공간(l'espace): 물리학에서(physique)

[천야]

공간(un espace): 물리학에서(physique)

겡스(M. Ghins), Les Notions philosophique, Dictionnaire, PUF, 1992, pp. 843-844 (P.3299)

- 겡스(Michel Ghins, 1948-), 벨기에 루방 카톨릭 대학 교수. 벨기에 루방 카톨릭 대학 철학 교수. 물리학철학, 과학철학 전공.

   공간에 대한 여러 설명들에 대한 지성적 사고를 할 수 있는 다음에야, 또는 그보다 더 깊이 파고들 때야 시간에 관한 사유에 이르게 될 것이다. 마치 어린 시절에는 이야기로서 학습을 하듯이, 고등학교에까지 일반화된 상식을 학습하고 난 뒤에, 사회 공동체의 양식에 들어설 수 있고, 그 후 삶의 두께에서 자료들의 총체를 다루는 사유(고등양식), 즉 철학(소피아)에 이를 것이다. 어떤 사람의 공간을 다루는 방식을 듣고 나서야, 그 사람의 시간의 개념화 작업이 무엇인줄 알게 될 것이다. 감화적, 생태적, 물리적, 수학적(논리적) 사고에서 공간의 설정과 구성방식에 대한 견해(사고, 思考)를 거꾸로 이면적으로 보면 시간에 대한 사유의 측면을 볼 수 있다. 삶은 되돌아오는 동일반복이 아니라는 점에서 감응적 시간 지속이다. 단지 감응 속에 이질 반복을 하며 감동과 감명을 생태적으로 드러내며 살아가고, 물리적으로 설명하며, 수학적으로 가상(상징)을 세운다.

   절단된 단위로 나눌 수 있는 사고, 0과1로 수량화할 수 있는 사고는 신체 활동의 편리와 신체적 고통에 대한 치료의 요구에서 나왔을 수 있다. 이에 비해 프쉬케(영혼)를 나눌 수 없는 단순한 단위로서 자료들의 총체(적분적 경험)를 다루는 사유는 관념, 개념, 지각, 감동을 함께 사유(思惟)해야 한다는 어려움이 있다.

    다양체를 사유하는 어려움의 과정을 겪는 것은 공자의 간단한 자서전에 있고, 시달다의 신수심법에도, 플라톤의 선분의 비유에도 있지만, 그것을 실행하는 것은 어렵고, 실행하는 자는 드물다고 스피노자가 말한다. 벩송도 자유를 실행하는 것은 드물다고 한다. 그럼에도 현자들은 인간이면 누구나 이 길(도, 道)을 갈 수 있다고 하였지만, 신비가 또는 보살이 되려고 노력하는 자가 드물다. 깨닫는다는 것도 드물지만, 알아도 부지런하고 끈질기게 노력하는 것도 쉽지 않다. (54OLG)

# 공간(un espace): 물리학에서(physique) ***

[개요]

   고대이래로 우리 시대에 까지 공간에 대한 수많은 개념작업들을, 크게 두 개의 범주들로 분류하는 것은 가능하다. 그 범주들에 따르면 개념작업들은 상대론적 개념작업에 더욱 가까이 접근한다. 사람들은 논리학적(logique) 의미에서 공간이 절대적이라고 말할 것인데, 이는 “공간”이라는 용어가 개별적인 본징(une entité)에, 즉 실체에 참조하는 것이다. 반대로 혹시 이 용어가 성질들의 일체에, 또는 대상들 즉 실체들 사이에 가능한 관계들의 일체에 이른다면, 공간은 논리(학)적 의미에서 상대적이다. 공간이 존재론적(ontologique) 또는 형이상학적(métaphysique) 의미에서 절대적 또는 상대적이라는 것은, 공간의 현존이 대상들의 현존과 독립적이거나 상대적인 경우이다. 공간이 물리학적(physique) 의미에서 절대적 또는 상대적이라는 것은, 공간이 물질의 분배 또는 행태의 영향을 입는 – 또는 입지 않는 – 경우이다. 결국 [우리가] 공간을 경험적(empirique) 의미에서 절대적 또는 상대적이라고 말하는 것은, 공간이 감각적 경험에 접근 가능한 또는 가능하지 않는 경우에서 이다.

