수학 수업에 퍼즐 도입

[김동석]

수학수업에 퍼즐 도입

김세식 / 성남풍생고

1.  들어가며

수학 교육 분야에서 놀이나 게임은 수학 학습의 흥미를 유발하는 데 도움이 되는 것으로 여겨져 수학 퀴즈나 퍼즐과 함께 사용되어 왔다. 이는 수학도 재미있는 공부라는 것을 알려 수학에 대한 사고 전환을 꾀하게 하는 일종의 레크리에이션 수학(mathematical recreations)의 일환이라고 볼 수 있다.(최영한, 1998) 따라서, 이 글에서는 그러한 게임, 놀이, 퍼즐과 퀴즈 등의 교육적 활용 가능성을 인정하고, 실제적으로 수업에 활용할 수 있는 내용을 살펴보도록 하겠다. 엄밀하게 말하자면 게임, 놀이, 퍼즐, 퀴즈 등은 서로 구별되어야 마땅하지만, 글의 목적 상 네 가지 모두를 수학적 퍼즐이라 명하고, 앞으로 글을 전개해 감에 있어서 간단히 퍼즐이라 하겠다.

2.  퍼즐도입의 목적 : 「흥미로운 소재 개발, 즐거운 수학수업을 위한 한걸음」

퍼즐 도입의 목적은 교과서에 있는 딱딱하고 추상적인 내용들을 의미 있게 혹은 재미있게 전달함으로써 수학적인 사고력과 창의력을 신장시키는 데 있다. 적절한 격려와 함께 교사의 열정으로, 학생들은 퍼즐을 즐길 수 있으며, 그 이면의 수학도 자연스레 익힐 수 있다.

모든 수학문제는 논리의 기본법칙에 따라 만들어진 연역체계 속에서 추론을 통하여 해결된다. 퍼즐을 푸는데는 형식논리학을 알아야 할 필요는 없지만, 이 문제들을 푸는데 사용되는 추론방법은 수학자나 과학자들이 난해한 문제에 마주쳤을 때 사용하는 추론 방법과 본질적으로 동일하다.

수학과 과학에서 새로이 등장하는 흥미 있고 도전적인 문제들은 그 해법이 분명하지 않은 것들이다. 이러한 문제에 마주치면 오랫동안 깊이 생각을 하지 않을 수 없다. 문제와 관련된 모든 정보들을 기억 속에서 더듬어 보면서 해법을 제공하는 아하! 직관이 떠오르는 순간을 기다려야 한다. 이러한 방법으로 재미있는 논리적 퍼즐들을 풀어보는 것은 다음에 더 어려운 문제들을 풀 수 있게 해주는 좋은 훈련이 될 것이다. -마틴 가드너¹⁾-

수업을 할 때, 무언가 순서가 뒤바뀐 것 같다는 생각이 늘상 지배하며, 그러한 느낌을 떨쳐 버릴 수 있는 방법을 찾기에 골몰한다. 방정식 수업을 예로 든다면 우선은 일차 방정식이 무엇이며, 어떻게 해결하며(알고리즘), 그러한 알고리즘을 가지고 예제를 풀고, 그 다음 응용문제(속도, 거리, 시간, 농도 등)를 푼다. 아마도 대부분의 교과서가 그러한 순서로 내용을 담고 있을 것이다. 학생들에게 수학을 하는 의미, 즉 생각할 기회를 부여하기보다는 풀이방법을 익히기에 골몰한다.(물론 그것을 찾아내기까지의 과정을 무시하는 것이 아니라 풀이법을 알고 난 후의 이야기이다.) 수학교육의 목적을 다시금 상기하게 되는 대목이다. 수학교육의 목적 중 가장 큰 비중을 차지하고 있는 부분이라면 논리적 사고력, 창의성 신장 등을 내세우는데, 이러한 수업방법이나 교과서의 구성이 교육목적을 얼마나 달성했는지는 깊게 생각해봐야 할 문제인 것 같다. 그래도 교육과정은 이미 편성이 되어 있는 것이고 교육목적은 달성해야 하므로 우리는 수업을 해나간다. 조금은 실패하고 조금은 성공하며…

그렇다면 실패를 조금이라도 줄이며, 함께 생각해 보는 수업을 만들 수는 없을까? 라는 생각으로 컴퓨터를 도입해 보았다. 수학이 어려울 수밖에 없는 여러 가지 이유가 있겠지만 수학은 가시적이고 물리적인 대상을 취급하기보다는 그것을 추상화하여 만들어 낸 관념적인 대상을 취급한다는 것을 들 수 있다. 수학을 학습하는 과정은 추상화된 개념을 이해하는 과정이다. 즉, 학생들은 수학 학습의 과정에서 물리적인 세계를 떠나 관념의 세계로 들어가게 된다. 그렇기 때문에 추상화에 익숙하지 않은 학생들에게 수학은 어려울 수밖에 없다.(박교식,수학사랑 18호) 그래서, 추상적인 수학의 언어들을 시각화(Visualization)하는 것은 굉장히 의미 있는 일이라 생각되어, GSP 프로그램을 도입, 실제 수업(도형의 방정식, 유리, 무리, 지수, 로그함수, 삼각함수 등)에 사용하고 있으며, 상당히 긍정적인 효과를 보게 되었다. 그러나, 그러한 수업은 기자재가 구비되어 있을 때에만 가능하다는 제한점을 지니고 있다. (현재 우리 학교에는 1학년 11개반에만 컴퓨터와 대형 모니터가 구비되어 있는 실정이다.)

그러면 그러한 컴퓨터나 학습에 도움을 주는 도구가 없다면, 수학 수업은 항상 칠판을 빽빽이 채우며 하는 문제풀이 식의 강의밖에는 없는가? 재미있게 수업을 하면서 교육목적을 달성할 수는 없는 것일까? 대안은 없는가? 그러한 문제는 교사 개인의 책임만으로 돌릴 수는 없다고 생각한다. 무엇이든지 마찬가지이겠지만 학생들의 관심을 집중시키려면 우선은 흥미와 재미를 유발시켜야 하는데, 현 교과서는 그러한 소재에는 너무 인색하지 않았나 싶다. 그래서 개인적으로 내린 결론은 재미있는 소재를 개발해 보자라는 생각을 갖게 되었고, 여기에 그 동안 수업에 도입해 보았고, 도입해 보진 않았지만 흥미로운 몇 가지 소재를 소개하려고 한다.

