광자와 양자

[유토피아]

"神은 주사위 놀음을 하지 않는다"라고 아인슈타인은 말했다.

보려고 하면 보이지만, 보려는 의사가 없을 땐 없는 것처럼 이상 야릇한 것이 양자이다.

그러므로 動物과 神사이에 存在하는 인간의 靈性作用일지도 모른다. 

양자 [quantum, 量子]

  물리학에서 에너지·전하·각운동량을 비롯한 물리적 성질을 나타내는 불연속적인 최소단위의 물리량.

빛은 어느 면으로든 연속적인 전자기파이지만 아주 미시적인 관점에서 보면 양자라 부르는 불연속적인 양으로 흡수되거나 방출된다.

같은 파장의 빛에서 흡수되거나 방출되는 양자들의 에너지와 운동량은 서로 같다.

이렇게 입자성(粒子性)을 띠는 빛 덩이를 광자 (光子)라고 하며

 X선과 감마선같이 다른 전자기파 에너지로 이루어진 양자도 광자라고 한다.

  결정 속에 층층이 놓인 원자들의 극히 미세한 역학적 진동도 똑같이 포논 이라 부르는 양자 형태로

에너지와 운동량을 주고받는다.

  양자역학의 영역인 아주 미시적인 세계에서 일어나는 모든 현상은 양자화되어 있다.

즉 가관측량(可觀測量)이 불연속적인 어떤 값들로만 주어진다.

  그 값들이 일정한 최소량의 배수로 나타날 때

그 최소량을 그 가관측량의 양자라 부른다.

플랑크 상수 h는 작용(action)의 양자이고

h/2π는 각운동량, 즉 스핀(spin)의 양자이다.

광자 [photon, 光子]

('빛'이라는 뜻의 그리스어 phōs 또는 phōtos에서 유래)

광양자(光量子 light quantum)라고도 함.

전자기복사(電磁氣輻射)를 구성하는 작은 에너지 다발.

  광자의 개념은 1905년 아인슈타인이 광전효과(光電效果)를 설명하기 위해 도입했는데,

그는 빛이 전파되는 동안 불연속적인 에너지 다발이 존재한다고 제안했다.

이보다 먼저 1900년 독일의 물리학자 막스 플랑크는

열복사를 별개의 단위, 즉 양자(量子)들의 방출과 흡수 형태라고 설명하면서

에너지 양자 개념의 길을 열었다.

  1923년 미국 물리학자 콤프턴이 X선의 입자성(粒子性)을 밝힌 뒤 이 개념이 널리 사용되었으나,

'광자'라는 용어는 1926년에 와서야 사용되었다.

광자 에너지는 복사진동수에 의해 결정되는데,

광자는 많은 에너지를 가진 감마선과 X선부터 가시광선을 거쳐 적은 에너지를 가진 적외선과

라디오파(波)에 이르기까지 모든 에너지 상태에 걸쳐 존재한다.

모든 광자는 광속(光速)으로 움직인다.

원자구성입자 범주에서 생각할 때 광자는 전하(電荷)와 정지질량을 갖지 않고

스핀이 1이라는 점에서 보손(boson)이며,

장입자(場粒子)로서 전자기장의 운반자로 취급된다.

보손 [boson]

  기본적인 물리적 힘을 전달하는 것으로 생각되는 원자구성입자

  이러한 힘은 이론적으로 전달장(傳達場 carrier field)에 의해 한 입자에서 다른 입자로 전달되는데,

이 전달장은 해당 보손에 의해 구체화된다.

 주요 보손으로는 중력자(重力子), 광자(光子), 글루온(gluon),

중간벡터보손 또는 약자(弱子：W와 Z 입자) 등이 있다.

두 질량 사이의 장거리 상호작용인 중력은 중력자를 서로 교환함으로써 전달되고,

전자기력은 광자

마찬가지로 글루온은 원자핵을 이루는 양성자나 중성자 같은 입자의 근본성분들인 쿼크

중간 벡터 보손은

방사성동위원소에서 베타 붕괴와 같은 입자들의 변환을 매개하는 힘인 약한 핵력을 전달한다.

