무용

[호호]

<<칸토어가 들려주는 집합 이야기>> 나숙자 지음. 자음과모음.

//밤하늘에 떠 있는 별의 아름다움이 무리수를 동행한 황금비로 이해되고

풀꽃들의 조화가 피나보치 수 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ---로 해석되며

로또 복권에 당첨될 확률 1/8245060을 계산하여

쓸데없는 기대와 허영심의 유혹을 뿌리치고//

두 사람이 여행을 하다 밤하늘을 올려다 보거나 길가의 풀꽃들을 보며, 감상이나 정서, 개인적 경향이나 취향을 이입하지 말고 무리수를 동행한 황금비를 찾아보고 풀꽃들의 아름다움을 피나보치 수로 해석해 보면 어떨까? 수학이 매력 있다면 서로 공유한 일정한 공리 아래서 답을 찾을 수 있고, 풀이를 해 볼 수 있다는 점이다. 인간 집단들의 관계를 (A∩B)ⁿ=Aⁿ∪Bⁿ, (A∪B)ⁿ=Aⁿ∩Bⁿ (ⁿ 은 여집합) 드 모르간 법칙으로 설명할 수도 있지 않을까? 친족구조나 가족구성이나 사회 집단간의 관계도 이렇게 나타낼 수 있지 않을까도 싶다. 인류학자 레비스트로스도 원주민들의 친족구조가 너무 복잡하여 수학자에게 의뢰하여 관계도를 그릴 수 있었다고 한다.

집합론은 1874년 칸토어가 29세 되던 해 발표하였다고 한다. 그는 ‘집합론’를 발표하기까지 10년 동안 주저하였다고 한다. ‘집합론’을 발표하고 엄청난 비난과 비판을 받아서 정신병원을 들락거렸고, 결국 죽음에까지 이르렀다고 한다. 저자에 의하면 그가 비난을 받았던 이유는 //무한의 수학인‘집합론’을 발표하면서 당시의 수학자들이 금기시했던 무한집합을 문제 삼아 무한의 개념을 밝혔기// 때문이라 한다. 당시 신만이 ‘무한하다’고 생각했던 사람들에게 무한에 대한 연구가 당연히 신을 모독하는 행위로 여겨졌다고 한다. 수학이란 단순한 도구나 수단이 아니라 사유체계가 아닐까 싶다. 세상을 해석하는 방식의 거대한 전환. 칸토어는 ‘수학의 본질은 자유에 있다.’라고 하였다 한다.

//연산이란 두 개에서 같은 종류의 새로운 대상 하나를 만드는 과정입니다. ----임의의 것에서 출발해 또 다른 무엇인가를 만들어 내는 함수 상자 같은 역할인 데다 새로운 대상이 어딘가에서 생겨난다는 것은 멈춤이 없다는 이야기다//

연산이란 남녀가 만나서 결혼을 하고 또 다른 아들 딸들을 낳는 일련의 과정 같다. 연산 개념을 알게 되었다는 것만으로 이 책을 읽은 의미가 있다. 읽다보면 기호 하나 문자, 혹은 개념 하나까지 허투루 만들어진 것이 없다. 하나의 기호나 공리가 만들어지기 위해서는 적게는 몇 년에서 몇 백 년의 노력과 연구가 있었다는 생각이다.

집합(set)은 어떤 주어진 조건에 따라 그 대상을 분명히 알 수 있는 것들의(원소) 모임. 집합을 표현하는 방법은 원소를 하나하나 나열하는 원소 나열법이 있고, 공통된 성질을 제시해 나타내는 조건 제시법이 있다. 두 가지 방법이 다 가능하다. 집합의 종류를 크게 분류해 보면 유한개의 원소로 되어 있는 유한집합. 무한개의 원소로 되어 있는 무한집합, 원소가 하나도 없는 공집합으로 나눈다. 찬찬히 읽다보면 의문이 생긴다. 분명 집합을 어떤 주어진 조건에 따라 그 대상을 분명히 알 수 있는 것들의 모임이라고 하였다. 유한집합은 알겠는데, 무한집합과 공집합에 대해서는 의문이 든다. 어떤 조건에 따라, 그 대상을 분명히 알 수 있는 것들, 의 모임이 무한과 조합이 맞나 싶다. 어떤 틀이 주어졌는데 그 틀이 무한하다는 의미 같다. 공집합은 마치 숫자 0과 비슷해 보인다. 실체가 없는데 즉 원소가 없는데 집합이라고 하였다. 무한집합 A=<x/x는 자연수> 조건제시법으로 표현해 보면 좀 더 명확해 진다. 어떤 주어진 조건+대상을 분명히 알 수 있는+모임. 모임하면 어떤 한계나 경계가 있어야 한다고 생각하기 쉬운데 무한할 수도 있다. 공집합B=<x/x는 2보다 작은 짝수>. (1)어떤 주어진 조건+ (2)대상을 분명히 알 수 있는 것들+(3)모임. (1)과 (2)에는 분명히 해당되는데 (3)모임이라? 0도 수라면 분명 공집합도 집합이다. 뭔가를 이해하고 해석하기 위해서는 이래서 상상력과 창조력이 필요한걸까? 그래서 수학의 본질은 자유에 있다고 했을까?

