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제곱하여 a가 되는 수를 a의 제곱근이라 한다.(a≥0)
x가 a의 제곱근 ⇔ x2 = a
근호(√)
a의 제곱근 중 양수인 것 → ( a의 양의 제곱근)
a의 제곱근 중 음수인 것 → ( a의 음의 제곱근)
▶x가 a의 제곱근 ⇔ ⇔
▶양수 a의 제곱근: 2 개 , 0의 제곱근 : 1 개 , 음수의 제곱근 : 없다
제곱근의 기본 성질
제곱근과 절대값
2. 무리수와 실수
무리수
유리수가 아닌 수
예)
무리수를 소수로 나타내면 순환하지 않는 무한소수가 된다.
실수
유리수와 무리수를 통틀어 실수라고 한다.
실수와 수직선
▶유리수의 집합
서로 다른 두 유리수 사이에는 무수히 많은 유리수가 있고, 이 수들은 모두 수직선 위에 나타낼 수 있다.
▶무리수의 집합
서로 다른 두 무리수 사이에는 무수히 많은 무리수가 있고 , 이 수들은 모두 수직선 위에 나타낼 수 있다.
▶실수와 수직선
모든 실수는 수직선 위에 나타낼 수 있고, 수직선 위의 모든 점은 실수로 나타낼 수 있다.(일대일 대응)
실수의 대소 비교
a, b 가 실수일 때
a - b > 0 이면 a > b,
a - b = 0 이면 a = b,
a - b < 0 이면 a < b
3. 근호를 포함한 식의 계산
제곱근의 곱셈과 나눗셈
분모의 유리화
어떤 분수의 분모가 무리수일 때, 분모와 분자에 각각 분모와 같은 무리수를 곱하여 분모를 유리수로 고치는 것
제곱근의 덧셈.뺄셈
제곱근의 분배법칙
4. 제곱근의 근사값
제곱근의 근사값
▶1.00 에서 99.9 까지의 수의 제곱근의 근사값은 제곱근표를 이용한다.
▶제곱근표에 나와 있지 않은 수는 다음처럼 고쳐서 제곱근표를 이용한다.
제곱근표 이용 방법
1. 다항식의 곱셈
다항식의 곱셈
▶전개 - 다항식의 곱을 괄호를 풀어서 단항식의 합의 꼴로 나타내는 것.
▶배분법칙
m(a+b)=ma + mb
▶
전개식에서 계수 구하기
식을 전개하여 어떤 항의 계수를 구할 때는, 식 전체를 전개하지 말고 그 항이 나올 수 있는 부분만을 계산하는 것이 편리하다.
▶(3x-2y)(-6x+y)의 전개식에서 xy의 계수는
이므로 15이다.
2. 곱셈 공식
곱셈 공식
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a+b)(a-b)=a2-b2
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
복잡한 식의 전개 방법
▶공통인 항을 한 문자로 바꿔 놓고 곱셈 공식을 이용하여 전개한다.
▶적당한 항끼리 묶어서 한 문자로 바꿔 놓고 전개한다.
▶공통인 항이 나오도록 적당한 식끼리 짝지어 전개한다.
분모의 유리화
▶
곱셈 공식의 변형
▶ x2 + y2 = (x + y)2 -2xy
▶ x2 + y2 = (x - y)2 +2xy
▶ (x + y)2 = (x - y)2 +4xy
▶ (x - y)2 = (x + y)2 -4xy
3. 인수분해
인수분해의 뜻
▶하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식 및 단항식의 곱의 꼴로 나타내는 것
▶인수 : 인수분해하였을 때, 곱하여진 각각의 다항식, 단항식
(a+b), (c+d), (a+b)(c+d)
공통인수로 묶기
▶공통인수 : 다항식의 각 항에 공통으로 곱해져 있는 인수
ma + mb + mc → m : 공통인수
▶인수분해의 기본 : 먼저 공통인수로 묶어 내어 인수분해한다.
ma + mb + mc = m(a + b + c)
4. 인수분해 공식
인수분해 공식
▶
▶
복잡한 식의 인수분해
▶공통인수가 있을 때에는, 먼저 공통인수로 묶어낸다.
