Re: 함수의 부정적분에서 dummy 적분변수 사용에 대한 질문

[Claria]

답이 늦어서 죄송합니다^^

질문하신 내용에서는 변수의 이름을 바꾸는 문제와 원시함수를 이용하여 정적분을 계산하는 문제를 분리해서 생각하면 좋겠습니다.

먼저, 적분변수의 이름을 바꿀 수 있다는 사실은 f의 연속성이나 원시함수의 존재, closed form으로 표현할 수 있는지와 관계가 없습니다. 리만적분의 정의 자체에서 확인할 수 있는 사실입니다.

다만 적분변수의 이름을 바깥 변수와 같은 x로 쓰려면, 같은 문자를 사용하더라도 두 역할은 구별해서 읽어야 합니다. 이 구별을 없애고 ‘t=x라는 조건이 추가되었다’고 생각하면 안 됩니다.

1. ‘적분변수의 이름을 바꾼다’는 것은 무엇인가요?

질문에 적어 주신 대로 f가 [a,b]에서 리만적분 가능하고,

F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt

라고 하겠습니다.

여기서 x는 어디까지 적분할지를 정하는 끝점이고, t는 그 구간 안에서 f의 값을 살펴볼 때 사용하는 적분변수입니다.

이 차이를 분명하게 보려면, 먼저 끝점을 c로 고정해서 쓰면 됩니다.

F(c) = ∫ₐᶜ f(t) dt = ∫ₐᶜ f(u) du = ∫ₐᶜ f(x) dx

이 세 적분은 같습니다. 적분구간은 모두 [a,c]이고, 같은 함수 f를 적분합니다. t, u, x는 그 적분 안에서만 사용하는 이름입니다.

따라서 질문하신

F(x) = ∫ₐˣ f(x) dx

도 ‘위끝의 x는 바깥에서 정한 끝점이고, f(x) dx의 x는 적분변수이다’라고 역할을 구별해서 읽는다는 전제 아래에서는 원래의 적분을 뜻하게 할 수 있습니다.

하지만 이것은 두 역할의 변수를 하나로 합친 것이 아니라, 서로 다른 역할에 같은 이름을 중복해서 붙인 표기입니다. 혼동을 피하려면 원래처럼

F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt

로 쓰는 편이 좋습니다.

특히 다음 식과는 구별해야 합니다.

∫ₐˣ f(x) dt = (x−a)f(x)

이 식에서는 적분변수가 t이므로, f(x)는 적분하는 동안 고정된 값입니다. 반면 ∫ₐˣ f(t) dt에서는 구간 안의 여러 점에서 f의 값을 살펴봅니다. 어떤 문자가 적분변수로 묶여 있는지가 중요합니다.

2. 분할점들이 x에 따라 달라지면 정의에 문제가 생기지 않나요?

이 부분에서는 끝점을 바꾸는 것과, 고정된 구간의 분할을 바꾸는 것을 구별해야 합니다.

F(c)를 정의할 때는 먼저 c∈(a,b]를 하나 고정합니다. 그러고 나서 고정된 구간 [a,c]의 분할

P : a = u₀ < u₁ < ⋯ < uₙ = c

를 생각합니다.

이 분할에서 상합을 만들 때 사용하는 각 소구간의 상한은

Mᵢ = sup{f(t) : uᵢ₋₁ ≤ t ≤ uᵢ}

입니다. 그런데 이것은

Mᵢ = sup{f(s) : uᵢ₋₁ ≤ s ≤ uᵢ}

와 같습니다. 집합을 나타내는 데 사용한 변수의 이름만 바뀌었을 뿐, 상한을 구하는 대상인 함숫값들의 집합은 그대로이기 때문입니다. 하한도 마찬가지입니다.

따라서 같은 분할에 대한 상합과 하합부터 이미 동일합니다. 적분변수의 이름을 바꿔도 정적분값이 같다는 것은 이 단계에서 확인됩니다. 원시함수를 구할 필요가 없습니다.

또한 분할을 더 잘게 나누거나 다른 분할을 택하는 동안에도 끝점 c는 고정되어 있습니다. f는 [a,b]에서 리만적분 가능하므로 [a,c]에서도 리만적분 가능하고, 그 구간의 하합들의 상한과 상합들의 하한이 일치합니다. 그 하나의 값을 F(c)로 정하는 것입니다. c=a일 때는 F(a)=0으로 둡니다.

물론 c를 다른 값으로 바꾸면 적분구간도 달라지고, 그 구간의 분할도 달라집니다. 그렇게 각각의 c에 정적분값 하나씩을 대응시키는 것이 바로 함수 F의 정의입니다. 구간에 따라 분할이 달라진다는 사실은 잘 정의되는 데 장애가 되지 않습니다.

질문에서 쓰신 분할점 xᵢ도 마찬가지입니다. 첨자 i는 분할점들을 구별하기 위한 번호이지, x가 변하면 반드시 함께 변해야 한다는 뜻을 가진 기호는 아닙니다. 분할을 생각하는 동안에는 먼저 위끝 x를 고정합니다.

3. 원시함수나 closed form은 어디에 관계되나요?

말씀하신

F(x) = G(x)−G(a)

는 원시함수 G를 이용하여 이미 정의된 정적분을 계산하는 공식입니다. 적분변수의 이름을 바꾸어도 된다는 사실을 정당화하기 위해 필요한 공식은 아닙니다.

여기서는 다음 두 가지를 구별하면 됩니다.

‘F(x)를 정적분으로 정의할 수 있는가?’에는 리만적분 가능성이 쓰입니다.

‘그렇게 정의한 F가 F′=f를 만족하는가?’에는 미적분학의 기본정리가 관계됩니다. 예를 들어 f가 연속이면 구간 내부에서 F′(x)=f(x)가 성립합니다.

또한 원시함수가 존재하는 것과, 그것을 익숙한 함수들을 이용한 closed form으로 표현할 수 있는 것은 별개의 문제입니다. f가 연속이면 정적분으로 정의한 F 자체가 원시함수가 되므로, 별도의 계산식을 구하지 못했다고 해서 원시함수가 없는 것은 아닙니다. 반대로 f가 불연속이라는 사실만으로 원시함수가 없다고 단정할 수도 없습니다.

정리하면, 이번 의문은 연속함수와 불연속함수를 나누어 해결할 문제가 아니라, 적분구간을 정하는 바깥 변수와 적분 안에서 사용하는 변수를 구별하면 해결되는 문제입니다.

적분변수의 이름은 바꿀 수 있지만, 그것이 두 변수의 값을 같게 놓는다는 뜻은 아닙니다. 따라서 이 경우에는 위끝을 x, 적분변수를 t로 구별해 쓰는 것이 질문하신 혼동을 가장 분명하게 막아 줍니다.