[내용]

    고대 그리스 원자론자들인 레우키포스(Leucippe, Λεύκιππος, ?-?)와 데모크리토스(Démocrite, Δημόκριτος, 전460경-전370)는 공간을 무한히 빈 것(un vide)라고 생각했다. 이 빈 것 속에서 변질할 수 없는 무한한 원자들이 움직인다. 그들은 빈 것에게 현존[있다는 의미]을 부여한 것 같은데, - 그것이 원자들의 무한성으로부터 연역되는 그런 무궁무진(l’infinitude)은 아닐 지라도, 빈 것과 물질 사이에 어떤 영향이 없다고 하더라도, - 여기서 빈 것은 모든 성질들이 박탈된 것이라는 여긴다. 따라서 원자론자들의 공간은 용어의 모든 의미에서 절대적이다.

   아리스토텔레스(Aristote, Ἀριστοτέλης, 384-322: 62살)는 빈 것의 가능성에 반대하는 논증을 하였는데, 그는 공간을 터전들(des lieux) 또는 자리(des places, 장소)의 일체로서 정의하였다. 한 물체의 자리는 그 물체를 포함하는 다른 물체의 내적 경계이다. 그러므로 포괄하는 한 물체의 현 속에 자리가 있을 수 있다. 우주 전체를 포함한다고 여기는 천체의 구(球, 공)[천구]는 [그것을 둘러쌀] 어떠한 부분도 없다. 왜냐하면 그 넘어서는 아무 것도 없기 때문이다. 그러나 천구는 모든 터전의 체계를 구성하는 물질적 경계들의 연속적인 쟁여짐[겹겹이 넣기]의 경계이다. 공간은 공모양이며 무한하다. 공간의 현존은 장소를 정의하는 데 쓰이는 물체들의 현존에 의존한다: 즉 공간은 존재론적 의미에서, 꼭 같이 논리학적 의미에도 상대적이다. 왜냐하면 공간은 실체가 아니고, 물체들 사이에 내용물-그릇의 관계에 의해 정의된 터전(lieux)의 체계이기 때문이다. 자리(la place, 장소)는, 그릇의 내적 한계가 감관들(aux sens, 의미, 방향)에 접근할 수 있는 정도에서(따라서 이 한계는 경험적 의미(au sens)에서 상대적이다), 무매개적으로 감관들에 접근할 수 있다. 아리스토텔레스 자연학에서 장소들은 물체들[신체들]의 운동적[역동적]인 행태(le comportement)을 규정한다. 그러나 이 신체들은 어떤 방식으로든 자연적 터전의 체계에 영향을 입지 않는다.따라서 아리스토텔레스의 공간은 물리학적 의미에서 절대적이다.

   르네상스에서 원자론자들과 퓌타고라스학자들의 관념들의 재출현은 아리스토텔레스의 비판이며 새로운 과학의 진수인데, 이는 물리학적 공간을, 무한한 공간에 즉 유클리드 기하학의 동질성과 등방성(isotrope)에 동일시하는 데로 이끈다.

   데카르트(Descartes, 1596-1650)는 아리스토텔레스의 정의와 비슷하게 터전(lieu)에 대해 정의했는데(󰡔철학의 원리들󰡕, II, §13), 그는 세계의 너비(l’étendue)를 마치 무한정(indéfinie)처럼 생각했고, 물질의 외연적인 공간은 동질적이고 등방성으로 이라고 생각했다. 그는 터전과 상황의 상대적 입장을 외연(l’extension), 즉 공간의 실체적인 개념작업과 화해시키고자 시도했다. 여기서 공간[실체]는 물체의 본성을 구성하는 것이고, 이런 개념작업 위에서 물체들의 양적이고 본질적인 성질들이 토대를 이루고 있다. 그 공간은 존재론적으로 물질과 관계에서 첫째[공간] 이다.

