선형대수 모르는 문제가 있어서요~~ㅜㅜ

[우유친구]

kernel (L)와 image(L) 를 구하는 문제예요~~

잘모르겠어서 이렇게 올립니다~~

L:R^4--->R^3 로 가는 선형 사상 입니다...
F(x,y,s,t)=(x-y+s+t, x+2s-t, x+y+3s-3t)
------------------------------------------여기까지가 문제!!

제가 풀은 것은

ker(L)은 0으로 가는 원소들의 집합이니깐

x-y+s+t=0
x+2s-t=0
x+y+3s-3t=0
으로 놓고 연립 방정식으로 풀어서
x=-2s, t=0, y=-s 이니깐
s=v라하면(v는 체의 원소)
(-2v, -v, v, 0)=(-2, -1, 1, 0)v 이면 ker(L)의 기저가 (-2, -1, 1, 0) 이거 맞나여??
ker(L)의 기저가 1개이므로 1차원이죠??

그럼 image(L)의 기저는 어떻게 되는 것인지 모르겠어요..ㅜㅜ?

그리고 kernel (L)의차원+ image(L)의 차원=4개이니깐 image(L)의 차원이 3개나오므로
image(L)기저가 3개 나오는거 아닌가여??

정말 궁금합니다~~

빠른 답변 부탁드립니다~!(__)

[단무깡]

ker(L) 의 기저로 (1,2,0,1) 도 있으므로 2차원입니다.그래서 image(L)의 차원은 2차입니다. image(L) 의 basis 를 찾는거는 multiplication L(3x4 행렬) 을 row-echelon form 으로 바꾸어서 leading'1 을 찾으면 됩니다. 즉 (1,1,1)^T,(-1,0,1)^T 이 됩니다. 이 두개의 벡터의 선형결합으로 image(L)의 어떠한 원소도

[단무깡]

표현할 수 있습니다.

[우유친구]

더 궁금한게 있어서 그러는데요...row-echelon form바꾸면 (1,1,1),(0,1,2)가 기저가 되는 것이 아니예요? rank의 수를 구할때 처럼 행과 행을 더하거나 빼줘서 (1,1,1)(0,1,2)(0,0,0),(0,0,0)을 나열 한것이 나왔거든요~ㅠㅠ

[우유친구]

기저는 여러개 있으니깐 이것두 가능한가요? 정말 기저문제는 헷갈립니다...ㅜㅜ

[비버]

n차원인 집합에 n개의 독립벡터는 기저라 할수 있죠 결국 무수히 많이 존재하고 모두 기저가 될수있죠.. 이중 아무거나 사용 하면 되니까요.. 결국 독립벡터를 찾는것이 문제인거죠..

[단무깡]

가능하지요. 비버님이 다 말했네요.