보손은 정수 스핀(즉 양자역학에의 단위로 각운동량이 각각 0, 1, 2,……)을 가지며

보스-아인슈타인 통계

이러한 모든 장입자(場粒子)들은 양성자 질량의 80~90배에 이르는 매우 큰 질량을 가지는 중간 벡터 보손을 빼놓고는 모두 질량이 없다.

광전효과 [photoelectric effect, 光電效果]

  어떤 물질이 복사 에너지를 흡수했을 때 그 물질로부터 하전입자가 방출되는 현상.

  광전효과는 보통 금속 표면에 빛을 쪼였을 때

금속 표면에서 전자

  넓은 의미로는

복사 에너지가 가시광선·자외선·X선·감마선 영역이고 물질이 고체·액체·기체이며,

방출된 입자가 전자나 이온(대전된 원자 혹은 분자)인 경우도 포함된다.(계면, 전자기복사, 복사

  광전효과는 1887년 독일의 물리학자 하인리히 루돌프 헤르츠

그는 자외선을 쪼임으로써

주어진 금속전극들 사이에서 방전현상이 일어날 수 있는 최저전압을 변화시킬 수 있다는 것을 관찰했다.

19세기 말엽, 음극선(희박한 기체상태에서 전기방전에 의해 생성됨)은

전기적으로 각각 음의 전하를 갖고, 전자라고 하는 불연속적인 입자들로 이루어졌다는 것이 입증되었다.

  `1900년 독일의 물리학자 필리프 에드바르트 안톤 레나르트는

금속 표면에 빛을 쪼였을 때 금속에서 나오는 전하를 연구한 결과,

그 전하들이 음극선에서 관찰된 전자들과 동일한 것이라는 결론을 내렸다.

더 나아가서 금속에서 자유로워진 전자가 흘러 발생시키는 전류

(빛에 의해 발생하므로 광전류라는 이름이 붙었음)는

일정한 파장의 빛을 쪼일 경우 빛의 세기에 비례한다는 것도 발견했다.

1902년에는 광전효과로 발생하는 전자의 최대 운동에너지는

빛의 세기에는 무관하고 진동수에 의존한다는 사실이 입증되었다.

  광전효과로 방출되는 전자의 수는 쪼인 빛의 세기에 비례하고

빛의 진동수나 파장은 전자의 최대 운동에너지를 결정한다는 관찰은

고전물리학으로 설명할 수 없었던 빛과 물질 사이의 상호작용이 있음을 시사했다.

  이러한 사실에 대한 설명을 탐구하는 과정에서

1905년 알베르트 아인슈타인은

그동안 파동으로만 생각했던 빛이

에너지 양자라는 불연속적인 입자들(지금은 광자라고 부름)로 구성되어 있다는

기본이론을 제시했다.

  아인슈타인은

광전효과를 설명하면서 광자는 물질을 투과할 수 있으며,

이 과정에서 원자와 충돌할 것이라고 가정했다.

  모든 원자는 전자를 가지고 있어

충돌할 때 광자의 에너지에 의해 원자로부터 전자가 빠른 속도로 방출되며,

이 전자는 물질 내부의 원자 사이를 움직여

원자와 충돌할 때마다 자신의 운동에너지를 잃게 된다.

  또 전자가 물질의 표면에 도달하면,

전자는 표면 원자들의 인력을 극복하고 벗어나는 과정에서 더 많은 운동에너지를 잃는다.

이렇게 손실된 운동에너지를 일함수(work function)라고 하며,

오메가(ω)로 표시한다.

아인슈타인의 설명에 따르면,

개개의 광자는 플랑크 상수(h)와 빛의 진동수(그리스 문자로 ν)와의 곱에 해당하는

에너지로 이루어져 있다.

  따라서 그는 광전효과에 관한 이론에서

물질에서 방출되는 전자가 갖는 최대 운동에너지는

쪼인 빛의 진동수와 플랑크 상수의 곱에서 일함수를 뺀 값과 같다고 가정했다.

  결과적으로 광전효과에 대한 아인슈타인의 방정식은

Ε_k=h_ν－ω로 표현된다.