    뉴턴의 유명한 논증은 물로 [어느 정도] 차 있으면서 회전[자전]하는 양동이의 실험으로부터 절대공간을 선호하는 데, 그 논증은 무엇보다 데카르트를 반대하여, 아리스토텔레스로부터 상속된 터전에 대한 데카르트의 정의와 반대로 이끌었다. 물의 오목형(la concavité)은 관성력들의 현전하는 표시(un indice)이며, 관성력들은 회전의 운동에서 자기들의 기원을 갖고 있다. 이 오목형은 양동이 벽에 상대적으로 터전의 변화에 의해 설명되는 것이 아니다(왜냐하면 오목형은 때로는 물이 운동 중일 때, 때로는 물이 양동이벽과 연관하여 정지할 때 표현되기 때문이다). 실재적 본질에 상대적인 움직임에 의한 힘들의 인과적 설명에 대한 요구는 결국 뉴턴에게 다음을 제안하게 이끈다. 즉 자신의 역학의 원리들에 지지를 받으면서도, 비물질적이고 변하지 않는 공간의 현존을 제안하게 된다. 따라서 이 공간은 논리적, 존재론적, 물리적, 경험적 의미에서 절대적이다.

   라이프니츠(Leibniz, 1646-1716)는 뉴턴에 반대하여 초기 원리들로부터 선천적으로(a priori)의 논증하며, 절대 공간에 연관하여 직선적인 등속운동의 관찰 불가능성을 비판한다. 이 절대공간은 충분이유율에 금지된 동등한 상황들을 가능하게 한다. 그럼에도 불구하고 라이프니츠의 역학[동역학]은 뉴턴의 동역학과 다르며, 충분한 방식으로 관성적 힘들을 출현하는데 이르지 못한다. 라이프니츠에게서 공간은 물체[모나드]들 사이에서 이상적 관계들의 체계이며, 공간은 물체들로부터 독립적인 현존을 갖고 있지 않다.

   칸트(Immanuel Kant, 1724-1804)는 뉴턴의 물리학의 논증들에 덧붙여서, 좌우 대칭형적(énantiomorphe: 거울 속에 서로를 비추는 이미지)인 물체의 현존으로부터 라이프니츠의 입장을 공격한다. 그에 따르면, 공간의 순수한 직관에서 지각되어, 오른 손과 왼 손 사이에 내생적 차이가 있다. 이 때 각 손의 부분들의 내부 공간적 관계들은 엄격하게 동일하다. 칸트는 순수 직관으로서공간을 실재성(réalité)이라 설치하였고(doter), 동시에 감성의 선천적 형식으로서, 즉 감성적 자료들의 수용성의 선천적 조건으로서공간은 권리상 실체로서 구성될 수 없는 선험적 이상성(idéalité)이다.

   19세기에 로바쳅스키(Lobachevskii, 1792-1856), 보야이 / 볼이야이(Bolyai, 1802-1860), 리만(Riemann, 1826-1866) 등에서 비유클리트 기하학들의 발전들은 다른 수학적 공간들의 가능성을 증명했다. 게다가 헬름홀츠(Helmholtz, 1821-1894)는 지각적 공간과 물리적 공간의 구별하는 필요성을 제기하였다. 전자는 우리의 감각적 지각작용에서 틀로 쓰이고, 후자는 거기서 물리학의 법칙에 복종하는 과정들이 일어난다고 한다. [지각작용의 공간은 기억과 연관 있으면서 인격적인 또는 인간적인 측면에서 다루어진다면, 이에 비해 물리학이 다루는 공간은 계산 가능한 또는 실험 가능한 공간 안에서 반복에 의한 법칙을 발견하는 것이리라.]