3.  퍼즐 도입의 효과

그렇다면 퍼즐은 과연 수학수업에 효과를 보일 수 있는지에 대한 의문이 생길 수 있다. 누구나 퍼즐이 수학적으로 연관이 있으며, 고등수학으로 발전한 경우²⁾도 있다는 것을 알고 있다. 그러나 현재까지 퍼즐이 학생들의 학습에 미치는 효과를 구체적으로 연구한 내용들은 몇 개의 논문을 통하여 알게 되었으나, 직접 수업에 어떻게 적용시킬 수 있는가 하는 구체적인 내용에 대하여 개발한 경우는 있는지 없는지 아직까지 확인하지 못했다. 따라서, 이 글은 내용에 있어 극히 제한적이며, 경험적이라는 것을 미리 밝혀둔다. 그리고 앞으로 전개해 나갈 내용들은 학습전반에 걸쳐 사용되기보다는, 그러한 소재를 다루는 도중 자연스럽게 수학적인 생각으로 옮겨갈 수 있는 그러한 내용을 다루려고 노력했다. 다음 송교식 선생님의 글(수학사랑 17호)로써 퍼즐의 효과에 대한 결론을 짓는다.

지금까지 수학사랑에 퍼즐에 관한 여러 가지를 소개하였다. 그것은 교사로서 어떻게 하면 학생들이 수학을 재미있게 할 수 있을까? 라는 생각에 대한 하나의 대안으로 시작되었다. 지금까지 많은 퍼즐을 알게 되었고 창의력 개발이라는 측면에서 보면 비교적 효과를 얻었다고 생각한다. 여러 선생님들이 이러한 질문을 한다. 퍼즐이 수학인가? 그에 대한 대답은 자신이 없다. 그러나 영재아이들을 가르치면서 서서히 확신할 수 있었고, 민족사관고등학교 학생선발을 위한 수학캠프(96.8)에서 여러 수학시험점수와 퍼즐풀이와의 상관관계가 상당히 높게 나왔기에 보다 자신감을 갖게 되었다. 물론 그 당시에 시행한 한 두 번의 필기시험으로 어떤 학생의 수학능력을  정확하게 측정할 수 있는가 하는 문제는 여전히 남아 있다.

수학 캠프에서 악마라는 직사각형을 만드는 퍼즐을 출제하였는데 이것은 무리수의 상등을 이용해야 풀 수 있는 문제다. 그리고 다른 여러 가지 퍼즐도 수학적 근거를 둔 것이 많이 있다. 정확하게 그 퍼즐이 어떤 능력을 요구하는가를 말하기는 힘들지만 소위 수리퍼즐이라는 것은 수학학습에 도움을 준다고 생각한다.

4.  퍼즐의 종류

우선 퍼즐이란 무언인지 그 정의부터 알아보자. 다음은 CRC Consise Encyclopedia of Mathematics(Eric w. Weisstein)에 나온 정의(?)이다.

Puzzle : A mathematical problem, ussually not requiring advanced mathematics, to which a solution is desired. Puzzles frequently require the rearrangement of existing pieces(e.g 15 puzzle) or the filling in of blanks(e.g crossword puzzle)

이 글에서는 서두에서도 밝힌바 있지만, 위의 정의에 나온 내용을 좀 더 포괄적으로 해석하여, 수수께끼와 같은 내용도 퍼즐의 범주에 포함시키려 한다. 흔히들 말장난이라 생각하기 쉬운 짧은 퍼즐들 중의 어떤 것들은 고의적으로 독자를 잘못으로 유도하는 문장들을 포함하고 있다는 점에서 수수께끼에 가깝다고 할 수 있다. 그렇지만 이들 문제들은 대부분 독자들 입장에서 볼 때 공정한 문제들이다. 일반적으로 이러한 종류들의 논리적 퍼즐들은 수학과 깊은 연관을 가지고 있다고 생각하여 이러한 것들도 이 글에서는 퍼즐로 다루도록 하겠다.

퍼즐은 거의 모든 수학의 분야와 관련이 있는데, 내용을 분류하며 그 중 많이 알려진 문제들로 예를 들며 설명하도록 한다.

-퍼즐의 분류

① 산술(number puzzle)

산술문제들은 대부분 숫자들을 제시해 주고 주어진 조건하에 문제를 풀어야 한다. 모든 연령층에 고루 사용될 수 있다는 장점이 있으나 연령이 높은 학생들에게는 약간 지루하다고 느끼는 면이 없지 않으나 예상외로 열심히 풀었고, 어린 학생들에게 제시해 보았을 때, 한 가지 문제에 대해 상당히 여러 가지 답이 나오는 것을 알 수 있다. 학생들의 연산에 대한 감각과 더불어 창의성을 길러줄 수 있는 퍼즐이라 생각된다.

-1998 (대상 : 전 연령층, 관련영역: 대수, 난이도: 중)

1998 이라는 숫자 네 개로 1～100 까지의 숫자를 만들어 보자.

사용할 수 있는 기호는 +, -, x, ÷, √ (제곱근,sqrt), ^ (제곱기호),

! (계승, factorial), (,) (괄호) 이다.

답은 부록에서 확인할 수 있다. 다른 숫자로 변형하여 해볼 수도 있다.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 사이에 사칙연산 기호를 끼워 넣어 100을 만들기

고마치 셈이라고 부르는 이러한 연산은 그 결과가 12개 나와 있다. 다음은 그 결과의 몇 가지 예이며, 나머지 답은 부록에 첨부하였다.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 × 9 = 100

 123 - 45 - 67 + 89 = 100

1234 + 5 - 67 × ( 8 + 9 ) =100

4( )5( )4( )5=9,  ( )안에 수학기호를 대입하여 등식을 만족시키도록 하여라.

학생들에게 제시해 보면 알겠지만 부등호 기호까지 사용하면 상당히 여러 가지 기발한 답이 무수히 나오는 것을 확인할 수 있다. 다음은 학생들이 제시한 답이다.    

4.5+4.5=9   4+5=4+5=9   4*5>4+5=9

이러한 산술퍼즐을 게임으로도 즐길 수 있는데 가장 대표적인 게임으로는 숫자볼링게임과 매지믹서(Magimixer)를 들 수 있다.

숫자 볼링게임은 주사위 3개를 던져 나온 숫자를 이용하여 1～10까지의 숫자를 만드는 게임인데 스트라이크는 1～10까지를 다 만든 경우를 말하며, 별도의 점수 기록지가 필요하다. 주사위 개수나 모양 및 게임규칙을 적당히 조절하여 난이도를 조절할 수도 있다. (자세한 내용은 수학사랑 저널 13, 14호 참고)

주사위 7개로 이루어진 매지믹서는 하나의 검정 주사위에는 10, 20, 30, 40, 50, 60으로 이루어져 있고 가운데 위치하고 있다. 나머지 6개의 주사위(검정색 1개, 흰색 5개)에는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 숫자가 쓰여져 있다. 5개의 숫자를 사칙연산을 이용하여 두 개의 검정 주사위에 나타난 수를 더한 수와 같게 만드는 것입니다. 올바른 풀이를 먼저 구한 사람이 승리한다. 사칙연산을 이용하므로 초등학교 4학년 이상이면 누구나 할 수 있으나 생각보다는 어렵다.

