■ 독서 - 미적분의 힘
ㅇ 일자 : 2024.7.25(목)~8.14(수)
ㅇ 저자 : 스티븐 스트로가츠,,, 하버드대학교에서 박사학위 받음.
하버드대학교와 MIT를 거쳐 1994년 부터 코넬대학교의 제이콥 굴드 셔먼 응용수학 석좌교수로
재직하고 있다. 카오스와 복잡한 이론 분야에서 뛰어난 업적을 남김
ㅇ 옮김 : 이충호,,, 서울대학교에서 사법대학교 화학과 졸업하고,
현재 교양과학과 인문분야 전문 번역가로 활동하고 있다.
ㅇ 출판 : (주)북하우스 퍼블리셔스 초판 발행 2021.9.24
ㅇ 개요
** 복잡한 세상을 푸는 단순하고 강력한 도구
** 수학과 현실이 만나는 곳에,,, 미적분학이 있다.
** 차례 : 1장. 무한 2장. 무한의 힘을 활용한 사람 3장. 운동의 법칙을 발견하다. 4장. 미분학에 서광이 비치다. 5장. 교차로 6장. 변화의 용어 7장. 비밀의 샘 8장. 마음이 만들어낸 허구 9장. 논리적은 우주 10장. 파동 만들기 11장. 미적분학의 미래
** 미적분학이 어디서 왔는지? 어떻게 작동하는지? 왜 유용한지? 그리고 어떻게 발전 할 것인지? 미적분학이 어떻게 인류의 문명을 환골탈퇴에 가깝게 바꾸어 놓았을까?
** 아이작 뉴턴은,,, 우주의 비밀을 맨 처음 알아낸 사람이였다.
예-1) 뉴턴은 몇개의 미분방정식으로,,, 행성의 궤도, 조수의 리듬, 포탄의 궤적을 모두 기술하고 설명하고 예측할 수 있다는 사실을 발견하였다. 예-2) 이 미분 방정식들은,,, 뉴턴의 운동법칙과 중력법칙이다. - 운동 제1법칙 : 관성의 법칙 F=0 - 운동 제2법칙 : 가속도의 법칙 F=ma - 운동 제3법칙 : 작용 반작용의 법칙
- 중력법칙 : 우주에 떠있는 모든 물체는,,, 두물체의 질량을 곱한 양에 비례하고, 두 물체 사이의 거리를 제곱한 양에 반비례하는 힘으로 서로 다른 물체를 끌어 당긴다는 법칙
** 우주의 모든 무생물 물체는,,, 미분 방정식의 규칙을 따른다. - 고대 세계의 4원소인,,, 흙, 공기, 불, 물과 - 최근 발견된,,, 전자, 쿼크, 블랙 홀, 초끈에 이르기 까지의 모든 무생물 물체
** 미분방정식이 성공을 거둔 비결은,,, 복잡한 문제를 단순한 부분으로 쪼개는 데 있다. - 문제를 분할하여 정복하는 전략 - 크고 어려운 문제를,,, 여러 작은 조각으로 쪼개고 또 쪼개서 작은 부분들을 대상으로 문제를 풀은 후 - 풀어서 얻은 작은 답들을 다시 합치는 것이다.
예) 미분학은,,, 복잡한 문제를 무한히 많은 단순한 조각들로 나눈다. 적분학은,,, 이 조각들을 합쳐 처음의 문제를 푼다.
** 미분방정식의 적용분야,,, 1. 휴대전화와 컴퓨터 2. 전자 레인지 3. 라디오와 텔레비전 4. 산모를 위한 초음파 사진 5. 길은 여행자를 위한 GPS 6. 원자를 쪼개거나 인간 유전체를 밝혀 내는 것 7. 사람을 달로 보내는 것
** 미적분학은,,, 우리가 한번도 본적이 없고, 절대로 볼 수 없고, 앞으로도 결코 보지 못할 것을 알려 준다 어떤 경우에는 결코 존재한 적이 없지만 존재할 수 있었던 것에 대해서도 알려 준다.
우리에게 그 것을 불러낼 지적 능력이 있다면 말이다. |
제 9장. 논리적인 우주
ㅇ 미적분학은 1664년~1676년 사이에 극적으로 많이 발전함
- 과학분야에서는,,, 갈릴레이가 꿈꿨던 자연의 책을 읽게 해 주었고
- 기술분아에서는,,, 산업혁명과 정보시대를 이끌었다.