    라이헨바흐(Hans Reichenbach, 1891–1953)는 다음과 같은 질문들에 응답을 제시한다. 즉 지각적 또는 물리적 공간의 기하학은 어떤 기하학인가? [답으로는] 합동(la congruence) 즉 길이들의 동등이라는 정의에 대해 선결되어야 할 선택이 필수적이다. 합동의 정상적인 정의는 다음을 결정하는데 있는데, 사람들이 이 횡선들을 이동했을 때도 엄격한 횡선들(les barres rigides, 팽팽한 평행선)[≡ 합동기호?]이 자기 자체와 합동인지를 결정하는데 있는데, 이것은 독립적인 경험적 실험(테스트)의 대상이 될 수 없다(정상적 정의는 동등시간성의 시계에 의해 측정된 간격들에서 이해될 수 있다). 합동의 정의가 일단 선택되면, 경험만이 공간의 기하학을 규정한다(기하학의 상대성의 주제). 따라서 적합한 협동의 정의를 선택한다는 조건에서(기하학적 협약주의), 물리적 공간을 서술하기 위하여 어떤 기하학도 이용하는 것이 가능하다.

   푸앙카레(Jules-Henri Poincaré 1854-1912)는 아인슈타인(Einstein, 1879-1955)의 작업들에 앞서서, 기하학적 차이들을 이용해서 경험적으로 동등한 서술들의 가능성을 생각했었다. 그리고 그는 이 보다 단순한 유클리드 기하학을 결코 포기하지 않을 것이라고 믿었다.

   제한적 상대성은 길이라는 새로운 척도(un étalon)를 또는 불변항을, 즉 두 사건들 사이에 시공간적인 간격을 도입한다. 그러나 4차원의 평면 기하학을 보존한다. 시간 좌표가 공간좌표들과는 다른 지위를 소유한다는 생각이 주어지면서, 사람들은 유사-유클리드(pseudo-euclidien)의 시간-공간에 대해 말한다. 이런 시간-공간은 뉴턴의 의미에서 관성적 궤적들을 규정한다. 그런데 이 시간공간은 민코프스키(Minkowski, 1864-1909)에 따르면 독립적 실재성이고, 그리고 그것의 지위는 뉴턴의 절대 공간의 지위와 전혀 다르다.

   일반 상대성 이론은 중력의 뉴턴 이론을 대체 했는데, 이 이론은 중력적인 장(場)과 동일한 치수[거리, 미터법]적 장의 현존을 제시한다. 이런 장의 구성물들은 얼어붙어 있지 않고, 오히려 물질적 내용을 함수로 해서 변한다. 합동이라는 정상적 정의를 수단으로 해서 사람들은 태양의 주변에서 시간-공간은 검증할 수 있은 것이고, 마치 아인슈타인의 장의 방정식들의 해결책과 같은, 변할 수 있는 곡선의 리만적인 변항(une variété)이라 부르는 것이다. 그리고 그것의 곡선은, 사람들이 중심에서 멀어짐에 따라, 제로(0)로 향한다. - 리만의 종합적 기하학과 변항들의 리만적인 분석적 기하학을 혼동하지 않아야 한다. 전자는 저 위에서 언급했던 긍정적 상수 곡선에 속하는 공리적 기하학이고, 후자의 곡선은 각점에서 변할 수 있으며, 부정적, 긍정적, 또는 전혀 아닌 것일 수도 있다. 행성들은 측지학의(géodésique) 가장 똑 바른[직선적인] 길들에 따라서 시공간적 변항 위에서 자리 이전이 된다. 이 길들은 관성적인 궤적들에 해당한다(물체의 궤적들은 중력작용과 같은 힘을 감당한다).

  장의 방정식들은 동등하게 전지구적 또는 우주론적 해결책들을 인정한다. 그러나 현실적 시간에서 – 심지어는 일반 상대성의 타당성을 인정하면서도, 이 상대성 이론은 특수상대성 이론과 반대로 확증된 이론으로 남아있다. - 기하학 일체[집합] 속에서 우주의 기하학에 관해서 발언하는 것은 가능하지 않다.