② 복면산(alphametic)

흔히 Cryptarithms이나 alphametic이라 불리우는 퍼즐이다. alphametic에는 두 가지 원칙이 있다. 첫째, 암호처럼 되어있는 각각의 문자는 다른 숫자들을 나타낸다. 즉, 일대일 대응이어야 한다. 둘째, 첫 번째 문자는 0이 아니다. Strand Magazine 1924년 7월호에 실린 Henry Ernest Dudeney의 문제가 이러한 문제의 시초가 되었고, alphametic이란 말은 1955년에 J. A. H. Hunter에 의해 만들어진 신조어이고, 우리나라에서는 자주 보이지는 않지만 복면산이라 불리기도 한다. 수의 기본적인 연산과정을 알면 풀 수 있는 문제이므로 모든 연령층이 고루 할 수 있다는 장점이 있다. 다음들은 alphametic 문제들의 예이다.

-ABCDE (대상 : 전 연령층, 관련영역 : 대수, 난이도 : 중)

ABCDE

     ×4

EDCBA

| | | | |

①②③④⑤

Ⅰ. ①에서 보면 A×4는 한 자리 수이므로, A는 1과 2중하나이다. 그런데, ⑤에서 E×4에서 A는 짝수임을 알 수 있으므로 A는 2이다.

Ⅱ. A가 2이므로 E는 3(3×4=12)또는 8(8×4=32)이나 ①에서 A×4=E이어야 하므로 E는 8이다.

Ⅲ. ②에서 ①로 1이 올라가지 않았으므로 B는 1또는 2이나 A가 2이므로 B=1 이다.

21978

    ×4

87912

Ⅳ. ⑤에서 3이 올라가고 B=1이므로, ④에서 D는 2(2×4=8) 또는 7(7×4=28)이나 A=2이므로 D=7이다.

Ⅴ. ③에서 ②로 3이 올라간 것을 생각하면 C는 8또는 9가 되고, E=8이므로 C=9이다.

   따라서 A=2, B=1, C=9, D=7, E=8이다.

위에서 알 수 있듯이 수의 기본적인 연산과정을 알고 있어야 하며, 확실하게 알 수 있는 문자부터 순서를 정해 나가면 해결할 수 있는 문제이다. 다음은 유명한 복면산 문제들이다.

SEND+MORE=MONEY	D=7, O=0, S=9, R=8, E=5, M=1, N=6, Y=2.
FORTY+TEN+TEN=SIXTY	F=2, O=9, R=7, T=8, Y=6, E=5, N=0, S=3, I=1, X=4.
SIX+SIX+SIX=NINE+NINE	S=9, I=4, X=2, N=1, E=3.
ADAM+AND+EVE=MOVED	A=8, D=5, M=1, N=7, E=9, V=3, O=0
HEAR+THOSE+THREE=CHEERS	H=2, E=7, A=8, R=5, T=6, O=3, S=9, C=1.
FIVE+FIVE+NINE+ELEVEN=THIRTY	F=4, I=0, V=2, E=7, N=5, L=9, T=8, H=1, R=3, Y=6.

이와 비슷한 유형의 문제로 충식산(蟲食算)이라 부르기도 하는 문제가 있다.

 

답은 108978÷12=90809이므로 한번 풀어보기 바란다.

③ 기하

기하분야의 퍼즐로는 도형분할, 최단길이, 면적, 입체도형 자르기 등 그 분야가 광범위하고 또한 가장 흥미로운 부분이기도 하다.

위의 그림은 정삼각형을 적당히 분할하여 같은 면적을 갖는 정사각형으로 다시 조립하는 과정을 그림으로 나타낸 것이다. 이 문제는 정삼각형뿐만 아니라 일반적인 삼각형으로 확장이 되었는데, 수학사랑 홈페이지 움직이는 기하에서 확인할 수 있다.

기하문제로써는 도형 분할(dissection) 문제가 가장 흥미롭지만 다소 어려운 것이 사실이다. 그리고 실제로 해보기도 어려우므로, 간단한 것만 살펴보기로 하고, 어려운 것들은 영재들의 창의성을 개발하거나 교육하시는 분들을 위하여 부록으로 남겨둔다.

- 넓이Ⅰ(대상 : 중고생, 관련영역: 기하(피타고라스정리), 난이도: 중)

그림처럼 다섯 개의 직각삼각형이 있다. 직각을 이루는 두 변의 비는 1:2이다. 어둡게 칠해진 한 개의 직각삼각형을 두 개로 나눈 후 이 여섯 개를 조립하여 정사각형 한 개를 만들어 보라

피타고라스 정리, 삼각형과 사각형의 넓이에 대한 지식이 있어야 풀 수 있는 문제이다. 사각형이 되었을 때 한 변의 길이가 어떻게 되어야 하는지를 유도하면 학생들이 문제를 해결할 수 있을 것이다.

넓이의 계산 방법을 이용하여 추리해 보면, 이 직각 삼각형의 짧은 변의 길이를 1이라 하면, 다른 변의 길이는 2이고 빗변은 , 넓이는 1이 된다. 새로 만들어지는 정사각형은 삼각형 5개로 이루어지고 넓이는 5가 되므로, 이 정사각형의 한 변은 이다. 따라서 직각삼각형의 빗변이 정사각형의 한 변이 된다. 그림으로 확인해 보자.

- 넓이Ⅰ(대상 : 중고생, 관련영역: 기하(원의 넓이), 난이도: 하)

옆의 그림과 같이 반지름이 같은 네 개의 원이 접하고 있다. 검게 칠한 부분의 넓이는 얼마인가?

중학교 원 관련 단원에 나옴직한 문제이다. 원의 반지름의 길이를 a나 1로 두면 된다. 이러한 문제를 교과서와 관련된 내용으로 제시하면 수학문제로 여겨 우선 거부감을 표시하는 학생들이 간혹 있으므로 중학교에서는 수업도입부에서 우리 퀴즈하나 풀어볼까 하는 식으로 사용하여 문제를 푸는 동안 학생들이 자연스레 원의 넓이에 대한 감각을 기를 수 있도록 하는데 사용하고, 고등학생들에게는 점심시간 후나 조는 시간에

이용하여 학생들의 수업 집중도를 높이는데 사용하면 좋을 것이다.

- 각 (대상 : 중고생, 관련영역 : 기하(직각이등변 삼각형), 난이도 : 중)

두 각의 크기 α와 β의 합은 얼마일까요?

퍼즐 사이트에서 본적이 있었는데, 재작년 고1 모의고사에서도 출제되었던 문제이다. 퍼즐문제로나 수학문제로나 손색이 없다. 도형의 성질(직각이등변 삼각형)과 보조선을 이용하면 풀 수 있는 문제이다. 학생들에게 문제를 낼 경우 어려워하면 보조선과 대각선의 길이 관계쪽으로 힌트를 주는 것이 좋을 것이다.