여기서 Ε_k는 전자의 최대 운동에너지이고,

h는 플랑크 상수(나중에 플랑크 상수와 수치가 같다는 것이 밝혀짐),

ν는 쪼인 빛의 진동수,

ω는 일함수를 나타낸다(전자 일함수)

  방출된 전자의 운동에너지는

전기장 안에서 방출된 전자의 속도를 0으로 만드는 데 필요한 전위차(V로 표시됨)를 측정함으로써

얻을 수 있는데,

이 에너지는 전위차와 전자가 가지는 전하량(항상 상수값이며 e로 표시됨)의 곱으로 나타난다.

즉 E_k=eV이다.

  아인슈타인의 관계식은

그동안 많은 과학자들에 의해 검토되어

원리적으로는 옳지만 현상의 기술에는 완전하지 못한 것으로 밝혀졌다.

특히 그 관계식은

방출된 전자의 에너지가 물질의 온도

  그후 1931년 영국의 수학자 랄프 하워드 파울러는

이 결점을 보완하여 새로운 관계식을 만들었다.

그는 일함수보다 큰 에너지를 갖는 전자들은 모두 방출된다는 가정 아래

광전류와 온도의 관계를 입증했다.

즉 광전류는

온도의 제곱과 입사되는 광자가 가진 에너지함수에 비례하는데,

방정식은 I=aAT²φ (χ)로 표현된다.

여기서 Ι는 광전류,

α와 A는 상수,

φ(χ)는 수치가 도표화된 지수급수이고,

차원이 없는 값인 χ는 방출된 전자의 운동에너지를 온도와 운동이론의 볼츠만 상수의 곱으로 나눈 값이고, χ=(hν－ω)/kT로 표현된다.

여기서 x는 지수급수의 변수,

 h는 플랑크 상수,

ν는 쪼인 빛의 진동수,

 ω는 물질의 일함수,

k는 볼츠만 상수,

그리고 T는 온도이다.

  처음 광방출에 대한 연구 중 대부분은

전기전도율이 좋은 고체금속의 방출특성에 집중되었다.

그러나 점차 부피와 표면불순물 효과를 인식하면서 부도체인 절연체와 정해진 조건에서만 전기가 전도되는 반도체

절연체와 반도체에서 전자의 에너지 분포는 금속의 경우와 다르다.

즉 일함수가 같더라도 입사광자가 가지는 에너지와

광전자산출량(입사되는 각각의 복사양자에서 방출되는 전자의 수)의 비는

물질에 따라 다를 수 있다(양자 수득률).

  반도체에서의 광전효과는 양자역학으로만 설명된다.

고체는 조그마한 결정들로 이루어졌다고 볼 수 있다.

또 이 결정들은 격자구조라고 하는 3차원의 규칙적인 원자배열을 갖고 있다.

  원자에 구속되어 있거나 혹은 자유상태로 있거나 관계없이

격자 안의 모든 전자들은 에너지상태

여기서 에너지상태들은 결정의 격자구조에 영향을 받는다.

전자들은 열이나 전자기 에너지를 흡수해서 더 높은 에너지 상태로 옮겨갈 수 있다.

  양자역학 법칙에 따르면

불연속적이며 특정한 에너지 상태만이 존재하며,

이들은 에너지대(energy band)에 모여 있다.

이 에너지대 사이에는 금지대(forbidden band)라는 영역이 존재한다.

결정이 절대온도 0℃의 상태에 있을 때 전자가 채워지는 가장 높은 에너지대를

가전자대(valence band)라고 한다.

만약 이 가전자대가 채워지지 않은 상태를 포함하고 있다면

이 영역을 전도대(conduction band)라고 하며, 이때 결정은 금속이 된다.

만약 모든 상태들이 채워져 있다면

이 결정은 전자들이 가전자대로부터 다음의 채워지지 않은 영역으로 옮겨가 전도대로 될 수 있는가의 여부에 따라 절연체

  반도체의 경우 빛의 형태로 에너지를 주어

원자가전자를 전도대로 올려놓을 수 있다.

