지 가면 이 단위길이를 계속쌓아서 a와 b 길이를 다시만들 수 있다는 것이 그리스시대의 자연스러운 생각이었다 영국돌턴의 원자설의 모태가된 데모크리투스의 원자론에 영향을 받았는지도 모르지만. 그런데 루트2는 아무리 쪼개어도 1 이라는 길이와는 같은 단위원자길이로 쌓아서 딱 맞아 떨러지지 않는다는 것이다 이는 도저히 이해할 수 없는 현상이었다 물론 지금 생각해도 이해하기가 힘들다무슨말인가 하면 삼각형을 그려놓고 아랫변길이보다 변변길이가 조금 더 긴데 이때 아랫변길이를 1/1000 1/123000 천분의 일 또는십이만삼천분의일 등 아무리 잘게 쪼개어 붙여도1은 1000개 또는 123000개를 쌓으면 1이라는 길이가 만들어 지고 1.58이라는 길이도 만들어 지는데 루트2라는 길이는 아무리 쪼개어 붙여여 못만든다는 것이므로 이해하기가 어렵다 그래서 피타고라스학파는 이를 수로 인정하지 않았었고 세상에 알리지 않고 감추었다여기서 후대에 정수 a b로 만들어 있는 수 a/b를 유리수라고 몀명하였다 1/3=0.3333...도 유리수이다 물론 자연수도 무한히 많으므로 유리수는 더 무한히 많다 이에 반해 정수 a/b로 표현하지 못하는 수를 무리수라고 한다 유리수만 알고 있던 사람들에게는 좀 무리가간다고 생각한 것이다19세기 수학역사상 가장 위대한 수학자 가우스는 대수학의 기본정리를 증명하였는데 ax^n+bx^n-1...nx+c=0를 대수방정식이라 하는데 이 대수방정식의 근이 되는 수를 대수적수라고 한다 간단하게 2x+3=0에서 x=-3/2 는 대수적수이고 x^2=1 의 근 루트2도 대수적수이다 즉 한마디로 모든 생각할 수 있는 유리수 무리수 모두는 대수적 수이다 그럼 대수적 수가 아닌 수는 어떤 수가 있는가 ? 이는 도대체 당시로서는 상상할 수도 없었다 모든 수는 대수방정식으로 표현되는 것으로 믿었어니까. 그리고 원주율파이 3.141592...도 무리수이다 즉 a/b로 나타내지 못한다 그런데 이 무리수끼리도 루트2는 대수적 수인데 반해서 파이는 대수적수가 아니라는 것이 증명되었다 즉 루트2나 루트3은 대수방정식으로 풀어지지만 파이는 대수방정식으로는 풀수없다는 것이증명되었다 그래서 이런 파이(비대수적수)같은 수를 초월수라고 불렀는데 이 초월수가 도대체 어떤수이며 몇 개나 더 있나하는 것이 문제가 되었다 이때까지는 파이 한 개만 발견된 셈이다 현대수학에서는 대수적 수보다 초월수가 압도적으로 많다는 것이 증명되었다 한번 더 정리하면 유리수 아닌 수를 무리수라 하는데  이 무리수는 다시 대수적수와 초월수로 이루어져 있다 우리가 학교에서 배울때는 모든수는 실수에서 유리수와 유리수아닌 수 즉 무리수 이렇게 배우는데 무리수를 정의하거나 개념도 없이 그냥 도입시겼다다시 처음으로 돌아가면 우리가 수직선 길이를 표현하기 위하여 수를 도입하는 과정에서 123자연수 0 음수부터 그다음 빗변의 길이로 인정해 주어야 하므로 루트2가 탄생하였고 원주율파이도 결국 원의 둘레길이 이므로 수로 인정해 주어야 했다 이 과정에서 자연수에서 발전하여 유리수 무리수 대수적수 초월수로 점점 발견이 이루어진 것이다 여기서 함수 그래프를 생각해보자 수직수 x축상에 대응하는 y값을 y=1(x는 유리수일때) y=2(x는 무리수일 때) 이 그래프는 그릴수 조차 없다 그저 머릿속으로 안개같은 수직선위의 그래프분포롤 생각할 뿐이다 한걸음 더 나아가면 모든점에서 연속이되 모든점에서 미분불가능한 희한한 함수도 독일의 어떤수학자가 고안해 내었다 대학시절 나의 호기심을 자아내었지만 약간 탐구하다 말았다 한편 집합론에 들어가면 자연수의 개수나 유리수의 개수는 같다고 한다 아니 자연수는 123..이고 유리수는 자연수에다가 더 1/2 1/3  2/15 등 무지무지 더 많은데도 말이다 이 역시 증명이 되는데 결론은 자연수+소수 즉 유리수보다 무리수가 더 많다고 하는데 이는 모든 유리수와 대응하는 무리수가 있고 더 남는 무리수를 적어도 하나 도출할 수 있기 때문이다  무한집합예서 대소(많다적다)를 비교하려면 무한집합의 원소를 하나하나 일일이 대응시키는 방법을 쓰서 무한의 모든 원소가 서로 1대1 대응하고 남는 쪽이 더 크다고 말한다 그런데 이것이 가능하다 참으로 대단하다피타고라스학파의 루트2의 발견을 서술하려다 대수적수 초월수 까지 왔는데 약간 오류가 있을 수도 있지만 호기심을 발동하여 즉흥적으로 적아 본 글이므로 너무 엄격하게 받아들이지는 말자