따라서,

④ 논리(대상:중고생, 관련영역: 논리, 추론, 난이도: 중)

A, B, C, D 네 사람 중에 어떤 사건의 범인이 한 사람 있다. 그런데 네 사람 중에 세 사람은 거짓말을 하는 사람이고 참말을 하는 사람은 단 한 사람이 있다고 한다. 다음의 말에서 범인 한 사람과 참말을 하는 한 사람을 찾아보아라.

  A : 범인은 B입니다.             B : 범인은 D입니다.

  C : 나는 범인이 아닙니다.        D : B는 거짓말쟁이입니다.

Ⅰ. A가 참말을 한다고 하자. 범인은 B이다. 그렇다면 C도 참말을 하고 있다. D도 또한 참말을 하고 있다. 따라서 참말을 하는 사람이 세 사람이 되어 안 된다.

Ⅱ. B가 참말을 한다고 하자. 범인은 D이다. C는 역시 참말을 하고 있다. 따라서 참말을 하는 사람이 두 사람이 되어 안된다.

Ⅲ. C가 참말을 한다고 하자. 그러면 A와 B와 D가 거짓말쟁이다. B를 거짓말쟁이라고 말하는 D도 참말을 하고 있다. 따라서 이것도 모순이 된다.

Ⅳ. D가 참말을 한다고 하자. 나머지 세 사람 A,B,C는 모두 거짓말쟁이가 되어야 한다. 나머지 세 사람 A,B,C는 모두 거짓말쟁이가 되어야 한다. 범인이 A나 B라 하면 C가 참말을 하게 되니 모순이 된다. 따라서 자기가 범인이 아니라고 하는 C가 범인이다.

더 이상 설명이 필요 없는 문제이다. 요즈음은 보이지 않지만, 3년전 까지만해도 수능문제에 항상 한 문제씩은 포함되기도 했었던 유형인데, 이 문제를 푸는 데는 수학적 사고력이라고 할 수 있는 논리, 추론, 이해력 등을 상당히 요한다. 이와 비슷한 문제들이 많이 있는데 푸는 과정은 매우 흡사함을 알 수 있다.

⑤ 수열

수열문제에는 교과서에 배우는 계차수열, 수열의 합에 관한 문제등외에도 여러 가지 유형의 문제가 있다. 수열의 규칙을 발견하는 재미를 학생들이 느끼게 된다면 충분히 사용해 볼 만한 가치가 있다. 이러한 문제들은 IQ 테스트 같은 곳에서도 보았기 때문에 낯설지는 않으므로, 수열의 단원에서 직접 도입해도 좋겠고, 문제에 따라서는 중학생이나 고1 학생들에게 제시해도 될만한 것이 있으며 또한 학생들이 지루해 할 만한 시간에 집중을 하게 하는 도구로서의 의미를 가지고 사용해도 좋을 것이다. 재미있는 사실은 수열을 배운 학생들은 수열에서 배운 등차, 등비, 계차수열, 혹은 수열의 합 공식에 집착하는 경향을 보이며 그러한 공식에 맞지 않는 문제일 경우 조금 당황해 하는 모습을 본다. 그러나, 고1 학생들 중에는 그러한 공식을 아는 학생들도 있지만, 그러한 공식을 모르는 경우가 대부분인데, 학생들은 알게 모르게 그 규칙을 찾아서 유추하며 적용해 가는 모습을 보인다. 오히려 알고 있는 지식이 문제를 풀 때 그 학생의 자유로운 사고를 방해한다고 생각해야 할까? 좀 더 구체적인 논의가 필요한 부분인 것 같다. 다음은 수열에 관한 퍼즐문제이다.

    다음의 수열에서 다음에 올 숫자는?

   번째 열의 합은?

1

2+3

 4+5+6

 7+8+9+10

…………………

  다음에 올 숫자는?

1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, …

  다음에 대응되는 숫자는?

1	2	3	4	5	6	7	8	9
			61	52	63	94

  다음에 올 숫자는?

1

11

12

1121

122111

112213

12221131

?

⑥ 그 외

정수론(나이 맞추기), 마방진, 숫자 배열, 성냥개비, 확률/개수세기, 게임, 카드, 저울질 등 많은 분야가 있다. 이 모든 분야를 예를 들며 설명하기에는 지면도 좁고, 글의 목적에 벗어나는 것 같아 여기에서 줄인다.

이렇게 분류하면서 퍼즐이 어떤 효과가 있으며 어떻게 적용해야 하는지를 논의하고 싶었으며, 문제는 어떻게 해석하느냐에 따라 간단한 수수께끼 같은 퍼즐도 수업에 훌륭한 소재가 될 수 있음을 밝히고 싶었다.

5.  퍼즐 수업의 예 -「수학수업에서의 퍼즐의 부분적 도입」

다음 소재들은 실제 수업에 사용해 보았거나, 수업에 사용할 예정인 것들이다. 물론 약간 수학적 엄밀성이 부족한 소재도 없진 않지만 어려운 개념을 소개할 때, 실제로 학생들이 거부감이 적어진다는 점에서 그러한 소재들도 긍정적으로 생각하고 도입하게 되었다.

① 무한의 도입

는 한없이 커짐을 나타내는 기호이며, 무한대라고 읽는다. 수Ⅰ 수열의 극한에서 무한대라는 개념을 도입하게 되는데 학생들은 무한대라는 것을 어떤 하나의 큰 수라고 오해하기 쉽다. 해서 무한대의 개념을 쉽게 전달할 수 없을까 하고 생각하던 중 대학생 때 들었던 이야기를 소재로, 무한대에 대한 개념을 설명한 그 다음 시간에 학생들에게 소개하곤 한다. 다소 유치하기도 하기 때문에, 썰렁한 반응을 보이기도 하지만 개념을 전달하기에는 충분한 설득력이 있다.

- 짝수나라와 홀수나라의 전쟁

  ( 대상 : 고2, 관련단원: 수열의 극한(수학Ⅰ), 난이도 : 하)

짝수나라와 홀수나라가 전쟁을 하는데, 각각의 나라에서 숫자하나씩 내보내면 큰 수가 이기는 것으로 전쟁을 한다. 짝수 쪽에서 4를 내보내면 홀수 쪽에서는 5를 내보내고, 100을 내보내면, 101이 나오고, 이런 식으로 전쟁을 하니까 전쟁이 끝이 나지 않았습니다.

그런데, 어느 날 전쟁은 끝나게 되었고, 짝수나라가 승리하게 되었다.

왜 그랬을까?

소재가 학생들에게 친숙한 자연수이기 때문에 학생들이 받아들이기에는 별 문제는 없다. 답은 학생들이 잘 알아내므로, 그 이후 교사의 할 일은 학생들이 무한대라는 기호가 어떠한 큰 숫자를 나타내는 것이 아니라 한없이 커짐을 나타내는 기호라는 것을 명확히 이해시킨다.