▶적당한 항끼리 짝지어서 공통인수가 생기도록 만든 후 인수분해한다.
▶공통인수가 복잡할 때는 한 문자로 치환하면 편리하다.
▶식의 일부분을 한 문자로 바꾼 후 인수분해한다.
▶문자가 여러 개일 경우에는 차수가 낮은 문자에 관하여 내림차순으로 정리한 후 인수분해 한다.
1. 이차방정식과 그 해
이차방정식의 뜻
▶(x에 관한 이차식) = 0 의 꼴로 정리되는 방정식
( 는 상수, )
이차방정식의 해
▶해(근) : 이차방정식을 참이 되게 하는 x의 값
▶이차방정식의 해를 구하는 것을 이차방정식을 푼다 라고 한다.
2. 이차방정식의 풀이
AB=0 의 성질을 이용한 풀이
▶AB=0 이면 A=0 또는 B=0
▶(x-a)(x-b)=0 이면 x=a 또는 x=b
인수분해를 이용한 풀이
▶주어진 방정식을 (일차식) × (일차식) = 0 의 꼴로 인수분해하여 푼다.
▶중근 : 이차방정식의 두 근이 중복되어 있을 때 이 근을 중근이라 한다.
제곱근을 이용한 풀이
▶
▶
▶
완전제곱식을 이용한 풀이
이차방정식 ( 는 상수, )의 해는 다음과 같이 고쳐서 구할 수 있다.
▶
▶
3. 이차방정식의 근의 공식
근의 공식
▶이차방정식 ( 는 상수, )의 근은
( )
복잡한 이차방정식의 풀이
▶계수가 분수.소수일 때 양변에 적당한 수를 곱하여 정수로 고친 후 푼다.
- 계수가 소수이면 10의 거듭제곱을 곱한다.
- 계수가 분수이면 분모의 최소공배수를 곱한다.
▶괄호가 있을 때 괄호를 풀어 정리한 후 푼다.
▶인수분해를 이용하거나 근의 공식을 이용한다.
4. 이차방정식의 활용
근과 계수의 관계
▶ ( 는 상수, )의 두 근이 일 때
,
▶ 를 두 근으로 하는 이차방정식은
응용문제 푸는 순서
1. 문제를 잘 읽고 구하고자 하는 것, 중요한 조건 등을 파악한다.
2. 구하고자 하는 것을 x로 놓고 방정식을 세운다.
3. 방정식을 푼다.
4. 구한 근 중에서 문제의 뜻에 맞는 것만을 답으로 한다.
연속한 수에 관한 문제
1. 연속한 두 정수 : x , x+1
2. 연속한 세 정수 : x-1, x , x+1
3. 연속한 두 홀수 : 2x-1, 2x+1
4. 연속한 세 홀수(짝수) : x - 2, x, x + 2
5. 차가 3인 두 수는 x, x+3 으로 놓는다.
6. 비가 2 : 3 인 두 수는 2x, 3x 로 놓는다.
1. 이차함수와 그래프
이차함수의 뜻
정의역 X와 공역Y가 수의 집합인 함수 f:X→Y, y=f(x) 에서 y가 x에 관한 이차식
( 는 상수, )으로 나타내어질 때, 이 함수 f를 x에 관한 이차함수라 한다.
y=x2의 그래프
1. 원점을 지난다.
2. y축에 대하여 대칭이다.
3. 아래로 볼록하다.
4. 치역 : {y|y≥0}
y=ax2의 그래프
1. 원점을 꼭지점, y축을 축으로 하는 포물선이다.
2. a>0 일 때 아래로 볼록하고 a<0 일 때 위로 볼록하다.
3. a의 절대값이 클수록 폭이 좁아진다.
4. y= -ax2의 그래프와 x축에 대하여 대칭이다.
