무용

[호호]

<<유클리드가 들려주는 삼각형 이야기>> 안수진 지음. 자음과모음

유클리드는 지금으로부터 대략 2,300년 전 사람이다. 그는 <기하학 원본>이라고도 하고 <원론>이라고도 말하는 책의 저자다.

이 책은 그리스 수학자들과 저자의 업적, 그보다 앞선 사람들의 업적을 정리한 후 논리적인 설명을 덧붙였다고 한다. 도형에 관한 체계화된 결과들을 적어 놓은 13권짜리 책으로 ‘수학의 성서’라고 불린다고 한다.

도형의 특징은 위치, 모양, 크기이며 기본요소는 점, 선, 면이라 한다. 점은 위치를, 선은 모양을, 면은 크기와 대응한다. 도형에서 삼각형이 가장 적은 개수의 점으로 만들 수 있는 평면도형이라 한다. 위치, 모양, 크기를 나타낼 수 있는 도형 중 삼각형이 가장 작은 도형이다. 이런 이유로 삼각형이 도형의 가장 작은 단위이자, 소위 ‘원자’와 같은 역할을 한다. 도형 혹은 기하학을 공부하기 위해서는 삼각형부터 시작할 수 밖에 없을지도 모른다. 삼각형은 세 개의 꼭지점, 세 개의 변과 세 개의 내각을 가진 도형이다. 셋 이상의 직선으로 둘러싸인 평면도형을 다각형이라고 하는데 모든 다각형은 삼각형으로 나누어진다고 한다. 도형 중에 원은 삼각형으로 나눌 수 없다고 한다. 삼각형이 기하학의 시발점이다. 삼각형의 정의를 이렇게 너절하게 나열하는 이유는 중요하고 이것이 학의 시작이기 때문이다. /탈레스라는 위대한 수학자가 나타난 이후---단순한 계산만을 하던 수준에서 벗어나 논리적으로 분석하고 연역적으로 증명을 하는 기하학이 본격적으로 등장하기 시작했다/. 이런 내용을 따라가다 보면 이런 질문들이 생긴다. 인간의 삶을 구성하는 3가지는 무엇일까? 의식주?라면 인간과 사회를 설명하는 시발점은 여기에서부터 시작해야 할까?

//삼각형 ABC에서 변AB, 변BC, 변CA의 길이가 모두 같으므로 삼각형 ABC는 정삼각형이다// 중요한 정리이자 선언이다. 이것이 ‘정리’되지 않으면 내각의 크기에 따라 직각삼각형, 둔각삼각형, 예각삼각형으로 나갈 수 없고,변의 길이에 따른 이등면삼각형, 부등변삼각형, 정삼각형을 구별할 수 없게 된다. 기하학으로 나갈 수도 없을지도 모른다. //(n각형의 내각의 크기의 합) = (n-2)*(삼각형의 내각의 크기의 합)=(n-2)*180, 삼각형의 내각의 합은 180도, 삼각형의 한 외각의 크기는 그것과 이웃하지 않는 두 내각의 크기와 같다. 두 직선이 교차할 때 맞꼭지각의 크기는 같다. 등등이 증명되고 있다. 이것들은 모두 증명되었다. 수학에서 답도 중요하지만 이런 증명의 과정을 따라가다 보면 논리적으로 분석하고 연역적으로 증명하는 사고를 자연히 체득하게 되지 않을까 싶다. 그래서 기술이나 계산이 아니라 수학이 되는 것은 아닐까? 네 번째 수업에서는 삼각형의 결정조건이 나온다. 결정조건이란 하나의 삼각형을 만들 수 있는 조건이다. 세 가지가 있다. 1-세 변의 길이가 주어질 때 다만 이 조건을 충족하는 것은 두 변의 길이가 나머지 변의 길이보다 커야 한다. 2-두 변과 그 끼인각이 주어질 때 즉 두 변과 한 내각이 주어질 때 주어진 내각이 두 변 사이의 끼인각으로 놓아야 한다. 끼인각이 아니면 삼각형은 만들어지지 않는다. 3-한 변의 길이와 그 양 끝각이 주어질 때. 위 세가지 조건이 주어지면 항상 한가지 모양의 삼각형을 결정할 수 있다고 한다. 위 3가지가 결정되면 오직 유일한 단 하나의 삼각형을 만들 수 있다고 한다. 오직 유일한 나(자아)를 만들 수 있는 결정조건이 있을가? 있다면 무엇일까? 아니 현재의 나를 결정지은 조건은 무엇일까? 하고 질문을 해볼 수도 있을 것 같다.

//삼각형의 넓이= (직사각형 넓이)÷2=(가로의 길이)*(세로의 길이)÷2=(밑변의 길이)*(삼각형의 높이)÷2//

넓이의 기준은 정사각형이다. 정사각형 가로가 1 세로가 1이면 넓이를 1로 계산한다. 삼각형의 넓이를 구하기 위해서는 삼각형을 사각형을 이용하여 잴 수 있다. 그리고 모든 다각형은 삼각형으로 나눌 수 있다. 어려서 수학시간에 본 모눈종이에 삼각형을 그려보면 사각형의 틀에 삼각형을 그려넣을 수 있다. 이때 삼각형의 밑변이 사각형의 가로가 되고, 높이가 세로가 된다. 또한 사각형은 두 개의 삼각형으로 분리할 수 있다. 이 성질을 이용하여 여러 가지 방법으로 변형시키면 직사각형 모양을 만들 수 있고, 위의 공식이 산출된다. ‘나’ 라는 존재의 넓이를 측정하기 위해 나는 무엇으로 변형시켜 볼까?

삼각형의 성질을 이용하여 피라미드의 높이도 잴 수 있고, 거리도 측정 가능하고, 두 농부가 소유한 토지의 경계선도 만들 수 있다고 한다.

나는 무엇이 되어 어디로 가고 있을까?