② 수열

수열에 대한 문제는 책을 찾아보면 굉장히 많이 보게 되는데, 수열을 도입할 때 적당한 소재가 있는 반면, 수열단원을 마치고 난 뒤 해야하는 소재도 있음을 알고 그 선후를 정하고, 그리고 도입의 목적을 명확히 하고 도입해야 한다.

- 하노이 탑

 (대상 : 고2, 관련단원: 수열(점화식), 난이도 : 중)

유명한 하노이 탑의 문제는 한 시간 수업으로도 충분한 소재가 된다.

프랑스의 루카(lucas) 교수가 만든 하노이 탑이란 장난감이 있다. 사각형의 판위에 세 개의 기둥이 서 있고 이 한 기둥에는 그림처럼 중앙에 구멍이 뚫린 8개의 원판이 탑모양으로 쌓여 있다. 놀이의 내용은 이 원판들을 정하여진 규칙에 따라 다른 기둥으로 옮기는 것이다. 규칙은,

    1. 한 번에 꼭 한 개씩 옮긴다.

    2. 큰 것을 작은 원판 위에 올려서는 안 된다.

이 규칙에 따라 제일 위의 원판 세 개를 다른 기둥에 옮기는 순서를 말하고, 원판 모두를 다른 기둥 위에 옮기는 데는 몇 번의 이동이 필요한가 알아보자.

조별로 하노이 탑을 하나씩 준비하도록 한다. 하노이 탑을 구할 수 없다면 스치로플이나 기타 간단한 도구로 직접 만들어 사용할 수도 있다.

수열 단원의 거의 마지막 부분인 수열의 귀납적 정의 또는 점화식을 마치고 난 후 응용 단계에 해당한다. 한 반을 7～8개의 조로 편성하고 각 조별로 하노이 타워 한 set와 활동지를 나누어준 후 실험을 하게 한다. 실험 전에 하노이 타워에 관련된 수학사의 이야기를 들려주어 동기를 부여한다. 실험에서 조작 활동을 통하여 직관적으로 일반항을 추정하게 한다. 그리고 좀 더 발전적으로 점화식을 찾아내어 일반항을 증명할 수 있는 데까지 수업을 끌고 간다.

우선 기본적으로 원판이 하나씩 늘어남에 따라 최소 이동 회수가 변하는 규칙을 찾는다. 원판이 한 개 늘어나면 이동 회수는 그 두 배에 1회가 더 늘어난다는 것을 발견해야 하는 것이다. 이것은 여섯 번 반복함에 따라 나오는 회수를 조사하면 충분히 가능하다. 그리고 가능하다면 점화식을 찾아서 점화식까지 해결하는 수업이 되었으면 더욱 좋겠다.

   원판이 개일 때의 최소 이동 회수를 이라 하자. 개의 원판을 옮기려면 위쪽에 있는 개의 원판을 모두 다른 막대로 옮긴 후에 맨 아래 원판을 빈 막대에 옮기고, 다시 그 위에 개의 원판을 옮겨 놓으면 된다. 곧, 개의 원판을 이동하는 방법은 다음과 같다.

   이것을 식으로 나타내면

          

   양변에 1을 더하면

   그러므로 수열 은 첫째항이 , 공비가 2인 등비수열이다.

                        ∴

                        ∴

 - 활동지 -

  주어진 하노이의 탑을 가지고 각 조별로 다음 작업을 완성하라.

  (1) 각 조별로 원판을 한 개씩 6개까지 늘려가면서 최소한의 회수로 작업을 실제 한 결과를 써라.

원판의 수	1	2	3	4	5	6	…	64	…	n	…
최소 이동회수							…		…		…

   (2) 1개에서 6개까지의 표를 완성했으면, n일 때의 최소 이동회수를 추정하라.

   (3) 추정된 결과를 가지고 64개를 옮기는 데 걸리는 시간을 추정하라.

교과서에도 휴게실 혹은 생각하는 수학이라고 하여 수열 단원 맨 뒤에 하노이탑에 대한 설명이 있음을 알고 있다. 사실상 하노이 탑을 학생들에게 제시하였을 때의 반응은 대부분 점화식을 먼저 생각하기보다는 그 옮겨가는 수에 집착하기 때문에 해석하는 방식에 대한 설명을 나중에 하게 되며, 학생들은 일반항만 찾으면 되지 왜 꼭 점화식을 이용해야 하는가 하는 의문을 제시하였다. 일반항만 찾는 것이 목적이라면 그 학생의 말도 일리는 있는 말이라 생각되지만, 우리의 목적은 이러한 퍼즐을 통하여 점화식에 대한 이해를 그 목적으로 한다는 것을 상기시키게 되었다.

참고로 64개를 모두 옮기는 데 걸리는 =1,846,744,073,709,551,615회로 1회에 1초만 걸린다 해도 약 5,850억년이 된다. 종말을 부인하는 것과 같은 낙관적인 종말론이다.

- 바둑돌 게임

  ( 대상: 고2, 관련단원: 등차수열(수학Ⅰ), 난이도 : 중)

학생들이 이 게임을 즐기면서 등차수열의 원리에 대해서도 이해할 수 있다는 점에서 의미가 있는 게임이다.

바둑돌 19개속에 한 개는 흰 것이고 18개는 검은 바둑돌이다. 두 사람이 교대로 검은 바둑돌을 주워 가는데 한번에 꼭 한 개에서 세 개까지 주울 수 있고 마지막에 흰 돌 한 개를 남기는 사람이 이긴다고 한다. 즉, 흰 돌을 줍게 되는 사람이 진다. 당신이 먼저 줍는다면 꼭 이기는 방법이 있다. 어떤 방법으로 주우면 될까?

위의 게임은 비교적 간단하지만, 여러 게임을 접하다보면 다음을 생각하게 한다.

첫째, 과연 이 게임이 유한 번만에 끝날 것인가?

둘째, 선수 필승법이나 후수 필승법이 존재할 것인가?

이 게임은 선수 필승법이 존재하는 경우이다.

상대방에게 다섯 개를 남겨주었다고 하자. 이 5개 중에는 흰 돌 1개가 포함되어 있다. 상대방이 한 개를 주우면 나는 3개를 주워서 흰 돌 1개를 남길 수 있어서 이긴다. 또 상대방이 2개를 주우면 나도 2개를 주워서 흰 돌 1개를 남겨 이긴다. 또 상대방이 3개를 주우면 나는 1개를 주워서 흰 돌 1개를 남겨 이긴다. 따라서 상대방에게 5개를 넘겨주면 나는 꼭 이긴다.

