무한소와 무한대 이야기

[썬샤인]

무한소와 무한대 이야기

인간은 유한하다. 시간적으로나 공간적으로나 체력, 정신력 모두 유한하다. 그럼에도 우리는 무한을 생각하고 무한을 꿈꾼다.

무한에 대하여 말하기 전에 우선 작은 수와 큰 수에 대하여 생각해 본다.

작은 수 와 큰 수

요 지음 우리는 기계문명 특히 컴퓨터와 통신혁명의 물결 속에 살고 있다. 컴퓨터의 기억용량은 giga단위를 넘어 tera를 말 하고 있다. 또한 소재분야 에서는 micron 단위를 넘어 원자단위인 nano기술이 주류를 이루고 있다. 현대 산업기술은 흔히 말하는 경박단소(輕薄短小)와 중후장대(重厚長大)의 양대 산맥이 주축이 된다고 하겠다. 여기서 이들의 물리량을 표시하기 위해서는 큰 수와 작은 수를 나타내는 것이 필요하다. 그런데 이들 작은 수와 큰 수에 대한 표현은 우리가 현실적으로 이들에 접하기 훨씬 전에 이미 만들어져 있다. 작은 수에 대한 표현은 서양에서는 10^-1(즉 1/10)는 deci. 10^-2(1/100)는 centi, 10^-3는 milli, 10^-6 는 micro, 10^-9는 nano, 10^-12는 picco, 10^-15는 femto, 10^-18 는 atto 이다.

동양에서도 이와 유사하게 10^-1는 분(分), 10^-2는 리(厘), 10^-3 는 모(毛), 10^-4는 사(絲), 10^-5는 홀(忽),10^-6는 미(微), 10^-7는 섬(纖), 10^-8는 사(沙), 10^-9는 진(塵), 10^-10는 애(埃), 10^-11는 묘(渺), 10^-12는 막(漠), 10^-13는 모호(模湖), 10^-14는 준순(浚巡), 10^-15는 수유(須臾),10^-16는 순식(瞬息), 10^-17는 탄지(彈指), 10^-18는 찰나(刹那), 10^-19는 육덕(六德),10^-20는 허공(虛空), 10^-21는 청정(淸淨)이다.

우리는 일상에서도 순식간이니 찰나란 말을 쓰는데 위에서 보듯이 이건 매우 짧은 시간이 된다. 수소원자의 크기는 0.06 나노미터라고 하는데 이 이하는 아원자의 세계로서 이것의 100억분의 1, 1000억분의 1을 각각 허공, 그리고 청정이라 하는데 우리가 알 수 없는 미지의 세계라고 할 수밖에 없다.

큰 수에서는 10은 십(十)(deca), 100은 백(百)(hecto), 10^3은 천(千)(kilo), 10^4는 만(萬), 10^6은 백만(mega), 10^8은 억(億), 10^9은 10억(giga). 10^12은 조(兆)(tera),10^15은 1000조(peta),10^16은경(京) ,10^18은 100경(exa), 10^20은 해(垓), 10^24은 시(柿), 10^28은 양(穰), 10^32은 구(溝), 10^36은 간(澗), 10^40은 정(正), 10^44은 재(載), 10^48은 극(極). 10^52은 항하사(恒河沙), 10^56은 아승지(阿僧扺), 10^60은 나유타(那由他), 10^64은 불가사의(不可思議), 10^68은 무량대수(無量大數), 10^72은 겁(劫), 10^76은 훈공, 10^100은 googole, 10^140은 아산키야, 10^600은 센틸리온(centillion), 10^3400은 스큐스수, 10^100의10^100즉 10의 10000승 은 googolplex 등...

그리고 이 보다 더 큰 수로는 「graham 의 수」란 것이 있다. 이것은 어떤 수학적 명제의 증명에 사용된 수로 G⁶⁴(4)로 표시되는데 이 값은 너무 커서 계산이나 표기가 곤난하며 대략 10^100조 라고 한다. 아마 지금까지 이름 붙여진 것 중 가장 큰 수는 화엄경에 나오는 것으로 불가설불가설전(不可說不可說轉)이란 것인데 10^(37...126), 즉 10의 지수의 숫자는 3 이하 38개나 된다. 즉 10의 약 300간(澗)승의 값이 된다.