2. y=a(x-p)2 +q 의 그래프
y=ax2+q (a≠0)의 그래프
▶y=ax2의 그래프를 y축의 방향으로 q만큼 평행이동시킨 것
▶꼭지점 : (0,q), 축의 식 : x=0 (y축)
▶x축에 대하여 대칭인 그래프 : y= -ax2 - q
y=a(x-p)2 (a≠0)의 그래프
▶y=ax2의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼 평행이동시킨 것
▶꼭지점 : (p,0), 축의 식 : x=p
▶x축에 대하여 대칭인 그래프 : y= -a(x-p)2
y=a(x-p)2 +q (a≠0)의 그래프
▶ y=ax2의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동시킨 것
▶꼭지점 : (p,q), 축의 식 : x=p
▶x축에 대하여 대칭인 그래프 : y= -a(x-p)2 -q
3. y=ax2+bx+c 의 그래프
y=ax2+bx+c (a≠0)의 그래프
▶ y=ax2+bx+c의 그래프는 y=a(x-p)2 +q 의 꼴로 변형하여 그린다.
▶
이차함수의 식 구하기
▶꼭지점 (p,q)가 주어졌을 때
y=a(x-p)2 + q 를 이용
▶x축과의 교점(α,0), (β,0)가 주어졌을 때
y=a(x-α)(x-β) 를 이용
▶세 점이 주어졌을 때
y=ax2+bx+c 에 세 점 대입
y=ax2+bx+c 에서 a,b,c의 부호
▶ a의 부호(모양) : 포물선이 아래로 볼록이면 a>0, 위로 볼록이면 a<0
▶ b의 부호(축) :
축이 y축의 왼쪽에 있으면 b는 a와 같은 부호
축이 y축의 오른쪽에 있으면 b는 a와 다른 부호
▶ c의 부호(y절편) : y절편이 양수이면 c>0, 음수이면 c<0
4. 이차함수의 활용
이차함수의 최대값과 최소값
▶ y=a(x-p)2+q 의 그래프에서
활용 문제에서의 최대.최소
▶ 최대값.최소값을 묻는 활용 문제에서는
1. 문제의 뜻에 맞게 두 변수 x, y를 정한다.
2. x, y 사이의 관계를 식으로 나타낸다.
3. 이 함수의 최대값 또는 최소값을 구한다.
4. 조건에 맞는 답을 찾는다.
5. 이차함수와 이차방정식
그래프에 의한 이차방정식의 풀이
▶ 이차방정식
( 는 상수, ) 의 근은
( 는 상수, ) , y=0(x축)의 교점의 x 좌표이다.
▶ 이차방정식
( 는 상수, )의 근의 개수는
( 는 상수, ) , y=0(x축) 의 교점의 개수와 같다.
1. 대표값
대표값
▶ 자료 전체를 대표하는 중심적인 경향을 하나의 수로 나타낸 값
평균
▶ 대표값 중 가장 많이 쓰이는 값
▶ 대표값에는 평균(Mean), 중앙값(Median), 최빈값(Mode) 등이 있으나 주로 평균이 많이 쓰인다.
도수분포표에서 평균 구하기
가평균을 이용한 평균 구하기
▶ 가평균 : 미리 가정한 대략의 평균
▶ 과부족 = (변량) - (가평균)
▶ (평균) = (가평균) + (과부족 평균) = (가평균) +
도수분포표에서 가평균을 이용한 평균 구하기
2. 산포도
산포도, 분산, 표준편차
▶ 변량들이 흩어져 있는 정도를 하나의 수로 나타낸 값 (예) 분산, 표준편차
▶ (편차) = (변량) - (평균)
편차의 합은 항상 0 이다.
