첫댓글 다른 연속체 관련 공리를 먼저 가지고있으면 아마 증명되겠지요,,?
완비성 공리... 는 공리이죠.. 실수의 공리가 있습니다. 그 중 하나고, 해석학을 시작할 때에 증명없이 받아들이는 공리들중 하나죠.
한편, 실수의 체계를 유리수의 체계로부터 정의할 수 있는데, 데데킨트나 코시(맞나?)같은 사람이 유리수로부터 실수를 정의하고, 또한 실수들의 공리들을 또 정의에 따라 증명도 하고 그랬습니다.
데데킨트의 절단이라 그러죠 기하학적인 생각인데 임의의 점과 그의 왼쪽과 오른쪽으로 반직선이 존재하는 거죠. 그리고 유리수로 무리수의 존재성을 밝히요 제 생각으로는 이로써 알수 있을듯..
완비성의 공리라..완비성이 completeness를 말하는 거라면 이는 실수의 공리가 아닙니다. 실수에서 공리로 삼고있는 것은 두가지 뿐이죠. ordered field와 least upper bound property입니다. 이 두가지를 만족하는 집합은 모두 실수와 isomorphic 합니다. 실수의 완비성은 여기에서 부터 출발해서 증명하는 것입니다.
실수의 완비성을 증명하려면 여러가지가 필요한데 compact set은 complete하다는 것과 closed and bounded set은 실수에서 compact하다(Heine-Borel Thm)는 것을 이용합니다. 즉 코시 시퀀스는 bounded set안에 있음을 보이고 bounded set의 closure를 취해서 compact set을 만들면 됩니다.
첫댓글 다른 연속체 관련 공리를 먼저 가지고있으면 아마 증명되겠지요,,?
완비성 공리... 는 공리이죠.. 실수의 공리가 있습니다. 그 중 하나고, 해석학을 시작할 때에 증명없이 받아들이는 공리들중 하나죠.
한편, 실수의 체계를 유리수의 체계로부터 정의할 수 있는데, 데데킨트나 코시(맞나?)같은 사람이 유리수로부터 실수를 정의하고, 또한 실수들의 공리들을 또 정의에 따라 증명도 하고 그랬습니다.
데데킨트의 절단이라 그러죠 기하학적인 생각인데 임의의 점과 그의 왼쪽과 오른쪽으로 반직선이 존재하는 거죠. 그리고 유리수로 무리수의 존재성을 밝히요 제 생각으로는 이로써 알수 있을듯..
완비성의 공리라..완비성이 completeness를 말하는 거라면 이는 실수의 공리가 아닙니다. 실수에서 공리로 삼고있는 것은 두가지 뿐이죠. ordered field와 least upper bound property입니다. 이 두가지를 만족하는 집합은 모두 실수와 isomorphic 합니다. 실수의 완비성은 여기에서 부터 출발해서 증명하는 것입니다.
실수의 완비성을 증명하려면 여러가지가 필요한데 compact set은 complete하다는 것과 closed and bounded set은 실수에서 compact하다(Heine-Borel Thm)는 것을 이용합니다. 즉 코시 시퀀스는 bounded set안에 있음을 보이고 bounded set의 closure를 취해서 compact set을 만들면 됩니다.