우리가 흔히 말하는 천재일우(千載一遇)의 기회란 매우 얻기 힘든 기회란 뜻이지만 수치로는 10^47분의 1 의 확률을 말한다. 확률적으로 극히 희박한 경우를 든 예로는 이런 것도 있다. 3000년에 한번 씩 바다 밑에서 바다위로 떠오르는 외눈박이 거북이가 있는데 이 녀석이 드넓은 바다 위를 정처 없이 떠도는 목단나무의 작은 구멍으로 머리를 내미는 경우를 이야기한 것이 있다. 이것이 남녀가 만나 부부의 연을 맺을 확률이라고도 한다.

옛 중국인들은 극(極)을 수의 끝으로 생각했으나 철학적 사유를 즐긴 인도인의 불경에서는 이보다 더 큰 수가 나온다. 항하(恒河)는 간지스강의 한자식 표현인데 항하의 모래알 즉 항하사(恒河沙)만큼 많은 항하의 항하사만큼 많은 항하의 항하사...란 표현이 불경에 나온다. 여기의 모래알이 얼마나 될지 누가 알겠는가?

겁(劫)은 세상(우주)이 시작하여 한 사이클이 끝나고 다시 시작할 때까지의 시간이라고 한다. 이것이 얼마나 긴 시간일지 또한 어떻게 알겠는가?

긴 시간의 표현으로는 사방 30리 에 높이가 30리 인 굳은 바위가 있는데 100년에 한번 씩 오는 선녀가 비단옷을 입고 슬적 스치고 지나갈 때 이 바위가 다 달아 없어지는 시간이란 것으로 이것을 1겁(劫)이라고도 한다.

또 다른 예로는 인도의 어느 사원에는 32층의 석탑이 있는데 각층의 크기는 맨 밑이 제일 크고 순차적으로 작아져서 맨 위가 제일 작은 것이다. 이 석탑을 현재 위치(A)에서 다른 위치(B)로 옮겨야 하는데 제3의 위치 (C)를 경유할 수 있다고 한다. 단 이때 석탑은 한 번에 한 층씩만 옮겨야 하고 또한 절대로 큰 층이 작은 층 위로 올라와서는 안 된다고 한다. 이 사원의 스님들은 수행차원에서 지금도 부지런히 이 탑을 옮기고 있다고 하는데 이것을 다 옮기고 나면 세상의 종말이 온다는 것이다. 그런데 인력으로 아무리 부지런히 옮겨도 이것을 다 옮기는 데에는 무려 50억년이 걸리고 이는 우리의 태양이 적색 거성(巨星)이 되어 지구를 집어 삼키고 마침내는 소멸하는 시간이란 것이다.

우주는 유한하지만 경계가 없다고 한다. (사실 이것이 무슨 뜻인지 잘 짐작이 가지는 않지만...) 그리고 그 크기는 300x10^24m정도이고

여기에 가득 채울 수 있는

수소원자의 수는 1.25x10^108=1.25x10^40x10^68

즉 1.25 正x無量大數 그런데 우주 공간은 거의 텅빈 상태라고 함으로 이 숫자로는 훨씬 많은 우주를 채울 수 있을 것이다.

자! 그럼 숫자 이야기는 이만 하고 다음에는 무한소와 무한대의 세계를 엿보기로 하자.

무한소와 무한대

무한소와 무한대는 인간이 생각할 수 있는 양극단이지만 이것은 서로 통한다.

