Re:미방 입니다. 풀이과정좀 부탁드립니다.^^;

바로 문제의 답을 원하면 가장 아래로 이동하시기 바람. d/dx = D 로 두면 모든 상수계수 2계 비제차 선형 미방은 다음과 같은 꼴로 고쳐집니다. (D - α )(D - β) y =f(x) 실제로 이를 전개해보면 (D - α)( y' - βy) = y" - (α+β)y' +αβy = f(x) 즉 y" + ay' + by = f(x) 라는 것은 (D - α )(D - β) y =f(x) 라는 폼으로 쓸 수 있는데 여기서 a = -(α+β) , b= αβ 이다라는 것. 이는 곳 α, β 가 λ² + a λ + b = 0 의 두 근이다라는 것. 이제 (D - β) y = Y 라는 새로운 함수 Y 를 도입하면 (D - α )(D - β) y =f(x) 는 (D - α ) Y = f(x) , 이건 Y' -αY = f(x) 폼으로 이 방정식의 일반해는 Y = e^(αx)[∫ e^(-αx) f(x) dx +c2 ] 여기서 e^(αx) = y2 ( 지수폼이라는 것에 유의) 으로 두면 간단히 Y = y2[∫ f(x)/y2 dx +c2 ] (D - β) y = Y ==> y' - βy = Y 이었으므로 y = e^(βx) [∫ e^(-βx) Y dx +c1 ] 여기서 e^(βx) = y1 라고 두면 = y1 [ ∫ Y/y1 dx +c1 ] ,여기에 Y = y2[∫ f(x)/y2 dx +c2 ] 를 대입하여 정리하면 y = y1 { ∫ ( y2/y1 ) [[∫ f(x)/y2 dx +c2 ] dx +c1} 이게 최종 결과입니다. < 적분 상수의 취급> 적분할 때 적분 상수를 도입하면 그 적분 상수와 곱해져 있는 폼은 y1 ,y2 의 상수배에 불과하다는 것을 알 수 있게 됩니다. 그래서 위의 최종결과는 다음과 같이 해석하는게 수월합니다. y = C1 y1 + C2 y2 + y1 ∫ ( y2/y1 ) ∫ f(x)/y2 dx dx 여기서 3번째항은 모든 적분 상수 무시!! 이거 가만히 보면 3번째항이 특수해임을 알 수 있습니다. 이제 y" + ay'+ b y =f(x) 가 주어지면 우선 y1,y2 를 구한뒤( 알고보면 y1,y2 는 y" + ay'+ b y = 0 의 해의 기저) 특수해 y1 ∫ ( y2/y1 ) ∫ f(x)/y2 dx dx (적분상수 도입하면 일반해,무시하면 특수해) 를 구하고 일반해는 y 의 일반해 = C1 y1 + C2 y2 + 특수해 이다 라고 할 수 있겠습니다. 만약 중근일 땐? 즉 y1 =y2 이면 약분해서 y = y1∫ ∫ f(x)/y1 dx dx ( 적분상수 도입하여 완전 일반해를 얻는다.y1.y2 는 지수폼임 ) ...................................................................................................... 이건 상수계수라면 n 차 미방까지 확장되어 다음과 같습니다. y^(n) + a_(1) y^(n-1) + ....a_(n-2) y" + a_(n-1) y' + a_(n) y = f(x) 의 일반해 = y1∫ (y2/y1) ∫ (y3/y2) ... ∫ y(n)/y(n-1) ∫ f(x)/y(n) dxdx....dx (n 중 적분) 여기서 yj = e^(α_j * x) 꼴로 α_j 는 λⁿ + a_(1) λ^(n-1) + ..... a_(n-1) λ + a_(n) = 0 의 근. ( 적분할 때 적분 상수 도입하면 완전 일반해, 적분 상수 무시하면 특수해) ................................................................................. 본 문제로 들어가면 y" + y = x²sin(2x) 이걸 그대로 위의 공식을 이용하면 적분이 복잡하게 됩니다. 다음과 같이 시도하지요. y" + y =x² exp(i*2x) 를 구한뒤 허수 부분만 취한다. 왜냐면 e^(i*2x) = cos(2x) + isin(2x) 인데 우리가 노리는 것은 허수텀 밖에 없으니까. 그러면 y1 = e^(-ix) ,y2 =e^(ix) 로 두면 특수해의 허수부분은 e^(-ix) ∫ e^(i*2x) ∫ x² exp(i*x) dx dx 의 허수부분 = = ( -x^2/3 + 26/27 ) sin(2x)- (8/9) x cos(2x) 일반해는 y = c1y1 + c2 y2 + ( -x^2/3 + 26/27 ) sin(2x)- (8/9) x cos(2x) 여기서 이제 c1y1 + c2 y2 는 지수폼이 아닌 C1cos(x) + C2 sin(x) 로 고쳐 표현하면 됩니다. 이렇게 푸는게 단계를 밟아 푸는 방법이나 또다른 방법도 있습니다. 미정계수법이라고 해서 f(x) 의 폼에 따라 적당한 꼴의 특수해를 도입하고 좌변 우변 상수 맞추는 방법이지요. f(x) =x^2 e^(i*2x) 이므로 특수해의 가정으로 (Ax^2 + Bx + C)e^(i*2x) 로 두고 A,B,C 를 구한뒤 허수부분만 취하면 됩니다.