#대수 실수의 정의?

[켄신メ]

고등학생 2학년인데요,,

1학년 초에 명제 파트를 배울때, 선생님께서,

"자, "x, y가 정수일때, x/y는 유리수이다. 참일까? 거짓일까?"

라고 물으시니 애들은 당연하다는듯,

"거짓이요! 거짓! y가 0이면 안되잖아요!"

"그래요. 유리수의 정의는 x,y가 정수이고, ""y≠0""일때 x/y입니다."

그런데 그 속에서 저는,

"그러면 무리수인 경우는 어떻게되나요? x,y가 정수일때, x/y는 무리수이다?"

그러니 애들은,

"야 y가 0이면 수가 아니잖아-"

"니가 x/y가 무리수가 아니라는걸 증명할 수 있어?"

"분모가 0이면 정의를 안하잖아"

"니가 무리수의 정의를 알아? 유리수가 아닌 실수는 무리수잖아."

"그럼 넌 분모가 0일때 실수라고 생각해?"

"그래서 묻고있잖아!"

그 앞에서 선생님은 멍-


결국 결론은, """참인지 거짓인지 알 수 없으므로 저것은 명제가 아니다"""라고 내려졌지요.





보신 바와 같이 저의 고등학교식 실수개념으로는 저런 명제아닌 명제를 정확히 이해할 수가 없었습니다.

무리수의 정의는 무엇인가요? 실수의 정의는 무엇인가요?

[켄신メ]

블러디//아,, 정의하면 문제가 되는 이유는 기존 공리계와 모순을 일으켜서 라고 하셨지요. 전 그리고 그 다음으로 피타고라스 어쩌고 했는데 그건 안읽어보셨나보지요? 0의 본질이라.. 선입관을 가진 분은 오히려 ""기존 공리계 속의 0""에 얽매이신 님 아니신지요?

[켄신メ]

폭풍//네... 문제는 바로 그것이겠죠. 어쨌든,, 그건... 저도 예전에 아무것도 모르던 시절에 시도해본 것(지금도 아무것도 모르지만요,,)이라서 잘 될지 모르겠네요.. 주말에 시간나면 올리죠. (오늘 기숙사 다시 입사했네요;;)

[켄신メ]

그리고 ,, 이런 기본개념적 짜증나는 질문과 궤변같은 말 늘어놓아 다시한번 죄송해요... 제 느낌에도 저자신이 약간 유치하네요...

[블러디]

0의본질을 생각해보라는말을 얼마나 생각해 봤는지 모르겠군요. 자신의 말이 궤변임은 인정하면서 오히려 답변자들에대한 충고라니..쩝.. 할말이 없슴다. 뭘해봤다는거죠. 위글중에 0으로나누는것말고 님이 해본건 아무것도 없어요. 자신이 인정한 매끄럽지 못한점이 무엇인지나 아는지모르겠군요. 당장 0으로 나누려면

[블러디]

0/0이 정의 되어야 하죠. 저건 하나의 값이 아닙니다. 0이아니것만 나눈다는 제약을 덧붙일겁니까? 피타고라스얘기를 하셨는데 사칙에 완전한 수체계가 복소수이상은 없다라는게 완결된 입장에서 수아닌수를 첨가하면 당연히 기존 공리와 충돌이 일어난다라는데 뭐가 불만이라는거죠.

[블러디]

피타고라스학파를 현재와 비교하지마세요. 그들이 주장했던 내용은 "유리수만으로 모든수를 나타낼수있다"는 종교적 맹신이었을 뿐입니다. 수학의 공리적 접근은 19세기 말에나 와서 이루어졌죠. 그리고 뭔가 결과물을 가지고 주장을 하세요. 자신도 막연한 질문을 던져봤자 더 막연해질 뿐입니다.

[켄신メ]

피타고라스는 유리수만으로 모든 수를 나타낼 수 있다고 공리를 세웠겠죠. 그들에겐 유리수가 실수였습니다. 무리수도 어차피 따지고보면 정한 수 아닙니까? 없어도 그만 있어도 그만이지요. 한마디로 기존의 실수 공리를 무리수라는 범위까지 확장시킨것이라고 생각해요.

[켄신メ]

그리고 제가 매끄럽지 못하다고 한 것은 어쩌면 0/0의 정의 때문일것입니다. 그리고 전 1/0만 정의하면 끝납니다. 제 관심사는 모든 실수를 0으로 나누는게 아니라 일단 1을 0으로 나누는 것이니까요. 0/0은 좀 더 생각해볼 문제이지요.

[켄신メ]

그리고 결과적으로 궤변일 "수도" 있으니 궤변"같은 말"이라고 나름대로 겸손한 표현을 했는데 왜 흥분을 하세요? ^^ 0으로 나누는 것에 대한 것 말고 해본게 없다고 했는데 제가 그 외는 할 필요도 없죠.

[켄신メ]

사칙연산에 대한 공리도 마찬가지로, 0으로 나눈다는 것을 정의하여 좀 확장한다는데,,, 이건 두 수를 정수비로 나타낼 수 있다라는 공리를 정수비로 나타낼 수 없는 수까지 확장하는 것과 마찬가지라고 생각합니다. 적어도 아직까진 말이지요. 글구 공리적접근이 없더라고 공리는 원래 처음부터 있던거 아닌가요?

[켄신メ]

너무 기본적인걸 물어봐서 별거 아닌걸로 생각하고 계속 몰아붙이시는데 너무하신것 아닌가요? 님은 제 말에 대해 얼마나 깊게 생각해보셨나요? 질문자에 대한 배려같은건 전혀 없으신것 같아요. 또한 거창하진 않을테지만 어쨌든, 결과물은 주말에 올리도록 노력해본다고 이미 말씀드린바 있습니다.