또 금지대의 간격에서 에너지 준위(準位)를 갖는 불순물 원자라고 하는 원자들이

반도체에 전자를 공급할 수 있다.

절연체의 경우 금지대의 간격이 너무 커서 전자들이 쉽게 옮겨갈 수 없다(결정격자, 전이

전자 일함수 [electronic work function]

  전자 1개를 금속 표면에서 완전히 떼어 내는 데 드는 에너지 또는 일.

  이 에너지는

특정 금속이 얼마나 강하게 전자를 잡고 있는가,

즉 전자가 완전히 자유로울 때보다 그 금속 내에 있을 때 전자의 에너지가 얼마나 낮은가에 대한 척도이다.

  일함수는 광전지와 진공관에서와 같이

금속에서 전자의 방출을 이용하는 응용분야에서 기술적으로 중요하다.

  특정한 물질의 일함수는

전자의 방출과정에 따라 약간씩 변화한다.

예를 들면

가열된 백금 필라멘트에서 전자 1개를 떼어내는 데 드는 에너지(열전자 일함수)는

빛에 의한 충돌에 의해 전자를 떼어내는 데 드는 에너지(광전 일함수)와 약간 다르다.

금속에서 일반적인 값의 범위는 1~6eV이다.

서로 다른 일함수를 갖는 금속들을 접촉시키면 전자들은 작은 일함수를 갖는 금속

(전자들이 덜 강하게 속박되어 있음)을 떠나 더 큰 일함수를 갖는 금속으로 간다.

이 효과는 전기회로에서 서로 다른 금속들을 연결할 때 항상 고려해야 한다.

물질 내에서 어떤 전자들은 다른 전자들보다 강하게 속박되어 있으므로

일함수의 정확한 정의에는 어느 전자를 가리키는지 명시해야 한다.

대개는 가장 덜 속박된 전자를 가리킨다.

절연체 [insulator, 絶緣體]

  전류 또는 열

  전기적 절연체를 보통 부도체 물질로 생각할 수 있지만,

그것보다는 전도도가 나쁜 물체 혹은 전류에 대한 강한 저항을 갖고 있는 물체로 표현하는 것이

타당할 것이다.

다른 절연성과 전도성 물체들이 비저항(比抵抗)이라는 물질상수로 서로 비교한다.

  전기 절연체는 전기도체들을 자기위치에 고수시켜 서로를 떨어뜨리고 주위의 환경과도 분리시킨다.

절연체는 전기회로에 있어 에너지화된 부분 사이에 장벽을 형성하고

전기의 흐름을 도선이나 원하는 다른 통로에 국한시킨다.

전기회로에 있어 절연은

전기 혹은 전자 기구의 작용을 원활히 수행하기 위하여 반드시 필요한 사항이다.

여러 가지 형태의 물질들이 전기 절연체로 이용되고 있으며

그 선택은 각 응용에 있어 특정한 요구사항의 기초하에서 행하게 된다.

가정과 공장의 배선재료로 이용되는 구리 도선은

고무나 플라스틱 등으로 각각 혹은 건물로부터 절연되어 있다.

머리 위를 지나는 전력선은

옥외 노출에 의해 큰 영향을 받지 않는 자기절연체(磁器絶緣體) 위에 지지되고 있다.

또한 고온·고전압으로 작용되는 대규모의 발전기나 전동기는 종종 운모(雲母)를 절연체로 이용한다.

어떤 경우에 있어서는

고체 절연이 액체나 기체절연과 같이 사용되기도 한다.

예를 들어 고전압의 변압기

또한 집적회로

  열 절연체에는 유리섬유·코르크, 그리고 암면(岩綿), 광물면(鑛物綿) 등이 있다.

광물면이란

용융된 규산염 암석이나 석회석 혹은 암재(岩滓) 사이로 아주 빠른 속도의 증기를 불어서 만든다.

이런 물질과 다른 낮은 열전도율을 갖는 물질들은 열유량을 저하시키는 작용을 한다.

그 물체들은 복사열(輻射熱)에 대한 불투과성(不透過性)과

많은 공기구멍의 간섭으로 인해 열흐름을 방해하게 된다.