   일반 상대성의 시간-공간은 실재성이다. 왜냐하면 그것의 장은 하나의 실재성이기 때문이다. 그 실재성은 물리학적 의미에서 절대적일 수 없으나 존재론적 의미에서 절대적인채 남아있다. 이 때문에 장의 방정식들은 여러 “공허한 해결책들”을 인정한다. 말하자면 이 해결책의 중의 미터법[치수측정]은 물질의 부재에서 무화되지 않는다[무력화되지 않는다]. 이런 해결책들 중의 한 해결책은 민코프스키의 평평한 시간-공간이다. 사람들이 장의 근원들로부터 멀어졌을 때, 이 해결책은 지역[지엽]적 해결책들의 제한으로서 제시되었다(예를 들어 태양).

   모든 것은 마치 독립적인 현존을 갖춘 것으로 여기는 유사-유클리드적인 시간-공간이 있는 것처럼, 일어난다. 그리고 유사-유클리드적인 시간-공간은 질량들의 현전에 의해 “곡선화되어” 있을 것이다. 이런 조건들에서, 절대적 공간의 모든 잔여[나머지]는 일반 상대성에서 제거되지 않는다. 미터법의 장치들의 행태들(les comportements)은, 팽팽한 평행들(barres rigides)이든 시계추들이든 또는 동등들[등치]이든(광선들과 자유 입자들), 미터법적인 구조에 존재론적 토대를 제공하지 못한다. 그러나 오히려 이행태들은 – 장에 미치는 이것들[행태들]의 고유한 영향을 무시할 수 없다는 정도에서 – 절대적 시간-공간의 또한 물질-에너지의 상호작용에서 생겨나는 구조의 계시자들(les révélateurs, 예고자들)이다. (M. Ghins) (5:21, 54OLH)

*인명록

460k 레우키포스(Leucippe, Λεύκιππος, ?-? 전460경-370경) 압데라출신, 그리스 철학자, 원자론 발명자(433년 활동). 데모크리토스의 스승(?)

460 데모크리토스(Démocrite, Δημόκριτος/Dêmókritos, «choisi par le peuple», 전 460경-전370)(90살?) 아브데라( Ἄϐδηρα/Ábdēra) 출신이다. 원자론자. 53권의 저술을 썼으나 남아있지 못하다. [소크라테스에 비해 10여 년 어리다. 플라톤 보다 33살 정도 많다.]

384 아리스토텔레스(Aristote, Ἀριστοτέλης/Aristotélēs, 384-322: 62살) 스타지르(Stagire)에서 탄생(플라톤 나이 33세였고). 아리스토텔레스는 367년(17살)에 플라톤의 나이 50살에 아카데미아 입학했다고 한다.

330 유클리드(Euclide, 330-270), 『기하학 원론(Eléments de Géométrie)』

O

1596 데카르트(René Descartes, 1596-1650) 프랑스 수학자 의학자 철학자이다. 그는 새로운 철학의 방법을 제시하고, 당시 카톨릭의 비판을 피하여 네델란드에서 지냈다.

1642 뉴턴(Sir lsaac Newton 1642-1727) 런던. 영국 출신의 물리학자․수학자. 17세기 과학혁명의 상징적인 인물이다.

1646 라이프니쯔(Gottfried Leibniz, 1646-1716) 이 다재다능한 철학자는 프랑스에 거주한 시간이 많아서 많은 작품을 라틴어와 프랑스어로 썼다. 그리고 그는 뉴턴과 서로 달리 미적분을 발명하였다.

1724 칸트(Immanuel Kant, 1724-1804), 독일 계몽기 비판철학자. 뉴턴의 절대공간의 이념을 바탕으로 인식과 도덕을 전개하고자 하였다.

