[썰렁유머] 제발 강등만은...

[지퍼락크래파스]

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β , cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β의 증명 | 고등수학



삼각함수 공식 sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β 증명

왼쪽 그림에서 sin α = sin(α + β) / { cos β + sin β cos α /sin α }

정리하면 sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β



삼각함수 공식 cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β 증명

오른쪽 그림에서 sin α / cos α = tan α = cos β / { sin β + cos(α + β) /sin α }

정리하면 cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β


sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β, cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β 증명 | 고등수학



삼각함수 공식 sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β 증명

왼쪽 그림에서 h = cos α / cos β 이고

x = h sin(α - β) = (sin α - h sin β ) sin( π/2 - β ) = (sin α - h sin β ) cos β

정리하면 sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β


삼각함수 공식 cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β 증명

오른쪽 그림에서 h = cos α / sin β 이고

x = h cos(α - β) = (sin α + h cos β ) cos α

정리하면 cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β


tan(α - β) = (tan α - tan β ) / (1 + tan α tan β ) 증명 | 고등수학




삼각함수 공식 tan(α - β) = (tan α - tan β ) / (1 + tan α tan β ) 증명





위의 그림에서 BF/BE = AD/DE 이므로



tan(α - β) = DE/BE = AD/BF = (tan α - tan β ) / (1 + tan α tan β )







(3) sinx /x | 고등수학 2004/03/22 18:38

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(1) 삼각함수의 극한

(단 x의 단위는 radian)

＜증명＞



x＞0 일때 오른편 그림에서 △OAB＜(부채꼴 OAB)＜△OAT

곧


∴ sinx＜x＜tanx

각 변을 sinx로 나누면



여기에서 x→0 일 때 cosx→1 이므로


x＜0 일때 x = -Θ로 놓으면



이상을 종합하면








초월함수의 극한



(1) 삼각함수의 극한

(단 x의 단위는 radian)

＜증명＞



x＞0 일때 오른편 그림에서 △OAB＜(부채꼴 OAB)＜△OAT

곧


∴ sinx＜x＜tanx

각 변을 sinx로 나누면



여기에서 x→0 일 때 cosx→1 이므로


x＜0 일때 x = -Θ로 놓으면



이상을 종합하면

(2) 지수·로그함수의 극한







(3) 극한값 e의 정의

(단 e = 2.7182818284...)



tan세타/2 = t 일 때 | 고등수학




문제

tan세타/2 =t 일 때 다음 삼각함수를 t로 나타내어라.

1. tan세타 2. cos세타 3. sin세타


[풀이]



tan θ/2 = t

배각공식을 이용합니다.

1. tan θ = 2tan(θ/2) / {1 - tan^2 (θ/2)} = 2t /(1-t^2)



2. cos θ = cos^2(θ/2) - sin^2(θ/2) = cos^2(θ/2){ 1- tan^2(θ/2)}

= (1 - t^2)/sec^2(θ/2) = (1-t^2)/{1+tan^2(θ/2)} = (1-t^2)/(1+t^2)



3. sin θ = 2sin(θ/2)cos(θ/2) = 2tan(θ/2)cos^2(θ/2)

= 2t/sec^2(θ/2) = 2t/{1+tan^2(θ/2)} = 2t/(1+t^2)




삼각함수 관계 문제들 | 고등수학 2004/04/05 07:20

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secx+1/tanx + tanx/secx+1 = 2cscx

[풀이]

(secx+1)/tanx = (1/cosx + 1)(cosx/sinx) = (1+cosx)/sinx 이므로

(secx+1)/tanx + tanx/(secx+1) = (1+cosx)/sinx + sinx/(1+cosx)

= {(1+cosx)^2 + sin^2 x}/sinx(1+cosx)

= 2/sinx = 2cscx


(sinx+cosx)²/sinxcosx = 2 + secxcscx

[풀이]

(sinx+cosx)²/sinxcosx = (1+2sinxcosx)/sinxcosx = 2 + 1/sinxcosx

= 2 + secxcscx


2sin²2 (x/2) + cosx = 1

[풀이]

반각공식 sin²(x/2) = (1-cosx)/2 에서 얻는다.