어떤 물체의 열전도율은 일정하지 않으며 온도에 따라 변화한다.

대부분의 금속과 다른 결정질체에서 전도율은 온도가 올라감에 따라 감소하지만

유리와 같은 비정질체에서는 온도에 따라 증가한다.

반도체 [semiconductor]

  전기전도도가 도체와 절연체의 중간 정도인 결정형 고체들.

  이러한 물질들을 화학적으로 처리함으로써

전류를 흐르게 할 수도 있고

전류의 흐름을 조절할 수도 있기 때문에

다이오드 ·트랜지스터 ·집적회로

반도체

그림1. 절연체·반도체·도체의 전형적인 전도도의 범위

p-n 접합

그림1. p-n 접합의 기본구조

MOS트랜지스터

그림11. 고집적화의 진전과 한계를 나타내는 n-채널 MOS트랜지스터의 제작공정

매개벡터보손 [intermediate vector boson]

  통일된 형태의 전자기력과 약력에 관계되어 있는 보손의 유형.

보스-아인슈타인 통계 [Bose-Einstein statistics]

  구별할 수 없는 입자들의 집단이 가능한 불연속적인 에너지 상태

  보스-아인슈타인 통계를 따르는 입자들은

동일한 하나의 에너지 상태를 차지할 수 있는 특성을 가지기 때문에,

레이저광의 응집된 흐름과 초유체(超流體) 상태, 헬륨의 마찰 없는 유동(流動) 등의 현상이 일어난다.

이러한 입자의 거동에 대한 이론은 사티엔드라 나드 보스와

알베르트 아인슈타인

그들은 동일하고 구별할 수 없는 입자들이 이런 방식으로 분포한다고 생각했다.

페르미-디랙 통계 와는 대조적으로

보스-아인슈타인 통계는

동일한 상태를 단독으로 차지하도록 제한하지 않는 입자들

(즉 '파울리의 배타원리

그러한 입자들은 그들의 거동을 정확히 기술하는 통계의 이름을 따 보손

파울리의 배타원리 [Pauli exclusion principle]

  오스트리아의 물리학자 볼프강 파울리가

원자에서 방출되는 빛의 유형을 설명하기 위해 제안한 것으로

동일한 원자 내에 있는 2개의 전자가 동일한 순간에는 동일한 상태에 있을 수 없다고 한 주장.

이후에 배타원리는 전자를 포함하는 모든 종류의 입자에 대해서 일반화되었다.

  원자구성입자는 이들의 통계적인 거동에 따라서 2가지 종류로 나누어지는데

파울리의 배타원리가 적용되는 입자는 페르미온

  전자에 대해서 원자, 원자 내의 양성자나 중성자에 대해서 핵과 같이 밀폐된 계에서

페르미온

배타원리를 충족하는 입자는 특정의 스핀, 즉 고유의 각 운동량 값을 갖는데

페르미온의 스핀은 항상 1/2의 홀수배이다.

원자에 대한 현대적 관점에 의하면 밀도가 높은 원자핵의 주위에 있는 공간은

각각 2개의 서로 다른 상태를 가질 수 있는 궤도함수로 이루어져 있는 것으로 생각된다.

파울리의 배타원리는 만일 이 상태 중의 하나가 스핀 1/2의 전자로 점유되면

다른 것은 반대의 스핀, 즉 스핀 ―1/2의 전자로 채워져야 함을 의미한다.

반대의 스핀을 갖는 1쌍의 전자가 있는 궤도함수는 완전히 채워져 있어

어느 하나가 궤도함수를 빠져나가지 않으면 더이상의 전자가 들어올 수 없다.

원자 내의 전자에 적용이 되는 배타원리에 대한 다른 표현은

2개의 전자가 4개의 양자수를 모두 동일하게 가질 수 없다는 것이다.

 

포논 [phonon]

음향 양자라고도 함.

고체물리에서 격자진동의 에너지 양자.

