함수의 부정적분에서 dummy 적분변수 사용에 대한 질문

안녕하세요, 교수님. 오랜만에 글 올립니다.무더위에 건강하게 잘 보내시는지요? 항상 건강 유념하시고 평안하시길 바랍니다.  *  *  * 이번 질문은 대단한 것은 아니고 하찮은 질문일 수도 있는데, 문득 의문이 들어서 질문드립니다.   f : A → R (A는 R의 부분집합) 가 적분가능함수일때,F(x) :=int_[a,x] f(t) dt 으로 정의된 함수 F : A → R 을 생각할 수 있습니다. ( A = [a, b]∋x ) 만약 f 가 연속까지 되면,  F'(x) = f(x) 가 되어, F는 f의 부정적분이 됩니다. 만약 이 경우라면,  (1)  F(x) = int_[a,x] f(t) dt   --(적분변수인 dummy 변수 t와, 적분구간에 포함된 변수 x (or 함수 F의 독립변수 x)가, 다름.)를(2)  F(x)= int_[a,x] f(x) dx  --(적분변수인 dummy 변수 t를, 적분구간에 포함된 변수 x (or 함수 F의 독립변수 x)와, 똑같이 x로 택.)으로, 써도 무방할 듯 합니다.왜냐면 (1), (2) 모두가 f(x)에 대한 closed form인 한 부정적분 G(x)를 가지면, G'(x) = F'(x) = f(x) 이므로, F(x) = G(x) - G(a) 가 성립하기 때문입니다.   ------------------제 질문은, 그럼 만약 f 가 적분가능만 하고, 연속은 아니어서 부정적분을 갖지 않으면 (혹은 가져도 closed form 이 아닌 부정적분이라면) ,       (2) F(x)= int_[a,x] f(x) dx  --(적분변수인 dummy 변수 t를, 적분구간에 포함된 변수 x (or 함수 F의 독립변수 x)와, 똑같이 변수 x 으로 택.)  와 같이 적분 변수와, F 의 독립변수를 똑같이 x으로 택하여도 문제가 없는가?  입니다.제 생각에,이렇게 하면 적분구간의 분할을 생각하여 upper sum, lower sum 등을 정의할 때, 적분구간 [a, x] 의 분할을 생각할 때마다 이것의 분할이 ( x = t 이므로) x_i라면,  x가 변할 경우 그때마다 x_i들도 같이 변하여서,리만적분이 잘 정의될 수 있을까? 하는 의문이 들어서요.    답변에 미리 감사드립니다.