무한대의 개념을 설명하는 한 가지 예로 「힐버트의 호텔」을 들 수 있다. 여기 무한대의 객실을 가진 호텔이 있다. 객실번호는 1부터 시작하여 2,3,4...등으로 순차적으로 매겨져 있다. 그런데 웬 일인지 모든 객실이 손님으로 꽉 차 있다고 한다. 어느 날 저녁 손님 한사람이 이 호텔을 찾아 왔다. 자! 그러면 객실 담당은 어떻게 해야 하나? 빈 방이 없다고 손님을 돌려보내야 하나? 이 때 객실 담당은 다음과 같이 이 문제를 풀었다. 우선 안내방송으로 모든 손님들에게 대단히 미안하지만 자기 객실번호에 +1 한 객실로 즉 1호실은 2호실로, 2호실은 3호실로...하는 식으로 옮겨줄 것을 부탁한다. 다행이 모든 손님이 이에 응하여 1호실이 비워졌다. 즉 1호실에 손님을 받을 수 있게 된 것이다. 그런데 얼마 후 또 한 손님이 도착했다 이번에도 먼저와 같은 방법으로 해결이 되었다. 그런데 이번에는 무한대의 손님을 태운 열차가 도착한 것이다. 자! 이번에는 어떻게 할까? 이때 객실 담당은 다음과 같이 해결한다. 즉 안내 방송으로 모든 객실 손님은 자기 객실 번호의 2배수가 되는 방으로 즉 1호실은 2호실로, 2호실은 4호실로, 3호실은 6호실로..옮겨줄 것을 부탁한다. 이렇게 하면 1,3,5,..즉 홀수 객실은 모두 비게 된다. 여기에 손님들을 순차적으로 배정하면 되는 것이다. 결국 이 방법을 반복하면 무한대의 손님을 실은 무한대의 객차가 와도 모두 투숙할 수 있게 된다.

다음 다른 예로, 우선 여기에 길이가 1m인 직선이 있다고 하자. 그리고 이 직선 위에 길이 1cm인 선분이 있다고 하자. 그러면 1cm를 제외한 직선상의 모든 점은 1cm선분상의 모든 점과 1 대 1 로 대응한다. 이때 직선의 길이가 무한히 길어져도 이 대응관계는 성립한다. 다음 이번에는 무한히 큰 평면상에 지름 1cm인 원을 생각한다. 이때 원 밖의 모든 점은 원 안의 모든 점과 1 대 1 로 대응한다. 이번에는 지름 1cm인 구(球)를 생각하고 이 구를 제외한 무한히 큰 우주를 생각한다. 이때에도 구 밖의 모든 점은 구 안의 모든 점과 1 대 1 로 대응 한다. 물론 이 경우 구의 중심축 가까이 갈수록 점의 농도는 점점 커져서 무한대가 될 것이다. 이 관계를 수식으로 쓰면

                                           w=1/z                                                

여기서 z가 무한히 작아지면 w는 무한히 커진다.

즉 무한대의 우주가 무한소의 亞原子 공간 안으로 수축 수렴하는 것이다.

현대수학에서는 이 대응관계는 3차원 이상 무한차원에서도 성립함을 증명하고 있다.

크기는 유한하지만 끝을 알 수 없는 무리수도 무한 연구의 한 장르가 될 듯싶다. 잘 알려진 바와 같이 √2, √3..등의 제곱근, 세제곱근 등등 과 원주율 π, 자연대수의 밑 e등이 대표적인 무리수이다.

무한우주와 인간

우리 모두는 어렸을 때 밤하늘의 별을 보면서 신비로운 생각을 했던 기억이 있을 것이다. 그러나 나이 들면서 생활에 찌들어 밤하늘을 쳐다볼 마음의 여유조차 잃어버린 건 안타까운 일이다. 얼마 전 인터넷에서 「허블 망원경」이 찍은 우주의 사진을 감명 깊게 본 일이 있다.

은하수, 개미 성운, 에스키모 성운, 백조 성운, 태양, 지구, 달, 그밖에 여러 개의 행성과 그 위성들... 우리의 은하에는 태양과 같은 항성이 약 1000억 개가 있고 또 우주 전체에는 이런 은하가 적어도 1000억 개는 있다고 한다. 즉 태양과 같은 항성이 1000억x1000억=10의 22승=100해(垓), 여기에 딸린 지구 같은 행성과 그 위성의 수는 도대체 얼마나 될 것인가? 이 많은 별 중에 혹시 우리 인간과 같은 지적 생명체가 있지 않을까? 이런 호기심을 갖는 것은 당연하고 따라서 지금도 NASA에서는 외계생명체의 흔적을 찾는 일을 계속하고 있다고 한다.

우리의 우주가 언제 어떻게 해서 생겨났으며 앞으로 어떻게 될 것인가? 사실 천지창조에 대한 이런 질문은 인간의 가장 근원적인 질문의 하나이고 지구상의 모든 민족의 탄생신화나 모든 종교에서 나름대로 다루고 있다.