  빛의 양자인 광자와 비슷하게 포논도 입자의 성질을 갖는 파속(波束)으로 볼 수 있다. 그 행동 특성에 따라 고체의 다양한 성질이 결정된다. 포논의 개념은 절연체의 열전도율에 관한 이론에 특히 유용하다. 이온 결정이 금속보다 더 좋은 열절연체라는 것은 이미 알려진 사실이다. 그런 결정에는 이른바 비조화력(anharmonic forces)이 존재해 포논들끼리 서로 상호작용을 하도록 한다. 이 상호작용에 의해 포논은 다시 열 에너지를 결정 전체에 전달할 수 있다. 따라서 고체에서의 온도 변화는 완만히 일어나게 된다. 또한 포논은 어떤 금속에서의 초전도 현상을 이해하는 데 기초가 된다. 대부분의 금속에서 포논은 불순물과 함께 전자를 산란시킨다. 그러나 어떤 조건하에서는 포논과 전자 사이의 상호작용이 이와는 아주 다른 효과를 내서 전자들 사이의 상호작용을 일으킨다. 이러한 작용에 의해 페르미 준위 의 온도에서는 이 효과가 상당히 커서 전자들이 긴밀한 집단을 이루어 물질내부를 이동하게 된다. 따라서 전류가 형성된 후 포논은 단순히 개개의 전자를 산란시키기보다는 짝을 이룬 전자 전체 집단의 운동을 변화시키는 작용을 한다. 비교적 약하고 열에 의해 여기(勵起)된 포논은 이런 작용을 할 수 없기 때문에 짝을 이룬 전자는 흩어지지 않고 격자 사이를 이동한다. 그결과 물질 속에서 형성된 전류는 무한히 계속 흐르고 금속은 저항이 0인 초전도체가 된다.

 

플랑크 상수 [Planck's constant]

  기본적인 물리상수(h).

  빛의 입자성을 포함한 입자와 파동의 거동을 원자 수준에서 서술하는 양자역학의 수학적인 표현에서 특징적으로 나타난다. 이 상수는 1900년 독일의 물리학자인 막스 플랑크가 흑체, 즉 복사 에너지를 완전하게 흡수하는 물체에서 방출되는 복사의 분포에 관한 정확한 표현을 계산하는 과정에서 도입되었다. 플랑크 상수의 중요성은 빛과 같은 복사가 그 주파수와 플랑크 상수에 의해서 결정되는 불연속적인 에너지의 덩어리, 즉 양자(quanta)의 형태로 방출·전달·흡수된다는 것이다. 각 양자(광자)의 에너지 E는 플랑크 상수 h와 그리스 문자 ν(뉴)로 표현되는 주파수의 곱, 즉 E〓hν로 표현된다. (h-bar) 또는 디랙(Dirac) h라고 불리는 플랑크 상수의 변형된 형태가 양자역학의 공식화에서 자주 등장하는데 이는 h를 2π로 나눈 값이다. 플랑크 상수의 차원은 에너지와 시간의 곱으로 작용이라고 불리는 양이다. 따라서 플랑크 상수는 때때로 작용의 기본적인 양자로서 정의된다. 국제 단위계에서 이 값은 6.6260755×10^－34 J·s이다.

플랑크의 복사법칙 [Planck's radiation law]

  1900년 독일의 물리학자인 막스 플랑크가 흑체(도달하는 모든 복사 에너지를 흡수하여 어떤 평형 온도에 도달하여 흡수하는 양만큼의 에너지를 다시 방출하는 가상적인 물체)에서 방출되는 복사 에너지 분포를 설명하기 위해 공식화한 수학적인 관계.

  플랑크는 복사의 근원이 진동상태에 있는 원자이며 각 진동자의 진동 에너지는 일련의 불연속적인 에너지를 가진다고 가정했다.

또한 플랑크는 진동자의 에너지가 E₁상태에서 낮은 에너지 상태 E₂로 변할 때 그 차이에 해당하는 에너지 E₁－E₂가 광자, 즉 복사의 양자로 방출된다고 가정했다.

이 양자의 에너지는 그리스 문자 ν(뉴)로 표현되는 복사의 진동수와 플랑크 상수라고 불리는 h의 곱에 해당한다. 즉 E₁－E₂〓hν이다.

