무용

[호호]

<<피타고라스가 들려주는 피타고라스의 정리 이야기>> 백석윤 지음. 자음과모음.

배가 고픈 고양이가 항의 표시로 노트북의 backspace를 파손했다. 그 후 노트북 뚜껑은 언제나 닫혀있다. 책상에 펴진 책을 발톱으로 찢어놓기 시작하여 잠자리에 들기 전에 안전한 위치에 두게 되었다. 이게 전부다.

피타고라스는 2500년전 인물이고, ‘만물은 수이다’를 주장했다 한다. 정치적 반대파들에게 체포되어 죽임을 당했다고 한다. ‘피타고라스 정리는 피타고라스보다 500여 년 앞선 고대 중국에서도, 그보다 1,000여 년 앞서 메소포타미아 문명권에서도, 인도나 이집트에서도 유사한 기하학적 성질이 발견되었다고 한다.

//직각삼각형 빗변 길이의 제곱은 나머지 두변 각각 길이의 제곱의 합과 같다//

당시에는 수식도 없었고, 수학적 기호도 계발되지 않아서 문자로 밖에 표현할 수 없었다고 한다. 찾아보았지만 피타고라스 정리는 딱 이 한 문장일 뿐이다. 저자는 ’이 세상에 무한히 많은 모든 경우를 한결 같이 만족시키는 하나의 성질을 찾아냈다는 사실, 대단한 발견 아닙니까!‘

고로 /수학은 아름답다/가 증명되었다고 한다. 이 세상에 무한히 많은 모든 경우를 만족시키는 한 마디 문장. 경이롭다. 아주 여러 번 ’정리‘ 읽기를 반복하였다. ’수식‘ 한 개로 이 세상을 평정하다니.

종교가 믿음의 문제라면, 수학은 ’아는 것‘의 문제가 아닐까? 종교의 교리는 믿음으로서 ’진리‘가 되고, 수학은 ’증명‘으로서 ’진리가 된다. 수학은 ‘선언’한다고 ‘진리’가 되는 것이 아닌 모양이다. 믿음은 ‘분쟁’을 일으키지만, ‘증명’은 오류를 일으키지만 ‘분쟁’을 유발하지는 않는 듯 하다. 지금까지 피타고라스 정리를 증명하는 방법은 340여 가지가 넘는다고 한다. 물론 피타고라스 자신도 증명을 하였다. 증명이 없는 정리는 없으니까? 저자는 여기에 아홉가지 증명 방법을 제시하고 있다. 증명을 다 이해할 수 없었지만, 한 개 한 개 손으로 짚어가면서 따라가다 보면 왜 사람들이 수학을 아름답다고 하는지 아주 아주 조금은 이해할 수도 있겠다 싶다.

피타고라스는 정사각형을 이용하여 증명하였다. 정사각형의 넓이 공식은 가로*세로+넓이이다.

직각삼각형의 세 변에 그 변의 길이만큼 정사각형 이어 세 개를 만든다. 삼각형의 밑변이 2라면 정사각형은 가로 2, 세로 2가 된다. 넓이는 4가 된다. 삼각형의 높이가 4라면 가로 4, 세로 4 넓이가 16인 정사각형이다. 그렇게 하여 (빗변의 길이)²= (나머지 한 변의 길이)²+(나머지 또 다른 한 변의 길이)²을 만족시킨다는지 대입해 볼 수 있다.. 즉 2²+4²=(빗변의 길이)² 이 된다. 높이를의 길이를 맞는 정사각형과 밑변의 길이에 맞는 정사각형의 넓이의 합은 빗변의 길이에 맞는 정사각형의 넓이와 같다. 고로 직각삼각형 빗변 길이의 제곱은 나머지 두변 각각 길이의 제곱은 같다. 피타고라스 정리의 증명은 정사각형을 이용하여 증명하였다. 당시에는 기하학적인 증명 밖에 할 수 없었다고 한다. 나는 눈금 종이에 직각삼각형을 그리고 자를 대면서 확인을 해보았는다. 정확한 작도를 할 수 없었지만, 대체로 맞아떨어졌다. 내 방법은 정리를 대입해 본 것이고 증명이 아니다.

유클리드는 피타고라스의 증명보다 다소 복잡한 방법을 사용하였는데, 정사각형의 넓이 계산을 삼각형의 합동의 성질을 이용하였다. 삼각형의 하도 조건은 1-대응하는 세 변의 길이가 각각 같을 때 SSS합동. 2-대응하는 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때 SAS합동 3- 대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝각의 크기가 각각 같을 때 ASA합동. 12세기의 인도의 수학자 바스카라는 그림 두 개를 그려놓고 추가적인 증명이나 설명 없이 ‘그림을 보시오’라는 외마디만을 남겼다고 한다. 정사각형 한 개는 한 개의 사각형과 네 개의 삼각형으로 그릴 수 있고, 그것을 다시 한 개의 정사각형과 두 개의 직사각형으로 변환할 수 있다. 이 두 그림이 같으면 고로 피타고라스 정리가 증명된다. 레오나르다빈치는 육각형과 사각형, 삼각형을 이용하여 증명하였다. 여기까지는 기하학적 증명 방법의 예시다.

