'09. 1. 15일자 추리논증연재_수리추리3 (도형 및 기하)

[유쌤~*]

090115한국로스쿨연재물(송부용).pdf

한국로스쿨신문 게재 자료 (’09. 1. 15)

LEET Joe & You 추리논증              

                              - 조성우 (합격의 법학원 추리논증 전임)-

안녕하세요. 조성우 추리논증 강사입니다. 지난 시간까지 두 시간에 걸쳐 수리 연산 및 대수를 이용한 문제들을 살펴보았습니다. 오늘은 도형 및 기하 부분을 살펴보도록 하겠습니다. 수리추리 영역은 오랜 동안 숫자 내지 수학을 멀리 하셨던 분들이 대체로 점수가 안 나오는 영역입니다. 그러나 중고시절 매일 수학문제를 접했던 기억을 상기하시면서 집중적으로 공부에 임하신다면 비교적 짧은 시간에 극복될 수 있는 영역입니다. ※이전 자료들은 다음 카페(카페명 : 조성우 상황판단 & 추리논증, http://cafe.daum.net/monomics)를 참조해 주시기 바랍니다.

한국교육평가원이 제시한 수리추리의 하위 범주와 주요 내용

인지 활동 유형	하위범주	내용 설명
수리추리	수리 연산 및 대수	간단한 수 계산이나 방정식을 포함한 대수식을 이용하여 해결할 수 있는 문제
	도형 및 기하	도형의 성질이나 도형들의 관계를 이용하여 해결할 수 있는 문제
	게임 이론 및 이산 수학	경우의 수를 따져보거나 게임 이론의 간단한 보수행렬 계산이나 비교를 통하여 해결할 수 있는 문제
	표, 그래프, 다이어그램	표나 그래프, 다이어그램 등으로 주어진 자료에서 필요한 정보를 추출, 추리하는 문제

Ⅰ. 수리추리3 (도형 및 기하)

1. 도형 및 기하의 개념

1) 도형 [圖形, figure]

기하학에서 어떤 모형을 위치와 모양·크기만으로 생각할 때, 점·선·면·입체 또는  이들 집합으로 이루어진 것을 도형이라 한다. 특히, 점,선,면,입체의 4개를 기초도형이라고 한다. 모든 물체는 위치,모양,크기,빛깔,무게 등을 가지고 있다. 그러나 기하학에서의 물체의 연구는 그 물체가 어떻게 이루어져 있는가, 무게 또는 빛깔은 어떤가 등에 관해서는 전연 문제 삼지 않고, 다만 그 위치와 모양,크기만을 생각하게 된다. 따라서 물체를 이와 같이 생각할 때 비로소 도형이라는 말을 쓰게 된다. 평면 위에 있는 도형은 평면도형, 공간에 있는 도형은 공간도형이라 한다. 또, 공간도형에서 위치와 모양,길이,폭,두께를 가지는 것을 입체도형이라고 한다.

2) 기하학 [幾何學, geometry]

기하는 어떤 형태, 도형, 상태 등을 뜻하는 것으로서 기하학은 그러한 것들을 연구하는 학문이다. 토지 측량을 위해 도형을 연구하는데서 기원했으며, 공간의 수리적(數理的) 성질을 연구하는 수학의 한 분야이다. 현재 기하학은 영어로 geometry라 하는데, geo-는 토지를, metry는 측량을 뜻한다. 이집트인이 개발한 이와 같은 도형에 관한 지식은 지중해를 건너 그리스로 전파되었는데, 경험적이었던 이집트인과는 대조적으로 추상적인 사고방식에 능했던 그리스인은 도형에 대한 개념을 새로이 형성하고, 연역적(演繹的)으로 이를 논하였으며, 특히 탈레스와 피타고라스의 노력에 의해 비약적으로 발전하였다. 두 삼각형의 합동, 비례정리 등은 탈레스의 발견이었고, 또 피타고라스학파에 의해 피타고라스의 정리가 발견되고 증명되었다. 그 당시의 기하학에 관한 지식은 유클리드의 《기하학원본：Stoicheia》에 집대성됨으로써 유클리드기하학(초등기하학)의 체계가 비로소 완성되었다.