흑체 공동(空洞)의 단위부피에서 파장 λ와 λ＋Δλ(여기서 Δλ는 파장증분을 나타냄) 사이에서 방출되는

에너지 E_λ는

플랑크 상수(h), 광속(c), 볼츠만 상수(k)와 절대 온도(T)로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

  즉 방출되는 복사의 파장은 진동수에 반비례한다.

즉 λ〓c/ν이다.

플랑크 상수는 6.6260755×10^－34 J·s로 밝혀졌다.

수백도에 달하는 흑체에서 복사의 대부분은 전자기파 스펙트럼에서 적외선 영역에 있다.

온도가 증가하면 방출되는 총에너지도 증가하며,

방출되는 스펙트럼의 최대 강도는

단파장영역으로 이동하여 복사의 상당부분이 가시광선으로 방출된다.

<dt>양자역학 </dt><dt>  양자론의 기초를 이루는 물리학이론의 체계이다. </dt><dt>원자, 분자, 소립자 등의 미시적 대상에 적용되는 역학으로 </dt><dt>거시적 현상에 보편적으로 적용되는 고전역학과 상반되는 부분이 많다. </dt><dt>  </dt><dt>  양자역학의 등장으로 물성물리학을 비롯한 다양한 물리학 분야에서 큰 발전이 이루어졌다. </dt><dt>  </dt><dt>

임의의 operator A, B에 대해

[A,B]=AB-BA.

이를 이용하면

[A,B]=-[B,A],

[A,A]=0,

[A+B,C]=[A,C]+[B+C] 

등의 성질이 있음을 즉각적으로 확인할 수 있다.

Jacobi Identity라 해서

[[A,B],C]+[[B,C],A]+[[C,A],B]=0

도 성립하죠. 정의에 따라서 풀어서 전개하면 쉽게 증명된다.

[[A,B],C]+[[B,C],A]+[[C,A],B]

=[A,B]C-C[A,B]+[B,C]A-A[B,C]+[C,A]B-B[C,A]

=(AB-BA)C-C(AB-BA)+(BC-CB)A-A(BC-CB)+(CA-AC)B-B(CA-AC)

=ABC-BAC-ACB+CBA+BCA-CBA-ABC+ACB+CAB-ACB-BCA+BAC

=0

양자역학에서 기본으로 삼는 부분은 위치와 운동량의 불확정을 표현하는 다음 관계식이다.

처음 두식은 자명하고,

세번째 식은 j=k=1 인 경우에 대해 다음과 같이 간단히 증명할 수 있다.

위 관계식이 임의의 함수 f(x)에 대해 성립하므로 [x,p_x]=i h_bar 임이 증명된 것입니다.

j=k=1이 아닌 경우에도 위와 비슷한 방법으로 증명이 가능하다.

위 세가지식이 의미하는 바는

i) x, y, z 세가지는 그 순서를 바꾸어도 된다.(즉, xy=yx, yz=zy, 등 성립)

ii) p_x, p_y, p_z 도 서로 순서를 바꾸어도 된다.(즉, p_x*p_y=p_y*p_x 등 성립

iii) 서로 다른 성분의 coordinate와 mometum의 순서를 바꾸어도 된다.(즉, x*p_y=p_y*x, 등 성립)

iv) 같은 성분의 coordinate와 momentum의 경우는 그 순서를 바꾸려면 ih_bar를 더하거나 빼 주어야 한다.

(즉, x*p_x=p_x*x+i h_bar,p_y*y=y*p_y - i h_bar, 등 성립) 

위 세가지 식을 이용하면(즉, 위에 열거한 4가지 rule) 양자역학에서 사용되는 거의 대부분의 commutation relation을 증명할 수 있다.

님이 든 예의 경우, L_x=y*P_z-z*P_y, L_y=z*P_x-x*P_z 이므로

이 됨을 알 수 있다.

</dt><dt>

비슷한 방법으로

도 증명이 가능하다.

마지막으로

로 증명이 됩니다.

연산자의 순서를 원래대로 유지하고

순서를 바꾸려면 위에 열거한 4가지 rule을 적절히 적용하면 된다.

이렇게 하면 원하는 commutation relation을 얻을 수 있다.

</dt>