▶
▶
도수분포표에서 분산, 표준편차 구하기
3. 상관도와 상관표
상관도
▶두 변량 x,y 의 값을 좌표평면 위에 점(x,y)로 나타낸 그래프
상관관계
▶양의 상관 관계
두 변량 x,y 사이에 x의 값이 커지면 y의 값도 대체로 커지는 관계
▶음의 상관 관계
두 변량 x,y 사이에 x의 값이 커지면 y의 값이 대체로 작아지는 관계
▶상관관계가 없다
두 변량 x,y 사이에 양의 상관관계도 아니고 음의 상관관계도 아닌 경우
▶상관도에서 상관관계가 강할수록 점들이 한 직선 가까이에 모이는 경향이 있다.
상관표
▶상관표는 두 변량의 도수분포표를 함께 나타낸 표
▶상관표를 만드는 방법
1. 각 자료의 계급의 크기를 정한다.
2. 가로와 세로의 구간을 각각 왼쪽에서 오른쪽으로 , 아래쪽에서 위쪽으로 계급이 커지도록 잡는다.
3. 가로의 계급과 세로의 계급에 동시에 속하는 도수를 써 넣는다.
1. 피타고라스의 정리
피타고라스의 정리
▶직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이의 제곱의 합은 빗변의 길이의 제곱과 같다.
2. 피타고라스의 정리의 역
피타고라스의 정리의 역
▶세 변의 길이 a,b,c 가
a2 = b2 + c2 을 만족하는 삼각형은 빗변의 길이가 a인 직각삼각형이다.
즉, △ABC 에서 a2 =b2 + c2 이면 ∠A = 90°
삼각형의 각의 크기와 변의 길이
▶∠A < 90° ⇔ a2 < b2 + c2 (∠B < 90°,∠C < 90°이면 예각삼각형)
▶∠A = 90° ⇔ a2 = b2 + c2 (직각삼각형)
▶∠A > 90° ⇔ a2 > b2 + c2 (둔각삼각형)
3. 평면도형에의 활용
직사각형의 대각선의 길이
▶직사각형
|
▶ 정사각형
|
정삼각형의 높이와 넓이
▶한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이를 h, 넓이를 S 라 하면
특수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비
▶직각이등변삼각형(45°) |
▶ 두 예각이 30°,60°인 직각삼각형
|
좌표평면 위의 두 점 사이의 거리
▶원점 O 에서 점 P(x, y) 까지의 거리는
▶서로 다른 두 점 P(x1, y1), Q(x2, y2) 사이의 거리는
4. 입체도형에의 활용
직육면체와 정육면체의 대각선의 길이
▶직육면체
▶ 정육면체
정사면체의 높이와 부피
▶한 모서리의 길이가 a인 정사면체의 높이 h 와 부피 V, 겉넓이 S 는
원뿔의 높이와 부피
▶모선의 길이가 a 이고 밑면의 반지름이 r 인 원뿔의 높이 h 와 부피 V 는
입체도형의 최단거리
▶ 입체도형의 겉면 위의 두 점을 잇는 최단거리는 전개도에서 두 점을 잇는 선분의 길이이다.
1. 원의 기본 성질
중심각과 호, 현
한 원 또는 합동인 두 원에서
▶ 크기가 같은 두 중심각에 대한 호의 길이와 현의 길이는 각각 같다.
▶ 길이가 같은 두 호 또는 두 현에 대한 중심각의 크기는 서로 같다.
☞ 호의 길이는 중심각의 크기에 비례한다.
그러나, 현의 길이는 중심각의 크기에 비례하지 않는다.
현의 수직이등분선
▶ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 이 현을 수직이등분한다.
▶ 현의 수직이등분선은 이 원의 중심을 지난다.
현의 길이
▶ 한 원 또는 합동인 두 원에서 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같다.
▶ 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있다.
2. 원의 접선
접선의 길이
▶ 원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름에 수직이다.
▶ 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다.
삼각형의 방심과 수심
▶ 방심
삼각형의 한 내각의 이등분선과 다른 두 외각의 이등분선의 교점은 한 점에서
만난다. 이 점을 삼각형의 방심이라 한다.