2. 학습 범위의 고찰¹⁾

1) 중학 수학 도형 커리큘럼

도형	중1	중2	중3
	기본도형	명제	평면도형(1)  - 피타고라스의 정리
	평면도형 (삼각형, 다각형,  원과 부채꼴, 원과 직선, 부채꼴의 길이와 넓이)	삼각형의 성질 (이등변 삼각형의 성질, 직각삼각형의 합동 조건)	평면도형(2) - 원의성질
	입체도형 (직선과 평면, 다면체, 회전체, 입체도형의 겉넓이와 부피)	사각형의 성질 (직사각형, 마름모, 정사각형, 등변사다리꼴)	평면도형(3) - 삼각비
	도형의 관찰 (도형의 연결상태, 꼭지점과 변으로 이루어진 도형)	도형의 닮음 (평면도형에서 닮은 도형의 성질, 입체도형에서 닮은 도형의 성질)

2) 고등학교 수학 (도형의 방정식)

중학 수학		공통 수학		수학Ⅱ
좌표평면 중1		직선과 원의 방정식  §1. 점과 좌표      §2. 직선의 방정식    §3. 원의 방정식		행렬과 일차변환 수학Ⅱ 이차곡선  수학Ⅱ
직선의 위치관계  중1
삼각형의 성질 중2		도형의 이동과  부등식의 영역 §1. 평행이동 §2. 대칭이동      §3. 부등식의 영역		공간좌표 수학Ⅱ
그래프의 평행이동 중3				공간도형   수학Ⅱ
피타고라스의 정리 중3
원과 직선 중3

Ⅱ. 예제

한 변의 길이가 3인 정삼각형과 한 변의 길이가 1인 정사각형 ABCD가 있다. 그림과 같이 고정된 정삼각형 둘레를 따라 시계방향으로 정사각형 ABCD를 미끄러지지 않게 회전시키면서 이동시킨다.

     최초             1번 이동            2번 이동            3번 이동      

다음 중 정사각형을 817번 이동하였을 때 나타나는 모양으로 옳은 것은?

[LEET 2차 예시문제]

①                  ②                   ③

④                  ⑤

	도형 간의 관계에 있어서 일정한 규칙의 추론
1. 정사각형의 위치 추정  주어진 그림에 의해 한 변의 길이가 1인 정사각형 ABCD는 한 변의 길이가 3인 정삼각형을 9번 회전하면 제자리에 돌아올 수 있게 된다. 따라서 817번 이동한다는 것은 90×9 + 7이기에 7번 이동을 하란 말과 같은 의미가 된다. 2. 정사각형 내 빗금 부분 위치 추정 정삼각형상태에서 파악하려면 상당히 헷갈리므로 정삼각형을 펼쳐 직선으로 생각하고 검토해 본다.  한 변 길이 1인 정사각형 ABCD 내 빗금 부분은 아래 그림에서 보는 바와 같이 처음 위치(최초)에서  4번 주기(좌상에서 다음번 좌상까지)로 하여 제자리에 오게 되므로 817번 이동(817 = 4 X 204 + 1)시켰을 때 빗금의 위치는 최초의 위치에서 1번 더 이동(좌상)한 곳에 오게 된다. 따라서 정사각형의 위치는 7번 이동한 곳에 위치하고 정사각형 내 빗금의 위치는 정삼각형의 밑변을 기준으로 좌상에 위치하게 된다. 정답은 ②이다. 정답 : ②

아래의 그림은 정사각형 안에 5개의 선을 그어 만든 것이다. 이 그림 속에 있는 삼각형의 수로써 바른 것은?                       

                      

 ① 12             ② 13            ③ 14

 ④ 15             ⑤ 16

	삼각형의 개수 구하기
우선 다음과 같은 경우로 나누어 볼 수 있다. (1) 최소단위의 삼각형(삼각형의 내부를 선이 가로 지르지 않는 삼각형= 횡단하지 않는 삼각형) (2) 도형 두 개로 구성되고 있는 삼각형 (삼각형 내부를 선이 한 줄만 가로 지르고 있는 삼각형= 횡단하는 삼각형)  [그림 1] 이 삼각형은 [그림2]와 같이 세어 가면 된다. 굵은 선으로 둘려 쌓인 삼각형이 해당하는 삼각형이다. 그림에서 보면 이와 같은 삼각형이 6개 있다는 것을 알 수 있다.         [그림 1]                                        [그림 2]        (3) 도형 두 개 이상으로 구성되고 있는 삼각형 (삼각형 내부를 선이 둘 이상 가로지르고 있는 삼각형) 이 삼각형은 그림 3과 같이 세면된다. 굵은 선으로 둘려 쌓인 삼각형이 해당하는 삼각형이다. 그림에서 이와 같은 삼각형은 3개 있음을 알 수 있다.   그러므로 (1) ∼(3)에서, 주어진 도형 속에 있는 삼각형의 수는 6 + 6 + 3 = 15 개임을 알 수 있다.  따라서 정답은 ④번  정답 : ④

세로의 길이가 6m. 가로의 길이가 8m의 바닥에 한 변이 10cm의 정사각형 모양을 한 타일을 빈틈없이 쭉 깔았다. 다 깔은 뒤 바닥의 대각선상에 매직잉크로 한 줄의 직선을 그었다. 이 직선은 몇 장의 타일을 통과하는가? (단, 그은 직선의 폭은 생각하지 않는 것으로 한다.)