(1+secx)/(sinx+tanx) = cscx

[풀이]

(1 + 1/cosx)/(sinx + sinx/cosx) = (1 + 1/cosx)/{sinx(1+ 1/cosx)}

= 1/sinx = cscx


tan^4(x) - sec^4(x) = 1 - 2sec²x

[풀이]

tan^4(x) - sec^4(x) = (tan^2 x - sec^2 x)(tan^2 x + sec^2 x)

= (-1)*(sec^2 x - 1 + sec^2 x)

= 1 - 2sec²x



(1+sinx)/(1-sinx) - (1-sinx)/(1+sinx) = 4tanxsecx

[풀이]

(1+sinx)/(1-sinx) - (1-sinx)/(1+sinx)

= {(1+sinx)^2 - (1-sinx)^2}/(1-sin^2 x)

= 4sinx / cos^2 x = 4tanx secx




cotx/(1-tanx) + tanx/(1-cotx) = 1+tanx+cotx

[풀이]

cotx/(1-tanx) = (cosx/sinx)/(1-sinx/cosx) = cos^2 x /sinx(cosx-sinx)

tanx/(1-cotx) = (sinx/cosx)/(1-cosx/sinx) = sin^2 x /cosx(sinx-cosx)

이므로

cotx/(1-tanx) + tanx/(1-cotx)

= (cos^3 x - sin^3 x)/sinxcosx(cosx-sinx)

= (cos^2 x + cosxsinx + sin^2 x)/sinxcosx

= 1 + cosx/sinx + sinx/cosx

= 1+tanx+cotx






y=sin^3 x 의 n 계 도함수 | 고등수학 2004/04/14 07:33

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일단 배각 공식 http://cafe.naver.com/mathclub/3654



sin 3x = 3sin x - 4 sin^3 x



에 의해



sin^3 x = (1/4)( 3sin x - sin 3x )



로 고친 뒤 하면 좋겠네요.



(sin x)' = cos x, (sin x)" = -sin x, sin^(3) x = - cos x,



sin^(4) x = sin x



등에서 n = 4k, n = 4k+1, n = 4k+2, n = 4k+3



으로 나누어 생각하는 것이 좋습니다.



(1) n = 4k 이면

(sin^3 x)^(4k) = (1/4)( 3sin x - 3^{4k} sin 3x )



(2) n = 4k+1 이면

(sin^3 x)^(4k+1) = (1/4)( 3cos x - 3^{4k+1} cos 3x )



(3) n = 4k+2 이면

(sin^3 x)^(4k+2) = (1/4)( -3sin x + 3^{4k+2} sin 3x )



(4) n = 4k+3 이면

(sin^3 x)^(4k+3) = (1/4)( -3cos x + 3^{4k+3} cos 3x )







sinx-cosx = √2 의 2가지 답 | ★내신iN 클리닉★




[문제]



다음삼각방정식을 풀어라.


sinx-cosx = √2



이문제..삼각함수합성한 다음에 방정식 푸는건데요.
답지해설은 아래와 같습니다.

sinx-cosx = 루트2*sin(x-(∏/4)) 이므로 준 방정식은
sin(x-(∏/4)) = 1
∴x - (∏/4) = 2n∏+(∏/2)
로 해서
답은 : x = 2n∏+(3∏/4) (n은 정수)


☆★제 의문은.
위에 답지해설의 3번째줄에 왜 그거입니까?
∴x - (∏/4) = n∏+(-1)ⁿ*(∏/2)
아니예요? sinx=a일반해 구하는 공식이 특수해를 b라고하면,
x= n∏+(-1)ⁿb 이잖아요.
잘 모르겠어요,꼭 알려주세요





[클리닉]



님의 답, 답지의 답 모두 맞습니다.



사실 sine함수는 한 주기에서 1 을 ∏/2 에서만 갖습니다.



따라서 답지가 맞고, 님의 답은 보통 구하는 방법이죠.



님의 답에서



n = 2m 이면



x - (∏/4) = n∏+(-1)ⁿ*(∏/2) = 2m∏+ (∏/2)



n = 2m+1 이면



x - (∏/4) = (2m+1)∏- (∏/2) = 2m∏+ (∏/2)



이므로 같게 됩니다.



