Re:선형대수학과 미적분의 절묘한 조화. Jacobian

앞으로의 논의는 3차원에 대한것이며 자연스럽게 n 차원으로 확장됩니다. 그리고 a,b,c 벡터를 |a > ,|b > ,|c > 로 쓰겠음 즉, |a > = (a1 ,a2, a3 )^T |b > = (b1, b2, b3 )^T |c > = (c1, c2, c3 )^T 그러니까 a,b,c 는 3x1 행렬입니다.T 는 전치를 의미하거든요. a,b,c 가 n 차원으로 확장되면 nx1 행렬이 됩니다. 그리고 내적을 다음과 같이 표기하겠음 a·b = <a|b> < 짚고 넘어가기 > 1) A 가 nxn 행렬일 때, root(det(AA^T))= |det(A^T)|=|det(A)| 2) Gram-Schmidt process 에 대해. |a >,|b >,| c > 는 서로 수직이 아닌데 다음과 같이하면 서로 수직인 벡터 |a > ,|b'>,|c'> 을 얻는다. |a > |b'> = |b> - <a|b>|a>/<a|a> |c'> = |c> - <b'|c>|b'>/<b'|b'> - <a|c>|a>/<a|a> 이게 뭐냐면 서로 수직이 아닌 |a >,|b >,| c > 가 만드는 입방체의 체적은 벡터의 3중적 a·(bxc) 에 의해 구할 수 있는데 Gram-Schmidt process 과정을 거처 만들어진 |a >,|b'>,| c'> 를 이용하면 |a >,|b >,| c > 에 의해 형성된 체적은 다음과 같이 구할 수 있습니다. a·(bxc) = root(<a|a><b'|b'><c'|c'>) 이유인즉 |a >,|b >,| c > 가 만드는 입방체는 약간 뒤틀린 반면 |a >,|b' >,| c' > 가 만드는 입방체는 정육면체이며 정확히 |a >,|b >,| c > 가 만드는 부피와 같습니다. 정육면체의 부피는 각변의 길이를 곱하면 되지요. <a|a> 가 한변의 길이의 제곱이므로 전체부피는 이 내적을 모두 곱하고 루트를 취해야겠지요. 참고로 Gram-Schmidt process 를 도입하는 이유는 나중에 n 차원으로 자연스럽게 확장시키기 위해서입니다. 서로 수직하지 않은 n 개의 n 차원 벡터로 이루어진 체적을 구하기 위해서지요. 3) nxn 행렬의 임의의 한 행에 상수배를 한 뒤 다른 행에 더해도 행렬값은 변함없다. 즉 3x3 행렬 [ |a> ,|b>,|c> ] 와 [ |a> ,|b'>,|c'> ] 는 행렬값이 같다는 겁니다. 이유인즉 |b'> 는 |a> 에 상수배를 하고 |b> 를 더한거고. |c'> 는 |b> 와 |a> 의 적당한 상수배를 |c> 에 더한 결과이기 때문입니다. 나중에 알게 되겠지만 [ |a> ,|b>,|c> ]^T 를 자코비안 행렬로 쓸것입니다. 이제 본격적으로 설명하겠습니다. 쉽게 3차원의 경우를 생각하세요. ............................................................ 어떤 물체의 부피를 구하고자하면 그 부피를 아주 미세한 덩어리로 잘게 나누어 그 미세한 덩어리를 모조리 더하면 됩니다. 그 미세한 덩어리를 dv 로 표기하며 전체부피는 ∫ dv 가 됩니다. 근데 dv 를 어떻게 자를 것인가? 구하고자 하는 물체의 모양에 맞게 적당히 잘라주 면 됩니다. 만약에 정육면체라면 정육면체 미소격자, 즉 dxdydz 를 dv 로 하면 좋습니다. 이거 는 x,y,z 를 기본좌표로 택한겁니다.즉 기본좌표 각각의 방향으로 조금씩,조금씩 이동하여 생기 는 부피를 부피소로 체택한거지요. 반면 구좌표는 r,θ,Φ 를 기본좌표로 택한건데 이 경우 r,θ,Φ 각각의 방향으로 아주조금씩 이동하여 생기는 미소부피를 부피소로 택하면 됩니다. 일반적으로 x=f(x',y',z') ,y=g(x'y'z'),x=h(x'y'z') 로 연결되어 있는 x',y'z' 좌표도 역시 x'y'z' 각각의 방향으로 조금씩 이동하여 생기는 부피를 부피소로 택하면 됩니다. r,θ,Φ 각각의 방향으로 조금씩 이동했을 때의 부피는 다음과 같이 구할 수 있습니다. 시작점 (x,y,z) 에서 r 방향으로 미소하게 움직이면 도착점은 (x+dx,y+dy,z+dz) 이다. 이 도착점과 시작점을 잇는 벡터는 (dx,dy,dz) 이다. 그런데 전미분 공식에 의하면 dx = (∂x/∂r) dr +(∂x/∂θ) dθ+(∂x/∂Φ) dΦ 그런데 현재 θ,Φ 변화가 없는 r 방향으로만 움직였으므로 dx = (∂x/∂r) dr 이다. 마찬가지 이유에서 dy = (∂y/∂r) dr dz =(∂z/∂r) dr 이거를 |r> 로 두면 |r>= dr[(∂x/∂r),(∂y/∂r),(∂z/∂r) ]^T 와 같이 표기된다. 