17개 중에서 상대가 1개에서 3개를 주울 때, 나는 3개에서 한 개를 주워 13개를 넘겨 줄 수 있고, 이와 같이 9개, 5개, 1개를 넘겨주어 이기게 된다. 즉 먼저 2개를 주어 17개, 13개, 9개, 5개, 1개를 차례로 남게 하면 된다. 4씩 뺀 등차수열이라는 것을 알 수 있다.

이제 이러한 규칙을 알았으면 학생들에게 게임을 약간 변형하여 해보게 한다. 그러면 학습자는 게임의 내용뿐만 아니라 게임의 구조도 알게 된다. 이는 마치 문제를 잘 풀 줄 아는 것보다 그 문제를 활용하는 새로운 문제를 만드는 것이 그 문제를 보다 잘 이해하는 것과도 같다. 이런 방식을 통해 학생들은 분석적으로 문제에 접근하는 능력을 계발하고, 개념을 조직함으로써 학생 자신에 의해 인지된 또 다른 문제에 전이가 가능하게 된다.

이러한 게임에는 모종의 규칙과 상호작용이 깃들여 있음을 알 수 있다. 게임자는 게임 속에서 성취해야 할 모종의 목표를 향하여 이러한 상황을 타개해 나가는 문제해결력을 펼치게 된다. 이러한 게임의 상호작용적 특성은 게임자의 문제해결력 신장에 도움을 주며, 게임의 변수들간에 모종의 구조가 있음도 알아차리게 되어 학습자의 주의 집중의 폭을 늘려주고 지적인 자신감을 강화시켜준다. 특히 동기유발이나 주의 집중의 정도가 낮은 학습자나 자신의 경험이나 능력과는 유리된 교육과정으로 고통받는 학습자들에게 있어 게임은 이전에는 별로 재미없던 학습을 재미있는 것으로 만들어 주는 역할을 하기도 한다. 이상으로 살펴본 내용을 볼 때 게임은 잠재적인 교육적 기능을 시사 받을 수 있는 점들이 많다.(김나영,1998) 그러나, 게임에는 승패의 결과가 주어지므로 원리를 깨달은 승자는 자신감을 갖게 되지만 패자는 약간의 모욕감에 휩싸일 수도 있으므로 너무 승부에 집착하지 않도록 주의한다.

③ 입체도형

- 축구공(truncated icosahedron)

( 대상: 중1, 관련단원: 입체도형, 난이도 : 중)

   축구공에는 5각형과 6각형이 몇 개나 있을까?

물론 교과서내용과 직접적인 연관은 없지만, 정이십면체와 학생들이 매일 가지고 노는 축구공과의 연관성 즉, 실생활에서 발견할 수 있는 수학내용이라는 점에서 의미가 있다.

축구공이 없다면 물론 준비해 가야 하겠지만, 학교에 등교할 때 축구공을 가지고 등교하는 학생들도 간혹 있기 때문에 교실에 축구공이 있는 경우가 있을 것인데, 축구공을 직접 들고 하면 실감을 할 수 있을 것이다.

학생들에게 질문한다. 축구공에는 몇 개의 5각형과 6각형이 존재할까? 아마도 직접 세어보려고 하는 학생들이 있을 것이며, 이것이 자연스러운 반응일 것이다. 그러나 학생들은 이미 정다면체에 대해 학습을 한 후이므로, 자연스럽게 정이십면체에 대한 언급을 할 수 있다. 정이십면체에는 삼각형이 몇 개 있는지, 그리고 꼭지점이 몇 개 있는지 축구공 이야기를 하기 전에 우선 확인하면 축구공에 대한 도입이 훨씬 쉬울 것이다.

정이십면체의 각 변을 삼등분하고 꼭지점을 중심으로 아래 그림과 같이 잘라내면 축구공 모양이 나오는 것을 알 수 있는데, 따라서 5각형의 개수는 정이십면체의 꼭지점의 개수와 같은 12개이고, 6각형의 개수는 정이십면체의 면의 개수와 같은 20개 나옴을 학생들은 이해할 수 있을 것이다.

④ 기수법

흔히 마술카드 혹은 독심술 카드라 불리는 이 카드는 우선 호기심을 유발시킬 수 있으며 학생들의 집중도가 높다.

- 2진법 카드

  (대상 : 중1, 관련단원 : 기수법, 난이도 : 중)

다음 카드를 네 장 준비한다.

마음속에 1～15까지의 수를 생각하라고 한다. 그런 후 다음의 카드 네 장을 보여주며 네 장의 카드에 마음속에 생각한 수가 카드에 있는지 없는지를 예, 아니오 만으로 답하게 한 후 마음속의 숫자를 맞추는 것이다.

A

1  3  5  7

9 11 13 15

    

B

2  3  6  7

10 11 14 15

    

C

4  5  6  7

12 13 14 15

    

D

8  9 10 11

12 13 14 15

십진수	이진수
0	0	0	0	0
1	0	0	0	1
2	0	0	1	0
3	0	0	1	1
4	0	1	0	0
5	0	1	0	1
6	0	1	1	0
7	0	1	1	1
8	0	0	0	0
9	1	0	0	1
10	1	0	1	0
11	1	0	1	1
12	1	1	0	0
13	1	1	0	1
14	1	1	1	0
15	1	1	1	1

내가 마음속에 14를 생각했다고 하면, A에는 없고, B에는 있으며, C에도 있고, D에도 있다. 따라서 이 되므로 마음속에 있는 숫자를 알아내게 된다. 학생들은 신기해하며 어떻게 하는지를 알려달라고 요구한다. 여기에서 교사는 학생들에게 그 원리를 생각하도록 유도하면 몇몇의 학생들은 숫자가 많지 않기 때문에 알아내기 시작하므로, 학생들끼리 카드를 이용 마음속에 생각한 숫자를 맞추어 보도록 유도한다. 그러나 학생들이 처음부터 2진법과의 연관을 짓기는 어려우므로 약간의 힌트를 주어 원리를 찾도록 조별로도 지도하면 좋다.

교사는 마지막에 다음과 같은 표를 제시하여 2진법 카드의

원리를 밝혀주며, 기수법과 연관을 짓는다. 더불어 컴퓨터가 2진법을 사용함을 알려준다.

더 나아가 숫자를 1～32, 1～63까지의 숫자를 맞추려면 몇 장의 카드가 필요할 것인지 질문하며 이 카드의 구조를 파악할 수 있도록 지도한다.

숫자대신 그림 16개를 준비하여 제시하기도 한다.

⑤ 로그

-신문지를 50번 접은 두께는?

  (대상 : 고1, 관련단원 : 로그(지표와 가수), 난이도 : 하)

학생들이 공통수학에서 어려워하는 내용중의 하나가 로그 중 지표와 가수이다. 다음 문제를 통해 지표와 가수의 의미를 더욱 공고히 할 수 있을 것이다.