지금 까지 알려진 물리학의 지식으로는 우주는 약 137억 년 전 하나의 질점에서 대 폭발(빅뱅)에 의하여 생겨났고 이 때 부터 시간과 공간과 물질 또는 에너지도 함께 생겨났다는 것이다. 그러므로 빅뱅 이전이란 것은 존재하지 않고 우주가 언제까지 존속할지에 대하여는 여러 가지 설이 있지만 확실한 것은 인간이 어찌 알 수 있으리오?

또한 우주는 본래 10차원으로 되어 있었는데 빅뱅이후 4차원과 6차원으로 갈라졌고 6차원 우주는 수축하여 작은 미립자속으로 숨어 버렸고 우리가 접하는 것은 4차원 우주란 것이다. 그런데 이 4차원 우주란 것이 3차원 존재인 인간으로서는 경험 밖의 세계라서 참으로 이해하기 힘든 것이다. 몇 년 전 세기의 수학적 난제의 하나라는 「푸앙카레의 추측」을 러시아의 수학자 「펠레만」이 증명하였는데 이 증명이 4차원 세계를 이해하는 도구를 마련한 것이라고 한다. 그래도 우리 같은 범인으로서는 먼 발치 조차 접근이 어려운 것이다.

광대무변한 우주의 한 자락에서 한낱 티끌만 도 못한 존재가 인간이면서도 한편 원자나 미립자의 입장에서 보면 인간이란 또한 거대복잡계임도 사실이다. 앞서 말했듯이 인간이란 극히 유한한 존재이면서도 무한소와 무한대의 세계를 동시에 생각하고 엿보는가 하면 우주의 극히 일부분이면서도 우주 전체를 내포하고 있는 fractal(부분이 전체를 내포하는 自己 類似性)의 개념이 적용되는 특이한 존재가 아닐까? (끝)

[썬샤인]

이 글은 3년전 우리 56회보에 실렸던 소생의 잡문입니다.
오늘 동네 CGV에서 공상과학영화 '인터스텔라'를 보고
문득 생각이 나 여기에 다시 올렸습니다.

[뒷메]

수학적 머리가 엉망인 입장으로서는 참 어려운 글이네.
내가 겨우겨우 확인할 수 있는 것은, 다름아니라 수학으로 대표되는 과학의 끝은 철학일수 밖에 없다는 정도인데...그러나 또한
그런 해석은 철학의 궁극적 귀착점이 종교 혹은 신의 섭리일 것임을 감안하면 논리로서 취약하고...
간지스강에 육신의 재를 뿌려 생명의 완전한 '소멸'을 葬送한 인도인이 제로(0)의 개념을 창출한 반면
피라밋 축조를 통해 '永生'을 기약-염원했을 파라오의 나라 이집트에서 '무한대'의 개념이 생겨났다는 건,
수학에서의 무한소와 무한대에 대한 철학적 이해의 자료가 될수있지 않을까.근데 이게 '얘기가 되긴 되는가요? 썬샤인님!^^

[썬샤인]

글세요, 불초 소생이 무얼 알겠습니까만 " 우리가 속한 세계를 어떻게 이해할 수 있을까? 우주의 본질은 어떻게 작동할까? 實在의 본질은 무엇일까? 이 모든것은 어디서 왔을까? 우주는 창조자가 필요했을까? 우리 대부분은 인생의 대부분을 이런 질문들에 매달려 보내지 않는다 그러나 우리는 누구나 거의 예외 없이 한동안 이런 질문들을 고민하게 된다. 이런 질문들은 전통적으로 철학의 영역이 었으나, 철학은 이제 죽었다. 철학은 현대 과학의 발전, 특히 물리학의 발전을 따라잡지 못했다. 지식을 추구하는 인류의 노력에서 발견의 횃불을 들고 있는 자들은 이제 과학자들이다" 스티븐 호킹 저 [위대한 설계(The Grand Design)중에서]...