/주어진 직각삼각형 ABC의 빗변의 길이가 c이고, 나머지 두 변의 길이가 각각a,b인 경우 a²+b²=c² 이것이 대수적 증명 방법의 표기다. 기하학적 증명을 문자와 수식 등을 사용하여 나타내면서 증명을 하는 방법이다. 주로 이차방정식 등이 사용된다고 한다.

일곱 번째 수업에서는 원의 성질을 이용하여 ‘정리’를 증명하는 방법을 보여준다. 원과 접선, 할선 간의 관계를 이용하여 증명한다고 한다. 삼각형, 사각형, 육각형에서 이제는 원의 성질로 증명한다. 대수학이 발견되자 대수학으로 원의 비밀이 풀리자 원의 성질을 이용하여 증명이 되고 있다. 저자는 엄밀하지는 않지만 종이 오려붙이기를 통해서도 증명할 수 있다고 한다. 주어진 정사각형을 여러 가지 방법으로 오려서 새로운 도형으로 재구성해 보면 증명이 된다고 한다.

아홉 번재 수업에서는 수학자 폴리아의 피타고라스의 정리 증명 방법이다. /폴리아는 ‘수학적 발견술’을 20세기에 부흥하게 한 수학자로 폴리아의 발견술은 수학적 문제 해결을 위한 사고 교육입니다. 폴리아의 문제 해결의 단계를 4단계 문제에 대한 이해-계획-실행-반성의 단계로 보았다/ 폴리아의 4단계가 무슨 대단한 발견이냐고 할지 모르지만, 사실 폴리아 이전에는 이런 식의 사고를 하지 못했는지도 모른다. 주술적 사고나, ‘야생의 사고’를 했을지도 모른다. 지금이야 원근법이나 인과관계 등이 ‘상식’에 속하지만, 당시에는 엄청난 사고 실험이나 발견이었다. 지금 우리가 하는 당연한 생각의 방식은 사실 주입되고 교육된 결과물이다. 타고났거나 천부적인 사고술(생각하는 기술)이 아니다. 우주선을 제조하는 등 물리적 세계에서만 기술이 필요한 것이 아니고 사고하는데도 기술이 습득되고 연마되어야 하는 것이 아닐까? 폴리아의 방법은 직각삼각형의 각 변에 닮은 도형을 만들어 그 도형들의 넓이를 이용한다. 이제는 닮을 도형을 통해 증명까지 비약한 셈이다.

다음 수업에서는 피타고라스 정리를 역증명한다. 즉 /A이면 B이다/이면 /B이면 A이다/이다를 증명하는 것이 역증명이다. 당연히 그럴 것이라고 생각할 수 있지만 수학에서는 이것도 반드시 증명되어야 하는 모양이다. 즉 역증명까지 되어야지 ‘정리’ 혹은 ‘진리’의 보증이 된다.

/모든 직각삼각형의 빗변의 길이의 제곱은 나머지 두 변의 길이의 각각의 제곱의 합과 같다/의 역증명은 /어떤 삼각형이 직각삼각형이면 그 삼각형의 빗변의 길이의 제곱은 나머지 두 변의 길이의 각각의 제곱의 합과 같다/이다. a²+b² >c²이면 예각삼각형, a²+b² =c²이면 직각삼각형, a²+b² <c² 이면 둔각삼각형이 된다. 수학은 이런 식의 관계이고 계속 연결하는 사고실험이 아닐까. 무한 수학. 무한 사고.

피타고라스 정리를 평면도형에 활용하는 방법, 입체도형에 활용하는 방법, ‘정리’에서 파생된 수학 내용이 나오는데, 반납하기 전에 한 번 더 읽어보겠지만, 성과를 기대하기는 어려워 보인다. 그럼에도 불구하고 현재로서는 반복해서 읽어보는 것 밖에 다른 방법은 없다. 출입문이 말썽을 부릴 때가 있어 기술자를 부르는 경우가 있다. 간단한 작업이라 생각하였는데 기술자는 가방 두 개를 낑낑대며 가지고 왔다. 작업 과정을 곁눈질하여 보니 왜 이렇게 많은 도구가 필요한지 알 수 있었다. 살면서 어떤 한 가지 사건을 해결하는데 우리는 생각보다 많은 품을 팔아야 하는 경우가 많다. 하나의 문제를 이해하고 해결하기 위해서는 아주 많은 사고 과정이 필요할지도 모른다. 수학도 마찬가지가 아닐까? 간단한 수식 하나를 이해하는데 수학지식 전체가 필요할 수도 있다. 지금은 모르지만 차차 나아지겠지.

[봄빛]

/하나의 문제를 이해하고 해결하기 위해서는 아주 많은 사고 과정이 필요할지도 모른다. /

앎을 향한 여정 또한 아주 많은 과정이 있은 후 얻게 되는 거겠네요.

/피타고라스는 2500년전 인물이고, ‘만물은 수이다'/라는 앎을 획득.

앎의 과정이 꽤 고난<수학읽고 쓰기>일것같아 보입니다.