GPS 인공위성이 시간 신호만을 이용해 스마트폰의 정확한 위치를 계산하는 수학적 원리를 설명해 주세요.

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GPS 인공위성이 시간 신호만을 이용해 스마트폰의 정확한 위치를 계산하는 수학적 원리를 설명해 주세요.


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GPS 수신기가 위치를 계산하는 핵심 수학 기법은 각 위성까지의 거리를 반경으로 하는 구(Sphere)들의 교점을 찾는 삼변측량(Trilateration) 기법입니다.


(1). 거리 산출: 전파 이동 시간(\Delta t) 활용
​위성은 신호를 보낼 때 "내 위치 정보(x_i, y_i, z_i)"와 "발신 시간(t_{\text{send}})"을 함께 전송합니다. 스마트폰이 신호를 받은 시간(t_{\text{recv}})과의 차이에 빛의 속도(c)를 곱해 위성까지의 거리를 계산합니다.


(2). 구 방정식과 단계별 좌표 결정 과정
​3차원 공간에서 나의 위치를 $(x, y, z)$라고 할 때, i번째 위성과 스마트폰 사이의 거리는 다음 3차원 구의 방정식을 따릅니다.

​위성 1개: 나를 중심으로 한 반지름 d_1인 구 표면 전체가 후보가 됩니다.
​위성 2개: 두 구가 만나 생기는 원(Circle) 위에 위치하게 됩니다.
​위성 3개: 세 번째 구가 가세하면 원과 구가 만나는 2개의 점으로 추려집니다. 하나는 우주 공간, 하나는 지구 표면 근처이므로 현실적인 지상 좌표 1개가 확정됩니다.


(​3). 왜 위성이 최소 4개 필요한가? (미지수 4개)
​이론적으로는 미지수가 3개((x, y, z))이므로 위성 3개로 위치를 알 수 있어야 합니다. 하지만 스마트폰 내부 시계는 위성에 탑재된 고가의 원자시계처럼 완벽하지 않아 **시간 오차(b)**가 존재합니다.
​빛의 속도가 매우 빠르기 때문에 수신기 시계가 0.000001초만 틀려도 약 $300\text{m}$의 오차가 생깁니다. 따라서 시계 오차 b 역시 함께 풀어야 할 4번째 미지수가 됩니다.

스마트폰은 최소 4개 이상의 위성에서 동시에 신호를 받아서 연립 연립 방정식을 구성합니다. 수신기 내부 계산 장치는 미지수 4개((x, y, z, b))에 대한 연립 2차 방정식을 실시간으로 풀어 위치뿐만 아니라 스마트폰의 시계 오차까지 함께 보정합니다.