누구나 읽는 수학의 역사(2024.9.3)

[권 영 칠]

■ 누구나 읽는 수학의 역사

ㅇ 일자 : 2024.8.22(목)~9.3(화)

ㅇ 저자 : 안소정,,, 이화여자대학교에서 수학을 전공한 수학 저술자로서 수학이 학습이나 시험의 대상이 아니라,

                              사유의 힘이자 교양으로서 사람들 사이에 자리잡을 수 있도록 애쓰고 있다.

ㅇ 출판사 : (주)창비, 초판 1쇄 발행 2020.11.27

ㅇ 개요

* 수학은,,, 인류와 함께 시작되고 발전되어 왔다.

   - 인류가 처음 수를 세고, 숫자를 만들며 시작된 수학은 인류 지성의 발전과정이기도 하다.
   - 방정식, 함수, 통계, 컴푸터 등 수학에서 나온 개념과 원리는 우리 사회에 광범위하게 쓰이고 있다.
   - 지금의 현대수학은 매우 추상적인 단계에 이르고 있다.

* 수학의 역사에서 큰 특징은,,, 앞서 나온 것들에 새로운 성과가 쌓이면서 학문이 넓어지고 깊어 졌다는 점이다.

* 차례 : 1. 숫자                            6. 방정식                           11. 미터법
          2. 도형                             7. 함수                             12. 다면체 공식
          3. 피타고라스의 정리           8. 확률                             13. 집합
          4. 원주율                          9. 통계                             14. 컴퓨터
          5. 소수                            10. 미적분

** 변화가 많은 현대사회에서는 다양한 함수와 변화량을 계산하는 미적분학이 더욱 중요해지고 있다.

제10장. 미적분 - 움직이는 것을 계산하다

ㅇ 뉴턴(영국, 1643~1727년, 84세)의 미적분 발견

   - "자연은 일정한 법칙에 따라 운동한다"

   - 대표적인 연구실적(과학분야),,, 1) 만유인력 법칙

                                                        2) 뉴턴의 운동법칙

                                                        3) 광학이론 등

   - 대표적인 연구실적(수학분야),,, 1) 미적분학

** 뉴턴이 살았던 17세기는,,, 과학과 수학 분야에서 놀라운 성과가 많았다.

** 과학분야 - 과학혁명이 일어났다.
   1) 망원경이 발명되어 천체관측이 활발했으며
   2) 지구가 자전을 하고, 태양주위를 행성들이 돌고 있다는 것을 코페르니쿠스가 수학적으로 증명함
   3) 중력과 행성 운동의 법칙
   4) 빛을 탐구하는 광학
   5) 물체의 운동에 관한 역학분야 등에서 새 이론이 나왔다.

** 수학분야 - 수학의 황금시대
   1) 로그,,, 존 네이피어(스코틀랜드, 1550~1617년, 57세)
   2) 좌표 발명,,, 데카르트(프랑스, 1596~1650, 54세)
   3) 해석 기하학,,, 데카르트, 페르마(프랑스, 1601~1665, 64세)
   4) 정수론,,,
   5) 함수,,, 데카르트
   6) 확률,,, 파스칼(프랑스, 1623~1662년, 39세)
   7) 통계,,, 페르마

** 미적분학의 탄생
   - 수학자들은 과학발전에 발 맞추어 운동과 변화를 연구의 중심주제로 삼았다.
   - 물체의 운동과 방향, 속도, 거리와 시간에 관계된 수학문제 제기됨

   예-1) 변량을 다루는 함수
   예-2) 곡선 방정식
   예-3) 극한값을 구하는 문제가 연구되어 미적분학의 토대가 마련되었으며

   - 그리고 마침내, "뉴턴"과 "라이프니츠"에 의해 미적분학이 탄생되었다.
   - "뉴턴"과 "라이프니츠"는 각자 독자적인 방법으로 미적분학을 발견했다. 
   - 뉴턴은,,, "극한"의 개념에서
   - 라이프니츠는 "곡선의 기울기"에서 미적분을 창안했다.

ㅇ 움직이는 순간속도와 변화율

   - 뉴턴은,,, 움직이는 물체의 순간속도와 변화율을 구하는 것에서 미분법을 발견했다.

                     즉, 떨어지는 사과의 순간속도를 구한다면 움직이는 물체의 순간속도를 계산할 수 있다.