- 한 삼각형의 방심은 3개
▶ 수심
삼각형의 세 꼭지점에서 대변에 내린 세 수선의 교점
3. 두 원
두 원의 위치 관계
두 원 O, O' 에 대하여 반지름의 길이를 각각 r, r' (r > r'), 중심거리를 d 라 할 때
공통현과 중심선
▶공통현 : 두 원이 두 점에서 만날 때 두 교점을 이은 선분
▶두 원이 서로 만날 때, 중심선은 공통현을 수직 이등분한다.
공통접선
▶두 원 O, O' 의 반지름의 길이를 각각 r, r' (r > r'), 중심거리를 d 라 할 때
▶두 원의 위치관계와 공통접선의 개수
두 원의 위치 관계 |
공통접선의 개수 |
서로 외부 |
4개 |
외 접 |
3개 |
두 점에서 만날 때 |
2개 |
내 접 |
1개 |
4. 원주각
원주각과 중심각의 크기
▶원주각
원 위의 한 점 P 에서 그은 두 현 PA, PB 가 이루는 각 APB 를 호 AB 에 대한 원주각이라 한다.
▶한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각이 크기의 ½ 이다.
▶한 원에서 같은 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같다.
▶반원에 대한 원주각의 크기는 90°이다.
원주각과 호의 성질
한 원 또는 합동인 두 원에서
▶같은 길이의 호에 대한 원주각의 크기는 같다.
▶같은 크기의 원주각에 대한 호의 길이는 같다.
▶원주각의 크기는 호의 길이와 비례한다.
5. 접선과 현이 이루는 각
접선과 현이 이루는 각의 크기
▶원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다.
▶원의 현과 그 한 끝점을 지나는 직선으로 이루어지는 각의 크기가 이 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같으면 이 직선은 원의 접선이다.
6. 원과 사각형
내접사각형의 성질
▶원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 180°이다.
▶한 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같다.
사각형이 원에 내접할 조건
▶사각형 ABQP 에서 ∠APB = ∠AQB (원주각의 크기가 같을 때)
▶사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°일 때
▶사각형의 한 외각의 크기가 그 내대각의 크기와 같을 때
7. 원과 비례
원에서의 비례 관계
▶한 원의 두현 AB, CD 또는 이들의 연장선이 만나는 점을 P 라고 하면
네 점이 한 원 위에 있을 조건
▶두 선분 AB, CD 또는 그 연장선이 점 P 에서 만나고, 이면 네점 A, B, C, D 는 한 원 위에 있다.
8. 접선과 할선
접선과 할선
▶원의 외부의 한 점 P 에서 그 원에 그은 접선과 할선이 원과 만나는 점을 각각 T, A, B 라 하면
▶점 P 를 한 끝점으로 하는 반직선 위에 두 점 A, B 가 있고 이 반직선 밖에 점 T 가 있어서 가 성립하면 선분 PT는 세 점 A, B, T 를 지나는 원의 접선이다.
원의 할선과 접선의 응용
1. 삼각비의 뜻과 값
삼각비의 정의
▶∠C =90°인 △ABC 에서
▶ ∠A 의 삼각비 : sin A, cos A, tan A
특수각의 삼각비
예각에 대한 삼각비의 값
반지름의 길이가 1인 사분원에서
2. 삼각비 사이의 관계
여각의 삼각비
▶두 각의 합이 90°일 때 두 각을 서로 다른 한 각의 여각이라 함
삼각비 사이의 관계
삼각비 값의 변화
각의 크기가 0°에서 90°까지 변할 때
▶사인의 값은 0 에서 1 까지 증가
▶코사인의 값은 1 에서 0 까지 감소
▶탄젠트의 값은 0 에서 한없이 증가
3. 삼각비의 활용
직각삼각형의 변의 길이
▶∠C =90°인 직각삼각형 ABC 에서
삼각형의 넓이 구하기
▶ ∠A 가 예각일 때 ▶ ∠A 가 둔각일 때 |
|
사각형의 넓이 구하기