미적분 미적분 - 수열의 극한

[nean]

1. 제목에 출처와 범위를 써주세요2. 출처:3. 범위:4. 나는 이런 방식으로 풀었어요:

1. 미적분 수열의 극한

2. 마플시너지 미적분

4. 마플시너지에 있는 문제입니다.

해당 문제 설명시 bn-an에 an을 나눠서, bn/an의 극한값이 1임을보이고 학생에게 풀이를 해줬습니다.

그러니 학생이 an이 0이 아닌 무한대이고,  bn/an인 수열이 수렴하므로 역수를 취한 an/bn도 1이지 않냐고 질문을 했습니다.

그래도 bn이 0인지 아닌지 모르니, an/bn의 수열이 역수값에 반드시 수렴할 수는 없다고 했는데,

수렴하는 수열 1 나누기 0이 아닌 수렴하는 수열 bn/an을 나눴으니, 수렴하는 수열의 성질을 가질 수 있는 게 아니냐 묻는데

답변이 떠오르질 않습니다..ㅜ 

도와주세요

[MT01]

학생 말이 맞습니다.
적당한 항 이후로 bn>0이어야만 하니 an/bn도 1로 수렴합니다.

[MT01]

참고로
cn->1 이면 1/cn -> 1이다.
라는 명제가 참입니다.

bn/an=cn으로 잡으면 학생의 말대로됩니다.


또한, an이 0이 아닌 무한대라는 말은 약간의 문제가 있습니다.
유한항은 0이 되어도 아무 관계없습니다. 그렇기에 bn이 0인지 아닌지 모른다는 말로 답변하신 부분은 오류가 있습니다.

[nean]

답변 너무 감사합니다.

제가 위에 an, bn을 쓸때 리미트를 생략했는데..
말씀해주신 부분에서 "또한, an이 0이 아닌 무한대라는 말은 약간의 문제가 있습니다."가 이해가 안갑니다.. 문제의 조건에 리미트 an이 무한대라고 적혀있습니다만..


그럼 위의 문제 풀이에서

lim (bn 곱하기 bn/an)-(an 곱하기 an/bn)= lim (bn 곱하기 1)-(an 곱하기 1)= lim (bn-an)=5 라는 학생의 풀이에서의 오류는

bn의 수렴여부를 모르고, an이 발산하는 수열이기 때문에 lim (bn 곱하기 bn/an) 의 식이 lim (bn 곱하기 1) =lim bn 이 아니라고 설명해주는 게 맞는 걸까요?

[MT01]

1. an이 0이 아닌 무한대이고, bn/an이 수렴한다. 라는게 liman이 0이 아니고 무한대라는 뜻인가요?
학생이 의미없이 말한걸 적어주신건가요?

2. lim(bn×an/bn)으로 적다가 잘 못 적으신거겠죠?
학생이 그렇게 풀었다면, 극한의 계산에서 lim(anbn)=liman × limbn 이 가능한 조건이 "두 수열이 모두 수렴할 때" 임을 알려주시면 될 것 같습니다. 실제로 bn은 oo으로 발산합니다.

[기천]

전 이렇게 풀었는데요.
어떤가 모르겠군요.

[기천]

bn-an으로 나누지 않아도 답을 구하는데는 무리가 없을 것 같네요.

[기천]

참.. an이 무한대이므로 bn도 무한대이어야 뺐을때 5에 수렴할 수 있을 것 같애요.

[성지훈]

학생의 말이 맞습니다.

[성지훈]

[nean]

확인 후 답변이 늦었네요.. 답변해주신 모든 분들 감사합니다:)