   - 미분은,,, 움직이는 양에 대한 순간 변화율을 구하는 것

     적분은,,, 미분의 역을 구하는 것

ㅇ 라이프니츠(독일, 1646~1716년, 70세)의 미적분

   - 1684년 미적분 논문발표,,, 『극대, 극소와 접선에 관한 새로운 방법과 놀라운 계산법』

   - 컴퓨터 이론의 원형이 되는 "이진법 체계"를 만들었으며, "사칙연산과 거듭제곱근"을 계산하는 기계도 만듬

   - 미적분의 기호를 만듬,,, 1) 미분 기호,, dx/dt

                                            2) 적분 기호,, 인테그럴 S(긴 S자 모양)

   - 미적분은,,, 분해한다는 뜻의 미분과 통합한다는 뜻의 적분이 합쳐진 것이다.

     미분은,,, 주어진 영역을 쪼개고 분해하여 변화량을 측정하고

     적분은,,, 영역을 합한 면적을 계산한다. 

     서로 반대되는 개념이 완벽하게 한 분야가 된 것이다.

ㅇ 움직이는 세계를 계산하다.

   - 미적분학은 움직이는 세계를 다른다.

    예-1) 중력과 행성의 움직임

    예-2) 물체의 운동

    예-3) 액체와 기체의 흐름

    예-4) 대기압과 구름, 바람의 이동

    예-5) 미세한 원자의 움직임과 전기의 흐름

    예-6) 소리와 열의 전달

    예-7) 방사선 원소의 붕괴

    예-8) 바이러스의 증식 등

   - 미적분은 전자기학, 유체역학, 양자역학, 항공우주 등 대부분의 자연과학과 공학에 쓰인다.

    예-9) 인공위성과 우주 탐사선을 쏘아 올리는 것

    예-10) 비행기 항로를 결정하고 항공기가 이착륙하는 제동거리를 계산

             (항공기의 속도, 무게, 각도, 할주로의 마찰계수, 풍항 등 수 많은 변량에 따른 미분방정식을 만들고 계산한다.)

   - 오늘날 미적분은 경제학, 통계학, 기상학, 음향학 등 많은 분야에 활용되고 있다.  

    예-11) 물가와 금리, 주식, 환률 등 금융시장의 변동을 분석

    예-12) 온도, 기압, 풍속의 움직임을 파악

    예-13) 교통의 흐름이나 소음, 대기 오염을 측정하여 활용

    예-14) 방사는 오염과 미세먼지 농도 계산

    예-15) 컴퓨터 단층촬영(CT)을 할 때도 인체의 X선 흡수량을 미적분으로 계산해서 단층으로 쌓아가며 영상을 만든다.

   - 에니메이션이나 영상작업에도 캐릭터의 움직임과 변화량을 미적분방정식으로 변환하여 다양한 장면을 만드다.

    예-16) 파도치는 해안이나 폭풍우, 달리는 동물 등 움직이는 장면

    예-17) 3차원의 입체영상

제14장. 컴퓨터 - 이진법의 디지털 세상을 만든다.

ㅇ 영국 수학자,,, 앨런 투닝(1912~1954년, 43세)

   - 영국 런던 케임브리지 대학에서 수학전공하고 수리논리학 분야 연구

   - 컴퓨터 이론의 창시자

   - 주어진 계산방법과 처리순서에 따라 순차적으로 논리조작을 실행하는 장치 개발

   - 2차 세계대전시,,, 독일의 암호를 푸는 해독기 개발,

    전쟁후 자동계산기계인 거대한 디지털 컴퓨터를 설계해 제작함

ㅇ 애니악(ENIAC) - 세계 최초의 전자식 컴퓨터

   - 1946년 미국 수학자들이 전자식 디지털 수학 적분계산기 "애니악" 개발

    예-1) 탄도(탄환 처럼,,, 발사된 물체가 포물선을 그리며 가는 것)를 0.00002초만에 계산 함

             20시간 걸리는 계산시간을 30초로 단축함

   - "에니악"은,,, 진공관 스위치를 이용한 이진수를 나타내기 때문에 진공관 17,000개와 레지스터 7만개, 스위치 6,000개 필요 함

                         높이 2.4m에 무게 30톤으로 커다란 방 하나를 차지 함

* 초기 컴퓨터의 "진공관"이 -- "트랜지스터"로 바뀌고 -- "반도체"가 도입되면서 -- 하나의 "칩"으로 된 마이크로 컴퓨터로
  변하여 -- 개인용 컴퓨터가 만들어 짐

* 컴퓨터는 소프트웨어와 하드웨어가 분리되면서, 수학에서 벗어나 새로운 학문분야로 기술발전을 계속하고 있으며

* 현재의 컴퓨터는,,, 계산기, 정보처리기기를 넘어 -- 통신, 그래픽, 영상과 접목되어 발전하고 있다.