[썬샤인]

[위대한 설계]에서 스티븐 호킹은 "신이 우주를 창조하지 않았다" 라고 주장함으로서 세계의 과학자들과 종교인들을 격렬한 논쟁의 소용돌이속에 몰아 넣었습니다. 호킹은 [위대한 설계]에서 하나의 우주(universe)가 아니라 다수의 우주(multiverse)를 가정하는 끈이론을 토대로 하여 M이론이 우주와 생명의 기원과 존재에 대한 질문을 추구하는 인간 이성의 궁극적인 승리를 가져다 줄것이라고 예견한다고 합니다. 그러나 아무래도 우리 같은 凡人에게는 너무나 벅찬 질문이고 과제가 아닐런지요? "So lets forget it and drink a cup of ssoju" ㅋㅋㅋ

[뒷메]

"So lets forget it and drink a cup of ssoju" ! - 확실한 진리는, 구원은 바로 그것뿐! "위하여!!!...'ㅋㅋㅋ

[맑은샘]

스티븐 호킹만큼 재미없는 글을 쓰는 사람이 우리 56까페에도 있다니.....시간의 역사 라는 책을 산 후 돈이 아까워 사흘을 못 잘 번 했는데....

[썬샤인]

호킹의 책이 재미는 없을지 모르지만 맑은샘께서 이 책을 고르셨다는 것 만으로도
님은 이 시대의 知性人임에 틀림없습니다.ㅋㅋㅋ

[睦園 박이환]

썬샤인 님..실로 놀라운 무한대와 무한소의 정의를 말씀 하시니 이러한 숫자가 어디서 비롯된 건 지 심히 궁금하군요.
또한 우주 속에 수많은 별들에 대하여도 상상을 초월 할 만한 숫자를 말하시니 다들 근거를 두고 하신 말씀이겠지요.
소인배는 그저 얼떨떨 할 뿐 이외다...ㅎ 성경에 예수가 세상 말세를 예언 했지요. 하늘의 해와 달과 별들이 땅에 떨어진
다는 말을 , 이때가 세상 말세라고 하며 ~ 끝에다 한마디 토를 달았지요. '세상 모든건 변할지 모르데 내 말은 변치 않을
것이다' 라고 몫을 박았지요.이러한 성경 구절땜세 '갈리오가 종교 제판에서 평생 연금의 고역을 치루었는 지 몰라도. 말이지요..

[썬샤인]

그렇습니다 .유한한 인간이 무한을 생각할 수 있다는건 참으로 경이롭습니다.

[自然人]

태양계의구조와 분자의 구조가 매우 유사한 것을 보면 무한대와 무한소는 서로 통하는 무었이 있는것 같아요.

[썬샤인]

그게 아마 우주의 fractal(자기 유사성)구조의 또 다른 표시일지도 모르지요.

[無心軒]

. . . 글쎄, 나이들어가는 탓인지, 소생도 근래 서양철학사와 그리스의 철학 얘기등을 들척이고 있는데, 대부분의찰학자들은 신의 존재 자체를 증명 하지 못하는 것 같습니다. 그리고 Isaac Newton 도 젊었을 때는 사실 신학교에 갈려고 했었는데. 실력이 딸렸는지 물리학을 공부하면서 신학 책들을 들척였던 모양 입니다. 그런데 후에 프랑스의 철핟자이며 문인인 Voltaire 와 주고 받은 편지들을 보면 Newton 은 신의 존재를 역시 믿지 못 했던 것 같습니다. 그런데 근대에 와서 Tagore 와 Einstein 의예를 보면 또 역시 비슷한 . . . 그러나 분명 한것은 우리인간의 존재가 너무 미미함을 -이제야 느끼기 시작 한다는사실입니다.

[썬샤인]

제가 아는 한 뉴톤은 열렬한 개신교 신자였습니다. 아인슈타인도 양자역학의 창시자의 한 사람이었지만
양자의 거동이 확정적이지 않고 확률분포에 따른다는 사실을 혐오하여 "신은 주사위 놀음을 하지 않는다" 고 하며 결정론적 우주관을 피력했고 무신론을 배격했습니다. 우리 인간의 존재가 광대무변한 우주에 비하여 너무나 미미한것은 사실입니다만 그럼에도 불구하고 이 보잘것 없어 보이는 인간이 우주의 본질에 대하여 무한한 호기심을 갖고 파고 들어 하나씩 밝혀내는 것은 또 하나의 경이로움이며 인간존재의 위대함이라고 한다면 터무니 없는 억지일런지요?

[뒷메]

#결론:^^ 수학적 성찰없는 철학적 思惟는 무의미하다?아니 그 반대?ㅋㅋ

[썬샤인]

글세요. 저는 결론을 유보하고 샆습니다.ㅋㅋㅋ