이제 θ,Φ 방향으로도 동일하게 변화시키면 다음의 두개의 벡터가 더 생긴다. |θ> =dθ[(∂x/∂θ),(∂y/∂θ),(∂z/∂θ) ]^T |Φ> =dΦ[(∂x/∂Φ),(∂y/∂Φ),(∂z/∂Φ) ]^T 이 3 개의 벡터 |r>,|θ>,|Φ> 가 이루는 뒤틀어진 입방체의 체적이 미소부피이다. 이 뒤틀린 체적은 Gram-Schmidt process 를 거쳐 만들어진 3개의 직교하는 벡터를 도입하여 정육면체의 체적으로 대체할 수 있다. < 축소벡터 > 각각의 벡터는 dr ,dθ,dΦ 가 곱해졌는데 이것을 제거한 짧아진 벡터 |a> ,|b>,|c> 를 도입하면 |a> ,|b>,|c> 가 만드는 입방체의 체적에 drdθdΦ 만 곱해주면 |r>,|θ>,|Φ> 가 만든는 입방체의 체적과 동일하게 된다. |a> ,|b>,|c> 가 이루는 입방체의 체적은 Gram-Schmidt process 를 거쳐 다음과 같이 구해진다. 체적 = root(<a|a><b'|b'><c'|c'>) 위의 체적에 drdθdΦ 를 곱해주면 dv 가 된다. 고로 root(<a|a><b'|b'><c'|c'>) 는 자코비안과 같을 것임을 암시하는데 진짜 그렇다. <a|a><b'|b'><c'|c'> = (Σ(ai)^2) (Σ(b'i)^2) (Σ(c'i)^2) (시그마는 i =1,2,3 에 대해 더한다.) 대각행렬의 행렬값은 대각성분을 모조기 곱한 것이다. 즉 위의 우변은 3x3 대각행렬 D 의 (1,1) 성분 = (Σ(ai)^2) (2,2) 성분 = (Σ(b'i)^2) (3,3) 성분 = (Σ(c'i)^2) 이다. 그러니까 <a|a><b'|b'><c'|c'> = det(D) 이 대각행렬 D 는 다음과 같이 분해된다. A= [a1 a2 a3 ] [b1' b2' b3'] [c1' c2' c3'] 라 두면 D = A(A^T) 즉 <a|a><b'|b'><c'|c'> = det(D) = det(AA^T) = (det(A))^2 최종적으로 root(<a|a><b'|b'><c'|c'> ) = |det(A)| 를 얻게된다. 즉 축소벡터 |a> ,|b>,|c> 가 이루는 체적이 |det(A)| 라는 소리다. det(A) = |a1 a2 a3 | |b1' b2' b3'| |c1' c2' c3'| 그런데 이건 정확히 다음과 같다. |a1 a2 a3 | |b1 b2 b3 | |c1 c2 c3 | 왜냐면 nxn 행렬의 임의의 한 행에 상수배를 한 뒤 다른 행에 더해도 행렬값은 변함없기 때문이다. 이건 바로 자코비안이라고 정의하는 행렬(J) 의 행렬값이다. 즉 root(<a|a><b'|b'><c'|c'> ) = |det(J)| 가 되고 여기에 drdθdΦ 를 곱한것이 dv 가 된다. dv = |det(J)|drdθdΦ 비록 3차원에 대한 논의였지만 n 차원으로 확장해도 전혀 손색이 없다. 알아둘 것이 dxdydz ≠ |det(J)|drdθdΦ 라는점. 기본적으로 이 둘은 부피소의 기본모양이 다르다. 이렇게 Jacobian을 도입하게 되면 직각좌표계에서 계산하기 어려운 적분을 쉽게 얻을 수 있습니다. 가령 ∫ e^(-x^2) dx 를 -∞ ~ ∞ 를 적분하려면 이 Jacobian을 도입하면 쉽게 계산 되어집니다. A = ∫ e^(-x^2) dx 라 두면 A^2 = [∫ e^(-x^2) dx][ ∫ e^(-y^2) dy] = ∬e^(-x^2-y^2)dxdy 여기서 x= rcosθ ,y=rsinθ 를 도입하면 dxdy 를 det(J)drdθ 로 대체할 수 있어 위의 적분은 쉽게 됩니다. A^2 = ∬e^(-r^2)rdrdθ dxdy = rdrdθ 를 의미하는 것이 아니라 적당한 좌표변환을 하여 dxdy 라는 기본단위로 더하는것을 택하지 않고 rdrdθ 를 기본단위로 하여 더하겠다는 의미가 됩니다. scale factor 라는 것은 이런거지요. 간단히 좌표계가 서로 직각을 이루게 되면 (J^T)J 는 대각행렬이 됩니다. 그 대각행렬의 인자가 scale factor 와 관련되지요. 대표적인 예가 직각좌표계,구좌표계,원기둥 좌표계인데 구좌표계의 경우 전미분 공식에 의해 [dx,dy,dz]^T =J[dr, dθ, dΦ ]^T [dx,dy,dz] = dX [dr, dθ, dΦ ] = dR 로 표기하면 간단히 행렬폼으로 [dX]^T =J[dR]^T |dX|^2 = dX(dX)^T = dR(J^T)(J)(dR)^T 즉 dx^2 +dy^2 +dz^2 =( h1dr)^2 +(h2dθ)^2 +(h3dΦ)^2 으로 나타납니다. 참고로 (J^T)J =G 로 표기하며 metric tensor 라 부릅니다.