- 철학과 정치분야에서는,,, 현대적인 인권과 사회, 법 개념에 영향을 미쳤다.
ㅇ 미적분학의 진화, 변화 → 발전
- 미적분학은 곡선의 연구에서 시작되었으며
- 특히 변화는,,, 곧 방향의 변화에 이어 → 계속해서 운동의 연구(위치의 변화)로 옮겨 졌다.
- 미분 방정식의 적용사례
예-1) 전염병이 어떻게 확산될지?
예-2) 허리케인이 육지에 상륙하는 장소는 어디인지?
예-3) 주식시장에서 선물옵션을 얼마에 사야할지 등을 예측하는데 도움을 주고있다.
ㅇ 영화 『히든 피겨스』의 주인공 아프리카계 미국인 수학자 "캐서린 존슨"
- 1960년대 초 지구 주위 궤도를 돈, 최초의 미국 우주비행사 "존 글렌"을 안전하게 지구로 귀환시킬때
- "캐서린 존슨"은 미적분을 사용해,,,
1) 지구 주위를 돌면서 움직이는 우주선의 위치를 예측하고
2) 대기권 재진입에 성공하기 위한 진입 궤적을 계산했다.
3) 그리고 북대서양 바다위에 떨어지는 정확한 위치를 찾아 내었다.
ㅇ 도립변수가 하나인 "상미분방정식"
1) 행성의 타원궤도 계산
2) 우주 캡슐의 궤적 계산(3차원의 공간에서 움직이는 우주선의 위치 계산)
ㅇ 편미분방정식
- 시간과 공간에서 동시에 움직이고 변화하거나
- 또는 둘이상의 공간차원에서 움직이고 변하는 연속계들을 기술한다.
예-1) 식어가는 수푸그릇과 함께 축 늘어진 해먹의 형태를 방정식으로 기술하며
예-2) 호수에서 오염물질이 확산되는 양상(물의 온도, 풍향/풍속,,,,,)
예-3) 전투기 날개위를 지나가는 공기의 흐름
예-4) 전기와 자기를 기술하는 "맥스웰의 방정식"
예-5) 탄성, 음향학, 열 흐름, 유체 흐름, 기체 동역학을 기술하는 방정식
예-6) 금융 옵션의 가격을 결정하는 "블렉-숄즈 모형"
예-7) 신경 섬유를 따라 학산되는 전기 자극의 양상을 나타내는 "호지킨-헉슬리 모형"
제11장. 미적분학의 미래
ㅇ 사회과학, 음악, 미술, 인문학 분야에서 미적분학의 새로운 응용 ㅇ 의학과 생물학 분야에서 계속 이어질 미적분학의 응용 ㅇ 금융, 경제, 날씨분야에 내재하여 무작위성 문제에 대처하는 방법 ㅇ 빅 데이터에 활용되는 미적분학과 미적분학에 활용되는 빅 데이터 ㅇ 비 선형성, 카오스, 복잡계 분야들이 제기하는 문제들에 대처하는 방법 ㅇ 인공지능, 컴퓨터와 미적분학사이에 점점 발전할 동반자 관계 ㅇ 양자역학으로 점점 깊숙이 옮겨가는 미적분학의 경계 |
ㅇ 우리 뇌는 3차원 이상의 공간을 상상할 수 없다.
- 우리 뇌의 신경계는,,, 1) 위아래
2) 앞뒤
3) 좌우,,, 공간의 세방향만 지각할 수 있다.
- 추상적인 기호를 사용하여,,, 우리는 어떤 차원이라도 다를 수 있다.
예-1) 3차원의 입체평면은 ,,, x, y, z
예-2) 4차원과 5차원을 표시할 문자는,,, 아직 많이 남아 있다.
- 시간의 4차원 차원도 된다.
예-1) 아인슈타인의 상대성 이론에서는,,, 시간과 공간이 결합되어 시공간이 실제 존재하면서
4차원의 수학적 무대로 표현된다.