① 80장

② 100장

③ 120장

④ 140장

⑤ 160장

	도형의 성질을 이용한 추론
밑의 작은 그림(색칠된 직사각형)과 같이 30 cm × 40 cm의 직사각형을 생각하면 직선은  3 : 4라는 비를 유지하면서 대각선이 그어짐을 알 수 있다. 이 때 매직으로 그은 직선 즉, 대각선은 6개의 타일에 걸치면서 통과한다. 따라서 문제에서 주어진 6 m × 8 m 바닥의 대각선상에는 이 직사각형이 20개 있으므로, 매직으로 쓴 직선이 통과하는 타일의 수는 총 6× 20 = 120 개가 된다. 정답은 ③번 정답 : ③

아래 그림과 같이 투명한 셀로판지로 만든 같은 크기의 정사각형 9개를 이어서 합친 모양을 그려 점선이 맞닿는 곳을 시작으로 해서 ①부터 ⑧까지 화살표 방향을 따라 차례로 접으면서 개어나간다. 이때 ⑧까지 접었을 때 보이는 정사각형 모양으로서 올바른 것은 어느 것인가?

         

도형의 점선이 맞닿는 곳을 한번 접어 겹칠 때마다 순서대로 표시해가며 나아간다. 순서대로 접어가면서 포개진 모양을 아래의 그림으로 표시했다. 아래의 그림에서 굵은 선은 접은 후 개어진 새로운 선을 의미한다.   따라서 위 그림들의 결과로 정답은 보기②번임을 알 수 있다. 정답 : ②

왼쪽 그림과 같이 두 개의 표면 일부를 색칠한 정8면체의 전개도로서 바른 것은 어느 것인가?

	전개도
편의상 정8면체의 각 정점에 <그림Ⅰ>과 같이 A~F 라는 부호를 붙인다. <그림Ⅰ>   문제의 그림에서 검게 칠해져 있는 부분은, 삼각형 ABC의 정점  A부분과 삼각형CDF의 정점의 부분이 된다. A~F의 부호를 확실히 표시해서3) 선택지 ①과 같은 배치로 전개도를 그리면 <그림Ⅱ>와 같이 된다. <그림Ⅱ>   검게 칠해지고 있는 부분은 삼각형 CDF의 정점 F의 부분이어서, 선택지 ①은 올바르지 않다는 것을 알 수 있다. 같은 방법으로 각 선택지를 검토해 간다. 정답 : ⑤

                

<그림Ⅰ>의 전개도를 실선으로 자르고, 점선 중 몇 개를 골라 접은 금이 밖으로 나오게 접었을 때, <그림Ⅱ>와 같은 입체가 조립되었다. 이 입체에 있어서 본래 전개도의 실선 또는 점선으로 둘러싸인 정사각형 가∼바에 관한 내용 중 가장 올바른 것은 어느 것인가?

 

① 나와 바는 평행이다

② 마와 바는 항상 평행이다

③ 가의 한 변과 라의 한 변은 접하고 있다.

④ 가의 한 변과 바의 한 변은 접하고 있다.

⑤ 다의 한 변과 라의 한 변은 접하고 있다.

	전개도와 도형과의 관계
아래의 굵은 선으로 표시된 선이 접었을 때 밖으로 나오게 접으면 <그림Ⅱ>의 도형을 작성 할 수가 있다<그림Ⅰ>. 여기서 입체의 정점을 a에서 l까지로 정하고, 정점의 대응 관계를 정리해보면 <그림Ⅱ>와 같이 표시할 수 있어 정점간의 관계를 파악하기 용이하다. 위의 전개도에서 가와 라의 l 변이 접하고 있어서 정답은 보기③번이 된다. 접은 금을 밖으로 나오게 접는 장소를 표시하기 위해서는 의 모양을 입체로 할 때는   또는  와 같이 진하게 표시를 하여 접는 금이 밖으로 나오게 접을 필요가 있다는 것을 알려주면 된다. 정답 : ③

★ 조성우 추리논증 기본강의 ★
1. 일정 : 1/6(화) ~ 2/27(금) 오전 ․저녁 [15회]  2. 장소 : 강남 합격의 법학원  3. 교재 : LEET Joe & You 추리논증 (저자, 인해 刊)
4. 특징	1) 수험적합성 최고의 체계적 강의  2) 이론을 위한 이론이 아닌 문제해결에 이용되는 핵심이론 위주의 입문 강의  3) 가장 효과적으로 추리논증의 기본체계를 잡을 수 있는 강의
5. 동영상 강의    1) 합격의 로스쿨학원 : www.lawschool.co.kr   2) 메가고시 : www.megagosi.co.kr