1792 니콜라이 로바쳅스키(Nikolai Ivanovich Lobachevskii, 1792-1856) 러시아의 수학자. 유클리드기하학의 기초공리를 검토하여 유클리드기하학과는 전혀 다른 새로운 기하학의 성립 가능성을 상정(想定)하여, 비유클리드기하학을 창시하였다. 그 외 ‘로바쳅스키 방정식’으로 불리는 대수방정식의 수치해법을 행하는 등 폭넓은 연구를 하였다.

1802 보야이(Janos Bolyai 1802-1860) 헝거리 수학자. 퍼르커스 보야이의 아들. 1823(21살)에 비유클리드기하학을 생각했다.

1821 헬름홀츠(Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz, 1821-1894) 독일의 생리학자, 철학자, 물리학자.

1826 게오르크 리만(Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866)(40살) 독일의 수학자. 수학의 각 분야에서 획기적인 업적을 남겼는데, 복소함수의 기하학적인 이론의 기초를 닦아주었으며, 리만적분을 정의하고, 리만공간의 개념을 도입하여, 리만공간의 곡률(曲率)을 정의하였다. 곡률이 양[正]인 곡면상에서의 기하학은 리만기하학이라 불린다.

1854 푸앙카레(Jules-Henri Poincaré 1854-1912) 프랑스의 수학자․이론천문학자․과학철학자. 우주진화론, 상대성이론, 그리고 위상수학에 영향을 미쳤고 일반대중에게 과학을 해석해주는 탁월한 재능을 가졌다.

1879 아인슈타인(Albert Einstein, 1879-1955) 미국 이론물리학자. 광양자설, 브라운운동의 이론, 특수상대성이론을 1905년 발표하였으며, 1916년 일반상대성이론을 발표하였다.

1864 민코프스키(Hermann Minkowski, 1864-1909) 러시아 제국 태생 독일 수학자. 수론의 문제를 기하학적인 방법을 사용하여 푸는 기하학적 수론, 수리물리학, 상대성 이론 등에 업적을 남겼다. / 민코프스키 시공간(Minkowski space-time)은 아인슈타인의 특수 상대성 이론을 잘 기술하는 시공간의 수학적 모델링이다

1891 라이헨바흐(Hans Reichenbach, 1891–1953) 독일 과학철학자. 논리실증주의자. 확률론으로 학위를 했다. 󰡔상대론적 시공간론의 공리(Axiomatik der relativistischen Raum-Zeit-Lehre, 1924)󰡕, 󰡔시공간론 철학(Philosophie der Raum-Zeit-Lehre, 1928)󰡕

1948 겡스(Michel Ghins, 1948-), 벨기에 루방 카톨릭 대학 철학 교수. 물리학철학, 과학철학 전공. 󰡔뉴턴에서 아인슈타인까지 관성과 절대적 시간-공간(L'inertie et l'espace-temps absolu de Newton à Einstein. Une analyse philosophique󰡕(1990)

(6:31, 54OLH)

# 참조: 수학에서 공간(En mathématiques, un espace) : 프.위키피디아에서

- fr.Wiki: 이 원문은 2020년 10월 26일 17:20(le 26 octobre 2020 à 17:20) 등록되었다. -

수학에서 공간은, 보통 기하학의 대상들에 유사한 대상들을 수학에서 정의하게 해주는, 주목할 만한 보충적 구조들을 갖춘 집합이다. 이 요소들은 문맥에 따라서 점들, 벡터들, 함수들로 불리워질 수 있다. 여기에 몇가지 예들이 있다.

[1] 위상적 공간(Un espace topologique)은 (위상학에서) 매우 일반적인 구조를 갖추고 있는 집합이다. 이 구조는 점에 이웃하는 용어를 정의하도록 해준다. 이런 구조는 연속성과 한계 등의 용어를 정의하기 위한 언어를 제공한다.