ㅇ 컴퓨터와 현대수학

   - 20세기 중반이후 새로나온 수학이론들은 컴퓨터와 상호작용하면서 상승발전 함

   - 컴퓨터를 사용하면서 "나비효과"와 "카오스 이론", "프랙털 기하학" 같은 수학이론 탄생 함

 1) 나비효과

   - 1963년 미국 수학자이자 기상학자인 로렌츠는  컴퓨터를 사용해 가상현상을 수학적으로 분석하는 과정에서 "나비효과"를 발견 함

   - "나비효과"는,,, 초기의 미세한 조건이 시간이 지남에 따라 점점 더 커지며 나중에는 커다란 결과를 가져온다는 이론이다

    예-1) 나비 한마리가 날개짓을 하면 수천킬로미터 떨어진 곳에서 폭풍을 일으킬 수 있다는 설명이다.

 2) 카오스 이론

   - 카오스는 우주가 탄생하기 이전의 혼돈과 무질서한 상태이다.

   - 카오스 이론은,,, 매우 불규칙적이고 예측 불가능한 현상에서 규칙을 찾아 예측하는 것이다.

    예-1) 공장에서 나온 연기가 공중에서 무질서하게 흩어지는 현상

    예-2) 전염병이나 방사능이 퍼지는 현상

    예-3) 회오리 바람과 태풍, 황사와 미세먼지가 일어나는 것을 컴퓨터를 이용해 카오스 이론으로 풀고 예측 가능한 패턴을 발견한다.

 3) 프랙털 이론 

   - 1975년 수학자 망델브로에 의해 탄생

   - 프랙털 이론이란,,, 컴퓨터로 매우 복잡한 구조의 함수를 다루고 기학학적인 그래프를 그려 내는 것이다.

                                 무한 반복 계산과정을 거쳐 자기 닮음(자기 유사성)을 갖는 복잡한 도형을 만들어 지는 것을 "프랙터"이라고 한다.

   - 프랙털과 유사한 모양으로는,,, 해안선, 눈송이, 브로콜리 등과

                                                   우리 몸의 세포와 혈관, 허파꽈리, 뇌의 주름이 있다.

   - 프랙털 기하학으로 계산하고 프랙털 그래프를 그려 분석한다.

    예-1) 해안과 산의 지형, 햇빛과 구름, 번개, 불 꽃 등 자연계의 복잡한 풍경을 컴퓨터 그래픽으로 실물과 똑같이 묘사

    예-2) 영화의 배경화면이나 애니메이션 작품에 이용

    예-3) 재정, 금융, 주식 등 경제현상을 파악 할 수 있으며

    예-4) 면역체계, 환경오염, 여론 변화를 분석 예측한다.

ㅇ 인간을 모방하는 컴퓨터 - 인공지능

   - 개인이 사용하는 휴대폰의 컴퓨터는,,, 과거 1960년대 달 착륙 우주선에 사용되던 컴퓨터보다 더 성능이 뛰어나다.

   - 인공지능은,,, 컴퓨터가 학습과 경험을 통해

                         인간처럼 높은 지적처리 은력을 갖추고 일을 수행하는 기술을 말한다.

    예-1) 혈액 검사 결과를 분석하여,,, 어떤 질병이 있는지 알아내고 치료방법을 제시한다.

    예-2) 영상 촬영으로,,, 환자 상태를 진단하고 처방을 내린다.

    예-3) 인공지능 로봇이,,, 사람 대신에 제품을 만들고, 청소/운전은 물론 대화도 하며, 비서 노릇을 하고 있다.

    예-4) 의사를 대신하여,,, 수술을 하는 가 하면

    예-5) 판사를 대신하여,,, 판결을 할 수 있다.

    예-6) 우주 탐사와 같은 사람이 직접하기 힘든 일이나, 위험한 일도 한다

    예-7) 

* 수학은,,, 우리가 사는 세상을 탐구하고 이해하는 데 도움을 주었고,
              사람들이 더 풍요롭고 지혜로운 생활을 할 수 있도록 쓰여 왔다.

* 지금의 수학은,,, 매우 추상적인 단계에 도달해 있다.