#해석 제가 풀은 문제 맞는지 좀 봐주세요

[내게로와]

1.Show that for each R>0, if n is large enough,
P_n=1+z+z^2/2! + ....... + z^n/n! has no zeroes in lzl≤R.

P_n is analytic in lzl≤R and P_n ->exp(z) uniformly on compact in lzl≤R
exp(z) has no zeroes anywhere.

(저위의 2줄이 제가 쓴건데요 이렇게 생각한게 맞나요? 뭔가 석연치않은 부분이..움--;)

2. 함수 f와 g는 regular closed curve r와 그 내부에서 해석적(analytic)이다. 모든 z∈r에 대해서 f(z)≠0 이고 z_1,z_2가 f의 r 내부의 유일한 zero, 즉 f(z_1)=f(z_2)=0이면

(1/2파이*i)∫_r g(z)*(f'(z)/f(z))dz=g(z_1)+g(z_2)

임을 보여라

f(z)=(z-z_1)^k*(z-z_2)^m*q(z)

f'(z) = k(z-z_1)^(k-1)*(z-z_2)^m*q(z) + (z-z_1)^k*(m)*(z-z_2)^(m-1)*q(z)

          + (z-z_1)^k*(z-z_2)^m*q'(z)

f'(z)/f(z)=k/(z-z_1)+ m/(z-z_1) + q'(z)/q(z)

g(z)*(f'/f)=g(z)* k/(z-z_1)+ g(z)*m/(z-z_1) + g(z)*q'(z)/q(z)

이 다음부터 어떻게 풀어나가야할지 모르겠어요 제가 아는 바로는

(1/2파이*i)∫_r (f'(z)/f(z))dz = Res(f'(z)/f(z); z_1)  + Res(f'(z)/f(z); z_1) = k+m

이잖아요 그런데 Res(g(z)*(f'(z)/f(z); z_1)과 Res(g(z)*f'(z)/f(z); z_2)는 어떻게 g(z_1)과 g(z_2)가 나오는것이죠????

수학 고수님들~~저희 문제를 해결해주세요~~~

3. Find the Laurent expansion for

    exp(1/z^2)/(z-1) about z=0

이거 아무리 계산해도 답이 안맞더라구요

다른 것들은 Laurent 전개가 나오는데 이건 잘 안나오구...흑흑....누군풀고 누군 못풀구...전 바보인가요??--;

4.번 5.번은 제가 교재에 있는 예제들을 보다가 의문나는 사항입니다. 어떤 점을 제가 놓친건지 콕~! 찝어주세요~

4. Suppose that f is analytic and bounded by 1 in the unit disc and that f(1/2)=0. We wish to estimate lf(3/4)l. Since f(1/2)=0

g(z)=      f(z)/{(z-1/2)/(1-(1/2)*z) }    if z≠1/2

      { 3/4*f'(1/2)   if z=1/2        

뒷내용은 그만 쓸께요. 그런데 의문나는 점은 밑줄친 3/4 입니다 왜 저기에서 3/4로 설정해 주는 겁니까?

5. Next we show that among all function f which are anayltic and bounded by 1 in the unit disc, maxlf'(1/3l is assumed when f(1/2)=0.

(해석적이고 단위원상에서 1로 유계되어있는 모든 함수들은 f(1/3)=0일때 maxlf'(1/3)l은

 가정되어진다. 이거 제생각대로 해석한건데 맞나요??)

Suppose f(1/3)≠0 and consider      

g(z) = (f(z)-f(1/3))/((1-f(1/3)*f(z))

again, since              

l (w-f(1/3)) /(1-f(1/3)*w)l   =   1

when lwl=1, while lfl<1 in lzl<1, the Maximum-Modulus Theorem  assures us that g, like f, is bounded by 1.

A direct calcuations show that

g'(1/3)= f'(1/3)/( 1-lf(1/3)l^2 )     <-제가 이부분은 알겠는데요

so that

lg'(1/3)l>lf'(1/3)l.                         <-왜 이부분에서는 이렇게 바뀌어버리나요?@@

                                                       그리고 이게 의미하는 바가 뭔가요?

We note that maxlf'(1/3)l is assumed by function B_(1/3) (z)=(z-1/3)/(1-( 1/3 ) *z)

6. Show that if f is analytic and non-constant on a compact domain, Ref and Imf assume their maxima and minima and on the boundary.

이것은 Open mapping theorem을 이용해서 푸는 건데요 처음부터 어떻게 잡고 풀이를 써내려가야하는지 감이 안와요

제가 써놓은 6문제 중에서 앞의 4~5번 빼고 나머지 부분은 대충 처음에는 아~이거 뭐로 하겠구나 라는게 생각이 드는데 6번처럼 저에게 feel이 안오는 문제는 처음인것같네요...--;;

제가 제 교재로 7장 8장 9장 10장을 공부해서 모르는 거에 대해서 질문한건데요 제가 써놓고서도 참 어이없네요. 어떻게 저런거 모르면서 진도를 나간건지....

죄송해요...ㅠㅠ 하지만 이대로 공부하면 오히려 앞으로의 진도에 도움이 안될것같아서요..

도와주세요~~~~~

[푸른하늘]

교과서를 잘 보심이.. 지금은 풀이는 기억이 안나고 문제만 기억이 나느라 답변은 못달겠지만, 거의 예제급 문제들이네요. 문제낯이 익은거 봐서 같은 책이지 싶은데... 좀 더 열심히 공부하시면 될거라는 답변이 최상일듯. 책보고 다시 공부해서 답변을 달긴 너무나도 귀찮은 일이라..

[내게로와]

잘 모르겠으니깐 여기에다가 글을 올렸죠 그냥 모르면 제가 글을 올렸겠어요?낯익은거랑 알고있는거랑은 틀린거에요 저 7장부터 10장까지 3주 동안 혼자서 고민했거든요 그래도 모르겠어서 올린건데 님 답변 너무한듯싶네요. 제가 고민해도 머리가 멍청해서 안돌아가서 여기에다가까지 올리게 되는 심정 님은 이해 못해요

[푸른하늘]

1번은 roche thm을 쓰셔야되고, 2번은 res구할 때 분모만 미분한 후에 그 값 대입하면 되는거니까 해결되는거 같고, 3번은.. exp(1/z^2)가 z=0에서 series전개가 불가한데.. 잘 모르겠고.

[푸른하늘]

4번은 transform해주는 function에서 만족하는 조건이 두 개있는데, 하나는 f(z), 하나는 f'(z)에 대한 것인데, 이 두개를 모두 이용해주면 왜 그런지 알 수 있고, 5번은 4번과 마찬가지로.. max|f'(1/3)|를 구할 수 있습니다.

[푸른하늘]

6번은 만약 inner 지역에 maxima, minima가 있으면 여차저차해서 상수함수가 될겁니다. 이것도 정리 이용. 정리이름이 기억이 안나서.

[블러디]

6번은 굳이 open mapping theorem 을 쓰라면, Ref 와 Imf 가 open map 임을 보인후에 maximum princple 의 증명을 그대로 따라가시면 됩니다. domain 의 내부 이미지가 open set 이 되니까요.

[내게로와]

흠.....그래도 6번은 여전히 잘 이해안되네요..--;;다시 열심히 풀어볼께요