삼각함수의 그래프 | ☞♣♠미적분




역삼각함수의 그래프(큰그림) | ☞♣♠미적분




sin 75˚, cos 75˚, tan 75˚ | 고등수학 2004/04/27 18:10

이메쓰(emath) http://cafe.naver.com/mathclub/4039



sin 에 대한 덧셈정리에서



sin75˚ = sin(45˚ + 30˚) = sin 45˚ cos 30˚ + cos 45˚ sin 30˚



= (1/√2 ) (√3 /2) + (1/√2 ) (1 /2)



= √6 /4 + √2 /4



= (√6 + √2 ) /4 = cos 15˚

-------------------------------------------------------------------------

cos 에 대한 덧셈정리에서



cos75˚ = cos(45˚ + 30˚) = cos 45˚ cos 30˚ - sin 45˚ sin 30˚



= (1/√2 ) (√3 /2) - (1/√2 ) (1 /2)



= √6 /4 - √2 /4



= (√6 - √2 ) /4 = sin 15˚



-------------------------------------------------------------------------

tan 에 대한 덧셈정리에서



tan 75˚ = tan(45˚ + 30˚) = ( tan 45˚ + tan 30˚)/( 1- tan 45˚ tan 30˚)



= (1 + 1/√3 )/ {1 - 1*(1/√3 )}



= (√3 + 1)/(√3 -1)



= (√3 + 1)^2 / 2



= ( 3 + 1 + 2 √3 ) /2



= 2 + √3 = cot 15˚


sin 36˚, cos 36˚, tan 36˚ | 고등수학




sin 36˚ = √(1-cos^2 36˚) = √(10 - 2√5) /4 = cos 54˚

------------------------------------------------------------------------------



cos 36˚ = (1 + √5)/4 = sin 54˚



cos 2 ×36˚ = cos 72˚ = cos (180˚ - 108˚) = - cos 108˚ = -cos 3×36˚



이고 배각공식 http://cafe.naver.com/mathclub/3654 에서



cos 2x = -1 + 2cos^2 x , cos 3x = -3cos x + 4 cos^3 x 이므로 t = cos 36˚ 라 두면



-1+ 2t^2 = -(-3t + 4t^3)



정리하면



4t^3 + 2t^2 - 3t -1 = (t+1)(4t^2 - 2t-1) = 0



에서 근의 공식에 의해 t = (1 + √5)/4

-----------------------------------------------------------------------------



tan 36˚ = √(5 - 2√5) /2 = cot 54˚

[★오렌지]

이래서 사회도 싫다

[↑그건너야!!+ㅁ +↓]

이래서 모든게 싫다

[곰돌있테디♥]

이래서 과학도 싫다

[↑같이하구료]

sinx /x | 고등수학 2004/03/22 18:38 이메쓰(emath) http://cafe.naver.com/mathclub/2634 ☜이부분석연치않소..

[↑왜요?]

잘난척? 별로볼만하지는안소!

[↑뭐라고??~_~]

아..왠 모르는 문자들이????-_-^ 드르륵.......ㅣ;;

[↕저아세요?]

축강등

[-,.-v...]

강등이 되길 바라지?

[-블-렉-엔-젤-]

너무쉽지않아? 이제 상대성 이론을 설명해봐

[↕꽁기꽁기]

헉헉.....머리가...터지려고한다...

[그래그런거야그런거구나그런거였어..]

아~ 삼각함수 본지가 얼마만인가...... 고딩 졸업한 후로 첨이다.. 대학수학에서는 미적분 밖에 안했으니.. 한 6년 만에 보네.. 삼각함수야~ 보고팠당.. 그러고보니 로그랑 벡터도 보고프구나.. ㅠㅠ

[↑바보바보바보바보]

재미없오 , - -

[↑아잉몰라-_-*]

뭐하는 짓이오!!!!!!!!!!!

[↓재미있소?]

놀자는 짓이오!!!!!!!!!!!

[울라숑똥꾸멍이다]

제발 강등되길,,,,,,,,,,,,,,,,

[↑그게나야]

아..지금 이대로 초딩이었음좋겠다..