이 되게 또 반으로 접는다. 또 한번, 또 한번...하는 식으로 50번을한 장의 신문지를 우선 정확히 반으로 접는다. 그것을 직각 반복해 접는다. 시간은 정하지 않는다.

신문지 한 장의 두께를 0.1밀리미터로 가정하자. 그러면 50번 다 접었을 때의 신문지 두께는 어느 정도 되었을까? 

실제로 50번 접는다는 것은 불가능하며, 또한 엄청나게 커지기 때문에 머리 속에서도 상상하기 힘들다. 교과서에서는 로그단원에서 지표와 가수를 배운 후 의 자리수가 몇인지 예제문제를 제시한다. 너무 무미 건조하다고나 할까? 같은 문제지만 위와 같은 문제를 제시하면 그러한 기분이 조금은 덜해지는 것을 느꼈다.

 

따라서, 은 16자리의 수이다. 다음을 통하여 확인할 수 있다.

횟수	두께	횟수	두께	횟수	두께	횟수	두께	횟수	두께
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10	0.2  0.4  0.8  1.6  3.2  6.4  12.8  25.6  51.2  102.4	11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	204.8  409.6  819.2  1,638.4  3,276.8  6,553.6  13,107.2  26,214.4  52,428.8  104,857.6	21 22 23 24 25 26 27 28 29 30	209,715.2  419,430.4  838,860.8  1,677,721.6  3,355,443.2  6,710,886.4  13,421,772.8  26,843,545.6  53,687,091.2  107,374,182.4	31 32 33 34 35 36 37 38 39 40	214,748,364.8  429,496,729.6  858,993,459.2  1,717,986,918.4  3,435,973,836.8  6,871,947,673.6  13,743,895,347.2  27,487,790,694.4  54,975,581,388.8  109,951,162,777.6	41 42 43 44 45 46 47 48 49 50	219,902,325,555.2  439,804,651,110.4  879,609,302,220.8  1,759,218,604,441.6  3,518,437,208,883.2  7,036,874,417,766.4  14,073,748,835,532.8 28,147,497,671,065.6  56,294,995,342,131.2  112,589,990,684,262.0

112,590,000 킬로미터는 지구에서 태양까지 거리의 약 3분의 2에 해당된다고 한다.

6.  결론

사실 퍼즐이나 게임 등이 재미를 위한 장남감으로 또는 학습을 보다 효과적으로 진행하는 데 필요한 활용자료 정도로만 여겨지고 있는 것이 현실이다. 이러한 시각의 근저에는 게임은 그 자체로는 어떤 것도 가르칠 수 없고, 다만 동기유발에 기여하거나 그에 수반되는 학습을 촉진할 수 있을 뿐이라는 생각이 깔려있다.(김나영,1998) 그러나 최근 열린교육을 위한 다양한 학습방법에 대한 개발은 이러한 교수방법개발에 대한 희망을 보여주고 있다. 수학교육분야에서도 문제를 해결하는 과정을 통해 기초적인 수학적 지식이나 기능에 대한 이해를 공고히 하는 것뿐만 아니라 의사결정, 비판적 사고, 창의적 사고와 같은 고급사고 기능의 신장에 관심을 두는 방향으로 변모하고 있다(박경미,1996)는 사실은 이러한 교수방법의 연구가 활발히 이루어질 것이라는 예견을 할 수 있다.

퍼즐을 수업에 도입할 때 주의해야 할 점은 일회성에 그치는 문제도 있다는 점이다. 학생들은 답을 알고 나면 그 문제를 우습게 보는 경향이 있다. 따라서 그 문제를 가지고 교육목적을 달성하려면 어느 반에 어느 부분에 어떻게 도입했는가를 정확하게 기억해야할 필요가 있고, 그 근저에 깔려 있는 수학적 원리에 대한 이해를 강조한다.

그리고 또한 소재 개발에는 몇 가지 원칙이 있어야 한다. 개인적인 원칙으로는 첫째, 너무 어려운 것을 피한다. 흥미를 잃어버린 학생들에게 너무 어려운 소재를 제시하면 생각하지도 않고 포기해 버리기 쉽기 때문이다. 만만한 소재를 찾기란 그리 쉽지 않은 일이긴 하다. 둘째, 재미있어야 한다. 사람이란 누구나 그렇듯이 흥미나 관심이 있어야만 바라보려 하고 생각하려 한다. 퍼즐 도입의 목적을 상기하자. 셋째, 수학적인 내용을 포함하고 있어야 한다. 물론 이것은 내용을 어떻게 해석하느냐에 따라 달라지겠지만, 퍼즐에는 수학적인 논리적 사고력이 상당히 포함되어 있다. 이런 것을 어떻게, 어느 순간에 도입해야 하는 문제와 직결되므로 교사의 역량이 상당히 필요한 부분이다.

사실 답답한 마음에서 시작한 공부이다. 조는 학생들, 한숨을 쉬는 학생들을 바라볼 때마다 이건 아닌데 하는 마음이 나를 괴롭힌다. 무언가 방법이 없을까하고 시작한 것이 조금씩 쌓이기 시작했다. 이제 시작이라고 생각한다. 여러 선생님들이 가진 참신한 소재들이 많이 있음을 알고 있다. 그러한 내용을 이제 공유해야 한다고 생각하며, 한가지 제안을 한다. 수학사랑 사이트(www.mathlove.com)에 수학놀이마당과 교사 쉼터가 있는데, 이곳에 선생님들이 사용하는 수업방법이나 퍼즐 혹은 수업도입에 관한 소재들을 올려주시거나, 혹은 저널에 글을 쓰거나 하는 방법으로 여러 수학선생님들이 좋은 방법으로 수업을 할 수 있도록 알려주시면 좋겠다.

참 고 문 헌

1. 안재구, 쉽고 재미있는 수학세계(일월서각,1990)

2. 박두일, 신동선, 강연환, 중학교 수학1(교학사,1993)

3. 팬더북편집부, 즐거운 365일 수학(팬더북,1992)

4. 야콥 페레리만/J.A.헌터/마틴가드너/제임스픽스,재미있는 수학탐험(팬더북,1997)

5. 마틴 가드너, 아하(사계절,1997)

6. 수학사랑 저널 17,18호

7. 이현구외 6인, 고등학교 수학Ⅰ(천재교육,1995)

8. 이기한, 묘한생각 묘한풀이(전원문화사, 1992)

9. 안재구, 생활에서 수학을 이해하는 책(일월서각,1993)

10. 박영훈, 원리를 찾아라(실천문학사, 1994)