[2] 거리(측정, 미터) 공간(Un espace métrique)은 하나의 위상적 공간인데, 거리를 수단으로 이 공간의 위상학이 정의된다. 이 거리는 한 집합의 크기(직경)를, 한 점과 근접성(proximité)을 추정(평가)하게 한다.

[3] 획일적(균일한 등속도) 공간(Un espace uniforme)은 하나의 위상적 공간인데, 이 공간의 위상학은 유한한 틈[간격]의 일체에 의해(덧붙이면 떨어져 있는 조건에서) 정의 된다. 이 획일적 공간들은 특히 위상적 그룹들을 포함한다.

[4] 벡터 공간(Un espace vectoriel)은 한 집합인데, 그 집합의 요소들 즉 벡터들은 스칼라양들에 의해 보태어지고 또 곱해질 수 있다. 주어진 물체 위에서, 벡터 공간들은 벡터공간들의 차원에 의해, 또한 그 어떤 토대로든지 기수(le cardinal)의 정의에 의해, 분류된다. 의사(擬似, affine) 공간은 비정형적 방식으로 벡터 공간이며, 벡터 공간에서 영벡터(le vecteur nul)의 자리(지위)는 망각되었다. 이런 구조는 선형성(線形性, linéarité)에 대해 말하도록 허락해준다.

[5] 벡터적 공간이란 구조와 동시에 위상적 공간이란 구조가 갖추어진 집합은, 어떤 의미에서는 이 둘이 양립할 수 있는데, 위상적 벡터 공간(un espace vectoriel topologique)이라 불린다.

5.1 규범적 벡터 공간은 위상적 벡터 공간이다. 이 후자 속에서 사람들은 벡터의 길이 용어로 규범[표준]을 – 특히 길이로 거리공간을 만드는 것을 – 정리 정돈한다. 그러나 몇몇 위상적 벡터 공간들은, 이것들의 위상이 규범[표준]에 의해 정의될 수 없을 지라도, 길이를 잴 수 있다.

5.2 지엽적으로 볼록형의 위상적 벡터 공간[비유클리드 공간]은 위상적 벩터 공간인데, 이 공간에서 위상학은 반(半)-규범들의 집합에 의에 정의 된다.

5.3 DF공간도 지엽적으로 볼록형 공간의 유형이다. - [DF: 프랑스 수학자 프레셰(Maurice Fréchet, 1878-1973)의 개념이다. DF: Dérivée de Fréchet → Dérivée fonctionnelle.]

[6] 민코프스키 공간은 내적 생산물을 갖추고(벡터 사이에서 다양체) 또 기호들을 갖춘(+, -, -, -[사칙연산을 잘못 표기한 것일까]) 4차원의 벡터 공간이다. 이 내적 생산물은 직교(orthogonalité)의 용어를 정의하도록 해준다. 주어진 한 점에서 거리인 한에서 해석된(비록 이것이 수학적 의미에서 거리가 아닐지라도), 이 내적 생산물은 공간을 두 부분으로 떼어 놓는다. 즉 하나는 제한된 거리로 [떨어져] 있는 점들의 공간이고 다른 하나는 접근할 수 없는 점들이 공간이다. 제한된 상대성의 틀에서 해석된, 이 접근불가능한 시간-공간의 점(지위, 날자)들은 빛의 속도를 넘어섬이 없이는 도달한다는 것이 불가능한 점들이다.

심플레틱(symplectique, 접합적)한 벡터 공간은 유한한 차원의 벡터 공간이며, 반대칭적이며 퇴화되지 않는 이중선형의 형식을 갖추어져 있다.

확률론의 이론에서(그러나 마찬가지로 결정의 이론)에서, 요소적인 사건들의 공간은 우주[세상]라 불린다. 이것은 어느 정도로는 작업 공간이다. 한 종족(une tribu, 단체)에 관해 척도를 갖춘 우주[세상]은 개연적 공간을 형성한다. (54OLH)

념공간F2021물리학.hwp

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