<p>안녕하세요. 클라리아입니다.</p><p><b>1. 부채꼴의 중심각이 90°가 아니어도 θ를 그렇게 잡나요?</b></p><p>네. 꼭짓점을 O라고 하면, 그림의 θ는 <b>∠PQO, 즉 Q에서 QP와 QO가 이루는 각</b>입니다. 부채꼴의 중심각인 <b>∠POQ와는 다른 각</b>입니다.</p><p>전개도에서 선분 PQ는 펼쳐진 측지선이고, QO는 모선 방향입니다. 따라서 θ는 <b>곡률을 구하는 점 Q에서 측지선의 접선 방향과 모선 방향이 이루는 각</b>입니다.</p><p>원뿔을 펼치는 사상은 꼭짓점을 제외한 작은 근방에서 길이와 각을 보존하므로, 전개도에서 읽은 이 각은 원뿔 위에서 두 방향이 이루는 각과 같습니다.</p><p>이제 Q에서 모선 방향과 위선 방향을 생각해 보세요. 전개도에서 모선 방향은 QO 방향이고, 위선 방향은 <b>O를 중심으로 Q를 지나는 원의 접선 방향</b>입니다. 따라서 두 방향은 서로 수직입니다.</p><p><b>이 직교성은 부채꼴의 중심각이 90°이기 때문이 아니라, 원의 반지름과 접선이 수직이기 때문입니다.</b></p><p>원뿔에서는 이 두 방향이 주방향입니다. 모선 방향의 주곡률을 k₁, 위선 방향의 주곡률을 k₂라고 놓으면, θ를 모선 방향에서 재었으므로 오일러 공식은</p><p>kₙ = k₁ cos²θ + k₂ sin²θ</p><p>가 됩니다.</p><p>cos²θ와 sin²θ가 붙는 이유는 <b>측지선의 단위접벡터를 서로 수직인 두 단위 주방향으로 분해했을 때, 각 성분의 제곱이 각각 cos²θ와 sin²θ이기 때문</b>입니다. 그림의 QO가 첫 번째 주방향의 기준이 되는 것입니다.</p><p>따라서 <b>중심각이 90°가 아니어도 θ=∠PQO로 잡아 같은 공식을 적용할 수 있습니다.</b> 다만 삼각형의 모양이 달라지므로 θ의 값과 삼각비를 구하는 계산은 달라집니다.</p><p><b>2. 일반적으로 경선이 k₁, 위선이 k₂인가요?</b></p><p><b>그렇게 고정된 것은 아닙니다.</b> k₁과 k₂는 두 주곡률에 붙인 이름입니다. 문제나 교재에서 정한 순서가 있다면 그 약속을 따르면 됩니다.</p><p>이번에는 θ=∠PQO가 <b>모선, 즉 경선 방향을 기준으로 잰 각</b>이므로, 경선 방향의 주곡률을 k₁이라고 놓았을 때</p><p>kₙ = k₁ cos²θ + k₂ sin²θ</p><p>로 쓰는 것입니다.</p><p>반대로 위선 방향의 주곡률을 k₁, 경선 방향의 주곡률을 k₂라고 이름 붙였다면, <b>그림의 θ는 그대로 두고</b></p><p>kₙ = k₂ cos²θ + k₁ sin²θ</p><p>로 써야 합니다.</p><p>결국 <b>“경선은 무조건 k₁”이 아니라, “θ를 재는 기준이 된 주방향의 주곡률에 cos²θ가 붙는다”</b>고 이해하시면 됩니다. 이번 그림에서는 그 기준 방향이 QO입니다.</p>
<!-- -->
첫댓글 감사합니다^^