let G be an abelian group and let H and K be finite cyclic subgroups
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with |H| = r and |K| = s.
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a. show that if r and s are relatively prime,
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then G contains a cyclic subgroup of order rs.
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b. Generalizing part (a), show that G contains a cyclic subgroup
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of order the least common multiple of r and s.
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a는 증명했는데요.
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b가 잘 안되네요. a번 이용하려면 r,s가 서로소이게 잡아야되는데
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어떻게 잡아야죠.
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부탁드립니다.
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x│r, y│s, (x,y)=1, xy=rs 인 xy를 잡으면 됩니다. 예를 들어 r = 2^3 · 3^2 · 5 · 7^2 이고, s = 2^2 · 3^3 · 11 · 19^2 라면 x = 2^3 · 5 · 7^2, y = 3^3 · 11 · 19^2 로 하면 되지요. gcd의 factor가 되는 소수를 찾아서 높은 지수를 한 쪽으로 몰아주면 되지요.
음....a번은 H X K ->C_1 X C_2 (C_1,C_2 is cyclic group ) if orders of two are relativisic prime C_1 X C_2 is cyclic . and if x is ele of H and y is ele of K , xy is ele of G thus subgroup , has isomorphism with C_1 X C_2, is existed.
첫댓글 최소공배수가 rs를 나누는데, rs개 원소를 가진 그룹이 싸이클릭이니까, 최소공배수를 갯수로 하는 부분집합이 항상 있지요..
x│r, y│s, (x,y)=1, xy=rs 인 xy를 잡으면 됩니다. 예를 들어 r = 2^3 · 3^2 · 5 · 7^2 이고, s = 2^2 · 3^3 · 11 · 19^2 라면 x = 2^3 · 5 · 7^2, y = 3^3 · 11 · 19^2 로 하면 되지요. gcd의 factor가 되는 소수를 찾아서 높은 지수를 한 쪽으로 몰아주면 되지요.
이런, 제 답글은 헛소리군요. 자꾸 왜 이러지...;;;
x│r, y│s, (x,y)=1, xy=rs 인 xy인 x,y를 찾은 다음에 위수가 rs인 순환부분군이 있다는 건 어떻게 보이나요? 위수가 x, y에 대응되는 H, K가 있나요?
x│r 이니까 H에 위수 x인 cyclic subgroup 이 있죠. 마찬가지로 y│s 이니까 K에 위수 y인 cyclic subgroup이 있구요. 이제 part a)를 이용하면 됩니다.
음....a번은 H X K ->C_1 X C_2 (C_1,C_2 is cyclic group ) if orders of two are relativisic prime C_1 X C_2 is cyclic . and if x is ele of H and y is ele of K , xy is ele of G thus subgroup , has isomorphism with C_1 X C_2, is existed.
b 역시 마찬가지로 잡으면 이번엔 order 가 lcm으로 나옴
감사해요