11. 박경미(1996), 수학교육학의 학문적 정체성 탐구를 위한 소고,대한 수학교육학회 논문집, 제 6권 제 2호, pp115-127

12. 최영한(1998) 우리의 것을 찾아 가르치자, 한국 수학교육 학회지 시리즈 E<수학교육 프로시딩> 제 7집 pp101-107

13. 김나영(1998) 열린 수학 학습을 위한 게임의 교육적 활용 가능성 탐색, 대한 수학교육학회 논문집 제 8권 제1호.pp327-350

14. 즐거운 수업을 위한 한걸음, 수학사랑 18호 부록

15. http://www.inchon-e.ac.kr/~shsong/ (송상헌의 강의-자료 홈페이지)

16. http://lina.infobank.net/sung/ (박부성의 퍼즐사이트)

17. http://www.johnrausch.com/PuzzlingWorld/contents.htm

18. http://www.cut-the-knot.com/

19. http://www.mathpuzzle.com

20. http://forum.swarthmore.edu/k12/mathtips/division.tips.html (math forum)

21. http://forum.swarthmore.edu/k12/k12puzzles/

22. http://user.chollian.net/~yeowul/quiz/q_frame.html (손재철)

23. http://www.cut-the-knot.com/cryptarithms/st_crypto.html

24. http://forum.swarthmore.edu/library/resource_types/problems_puzzles/

25. http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/mathgames.html

26. http://www2.links2go.com/topic/Mathematical_Games

27.http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Mathematical_games.html

28. http://www.treasure-troves.com/math/Dissection.html

부록 - 답

1.

1	(sqrt(9)+8)-(9+1)
2	(9+9)÷ (8+1)
3	sqrt(9-9+8+1)
4	(sqrt(9)+9)-(8x1)
5	sqrt[9+9+8-1]
6	8-1-(9÷ 9)
7	9-9+8-1
8	(1x8)+(9-9)
9	9+9-1-8
10	9x1-8+9
11	1+9+9-8
12	sqrt(9) + 9x1^8
13	sqrt(9+8-1)+9
14	sqrt(9)+sqrt(9)+8x1
15	sqrt(9)+sqrt(9)+8+1
16	8x(9÷ 9+1)
17	9!÷ 8!+(9-1)
18	9!÷ 8!+(9x1)
19	9!÷ 8!+(9+1)
20	sqrt(9)+9+8x1
21	sqrt(9)+9+8+1
22	sqrt(9)x8-(sqrt(9)-1)
23	(9 ÷sqrt(9)x8)-1
24	9÷ sqrt(9)x8x1
25	(9+9)+8-1

26	(9+8)+(9x 1)
27	1+9+9+8
28	9! ÷8! x sqrt(9)+1
29	sqrt(9)!xsqrt(9)!-8+1
30	sqrt(9)x(9+1^8)
31	((sqrt(9))!-1)x8-9
32	(9-1)xsqrt(9)+8
33	sqrt(9)x[8+sqrt(9)]x1
34	9 x sqrt(9)+(8-1)
35	1x(9 x sqrt(9)+8)
36	9xsqrt(9)+8+1
37	(sqrt(9))!x(sqrt(9))!+1^8
38	(9+1)xsqrt(9)+8
39	(sqrt(9))!x8-9x1
40	(sqrt(9))!x8+1-9
41	8x(sqrt(9)+1)+9
42	(sqrt(9))!x8-(sqrt(9))!÷ 1)
43	(sqrt(9))!x(sqrt(9))!+8-1
44	(sqrt(9))!x(sqrt(9))!+8x1
45	(8-sqrt(9))x(9÷ 1)
46	9x(8-sqrt(9))+1
47	[(sqrt(9)+sqrt(9))x8]-1
48	[(sqrt(9)+sqrt(9))x8]x1
49	8x(sqrt(9)+sqrt(9))+1
50	(8-sqrt(9))x( 9+ 1)

51	sqrt(9)x(8+(9x1))
52	(9+8)xsqrt(9)+1
53	9x(sqrt9)!-1^8
54	9x(8-1)-9
55	8x(9-1)-9
56	(sqrt(9))!x8+9-1
57	(sqrt(9))!x8+9x1
58	(sqrt(9))!x8+1+9
59	((sqrt(9))!+1)x8+sqrt(9)
60	(8-1)x9-sqrt(9)
61	(sqrt(9))!x9+8-1
62	(8x9)-9-1
63	(9x8)-(9x1)
64	[(9x8)+1]-9
65	8x9-(sqrt(9)!+1)
66	9x(8-1)+sqrt(9)
67	8x(9-1)+sqrt(9)
68	8x9-(sqrt(9)+1)
69	8x9-(sqrt(9))x1
70	8x9-(sqrt(9) -1)
71	8x(9+1)-9
72	9x9-1-8
73	9x9x1-8
74	9x9-8+1
75	sqrt(9)+8x9^1

76	9x8+sqrt(9)+1
77	(9+1)x8-sqrt(9)
78	(8+1)x9-sqrt(9)
79	8x9+sqrt(9)!+1
80	(8x9)+9-1
81	(1x9)+(9x8)
82	1+9+(9x8)
83	(9+1)x8+sqrt(9)
84	(8+1)x9+sqrt(9)
85	(9+8)x((sqrt(9))!-1)
86	(9+1)x8+(sqrt(9))!
87	(9x(8+1))+(sqrt(9))!
88	[(9x9)-1]+8
89	9x9÷ 1+8
90	9x9+8+1
91	((sqrt(9))!)!÷ 8+1^9
92	((sqrt(9))!)!÷ 8+(sqrt(9)-1)
93	((sqrt(9))!)!÷ 8+(sqrt(9)x1)
94	((sqrt(9))!)! ÷8+(sqrt(9))+1
95	(sqrt(9)+9)x8-1
96	8x(sqrt(9)+1)xsqrt(9)
97	((sqrt(9))!)! ÷8+(sqrt(9))!+1
98	9x(9+1)+8
99	(8+sqrt(9))x9x1
100	(8+sqrt(9))x9+1

2. 고마치 셈의 결과

1+2+3-4+5+6+78+9=100  1+2+34-5+67-8+9=100 12-3-4+5-6+7+89=100 12+3-4+5+67+8+9=100  123-4-5-6-7+8-9=100 123+45-67+8-9=100

-1+2-3+4+5+6+78+9=100   1+23-4+5+6+78-9=100   1+23-4+56+7+8+9=100   12+3+4+5-6-7+89=100     123+4-5+67-89=100

3. 도형분할

GR-golden rectangle(황금사각형),

GC-greek cross(그리스 십자가),

LC-latin cross(라틴 십자가),

MC-maltese cross(몰타인의 십자가),

SW-swastika(만자(卍字), 갈고리십자.나치당과 제3제국의 공식 표장),

{5/2} - a five point star (solid pentagram)

{6/2} - a six point star (hexagram or solid star of david)

{8/3} - the solid octagram

☞ 출처 : 제 2 회 Math Festival 프로시딩 원고 < http://www.mathlove.org >

   
             원문 : http://www.mathlove.org/doc/mf2/050김세식-수학수업에퍼즐도입하기.hwp