사칙연산은 덧셈, 뺄셈, 곱하기, 나누기다. 집합에도 연산이 있다. 정확히 대응하는 것은 아니지만 집합도 연산이 가능하다. 사칙연산은 개체의 연산이지만, 집합의 연산은 집합의 연산이다. 연산이란 두 개에서 같은 종류의 새로운 대상 하나를 만드는 과정입니다. 사칙연산 1+1=2 는 두 개에서 같은 종류의 새로운 대상 하나를 만드는 과정이다. 집합의 연산이란 두 집합에서 같은 종류의 새로운 집합을 만드는 과정이다. 집합의 연산을 하기 위해서는 우선 밴다이그램과 부분집합을 알 필요가 있다. 밴다이그램은 직역하면 밴의 그림이다. 밴이라는 수학자가 집합을 그림으로 표현한 것이다. 그림으로 표현하면 집합의 교차나 관계를 쉽게 알 수 있다. 부분집합은 두 집합 A와 B에서 집합A의 모든 원소가 집합B에 속할 때, A는 B의 부분집합이라고 하며, A<B로 나타낸다. 연산을 하기 위해서는 부분으로 나누고 관계를 맺어줘야 하기에 이런 과정이 반드시 필요해 보인다. 덧셈, 뺄셈, 곱셈,나눗셈이 있다면 집합의 연산에는 합집합, 교집합, 차집합, 여집합이 있다. 사칙연산과 일대일로 대응하지 않지만 집합을 연산하는 방법이다. 그냥 이렇게 생각해 보자. 집합을 곱하고 나누고 빼고 더하는 방식이다. 지금이야 ‘상식’처럼 들리지만, 당시에는 참 엉뚱한 발상이거나 엉터리 주장이라고 할 수도 있었겠다 싶다. 이걸 발명이라고 해야할지, 발견이라고 해야할지는 모르겠다. 어떤 화학자가 공기 중에 어떤 원소를 발견하듯이 어떤 수학자가 세계에 존재하는 어떤 질서를 발견하였다고 할 수도 있지 않을까? 그가 실수?로 신들의 영역이라는 ‘무한’ 영역을 침범하여 수난을 당했지만.

/유한의 세계를 뛰어넘는 무한을 드나들려면 먼저 여러분이 갖고 있는 고정관념부터 과감하게 버려야 합니다. 생각의 폭을 넓혀야 하거든요/

집합론에서는 크기 비교의 가장 기초적인 개념이 일대일대응이라고 한다. 그리고 바로 그 일대일대응이 ‘집합론’의 뿌리라고 한다. 수에서는 5는 1의 다섯 배의 크기이지만, 집합에서는 A집합에 1이라는 원소가 한 개 있고, B라는 집합에 5라는 원소가 한 개 있다면 크기는 같다. 일대일대응 관계가 성립되기 때문이다. 이를 집합의 농도(원소의 개수)같다라고 약속한다.그런데 유한집합에서는 누구나 수긍한다고 한다.그런데 무한집합으로 들어가면 의문을 갖는다고 한다. A=<x/x는 자연수>, B=<x/x는 홀수> 라는 집합이라면 A집합과 B집합은 같다라고 할 수 있다. 그런데 자연수는 전체집합이고 홀수는 부분집합인데 어떻게 대응이 가능한가? 일대일대응 관계는 1-1, 2-3, 3-5,----식으로 대응해야 한다. 일대일대응을 하려면 홀수 1은 번호1, 홀수 3은 번호2, 홀수 5는 번호 3번을 부여한다. 모든 홀수는 반드시 번호표를 하나씩 부여받을 테니까 자연수는 하나도 빠짐없이 자신과 같은 수의 번호를 부여받은 홀수와 짝이 될 수 있다고 한다. 무한이니까.그래서 무한 세상에서는 부분이 전체와 같을 수도 있고, 원래 수에서 명 개의 숫자를 빼도 자기 자신과 크기가 같다고 한다.

N=<1,2,3,4,5,----n>

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O=<1,3,5,7,9,---2n-1>

단 자연수 전체와 정수, 그리고 유리수 전체를 일대일로 빠짐없이 대응시킬 수 있지만, 자연수 전체와 실수 전체는 일대일로 대응시킬 수 없다고 한다. 실수는 번호를 붙일 수 없기 때문이라고 한다.

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당시에는 집합론이 극심한 비난을 받았지만, 현대 수학은 집합론을 빼고 이야기할 수 없다고 한다. 집합론은 방정식, 함수, 부등식 세상에서도 어김없이 나타낼 수 있다고 한다.

A∪Aⁿ=U, A∩Aⁿ=∅, A-∅=A, A-A=∅, n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B) 등을 어린애들이 숫자를 세듯이 손가락으로 꼽아가며 하나씩 풀이를 반복하다 보면 사칙연산을 자연스럽게 익히게 되고, 또 집합의 연산도 익숙해지지 않을까? 처음에는 더디고 어렵지만 뭔가 하나를 풀면 보람이 있다. 어린애들이 글자를 깨우칠 때 보면 눈이 반짝반짝 하는 듯하다. 하나의 미지의 세계을 얻었기 때문이 아닐까? 개안 즉 눈을 떴기 때문이 아닐까? 보여지는 것 너머에는 더 많은 볼 것이 있지 않을까?

[봄빛]

/유한의 세계를 뛰어넘는 무한을 드나들려면 먼저 여러분이 갖고 있는 고정관념부터 과감하게 버려야 합니다. 생각의 폭을 넓혀야 하거든요/
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폭을 넓혀가다....무한....한계가없다. 제한이 없다.

제한이 없기 때문에 정확하게 알아야 하는 걸로 받아들입니다.

/친족구조나 가족구성이나 사회 집단간의 관계도 이렇게 집합으로 나타내다. 인간 집단들의 관계를 (A∩B)ⁿ=Aⁿ∪Bⁿ, (A∪B)ⁿ=Aⁿ∩Bⁿ (ⁿ 은 여집합) /

수학으로 답이 나올수도 있군요.