꼼수 풀이법 퇴치 하기...---

[수학조폭]

x(0)=a, x(k+1) = 1/2*(x(k)+a/x(k)) 일때

lim(k->inf) x(k) 는 어찌 되는지요?

여기서 x(k)는 k번째 항, x(k+1) 은 k+1번째 항입니다.

( 이 글의 출처:// 수학 사랑 )

----> 답변은 -ㅅ- 아뒤를 쓰시는 님인데...,꼼수 같은  풀이라...,

lim(k->inf) x(k) 가 존재한다고 가정하고, 이 값을 X 라고 놓겠습니다. 그러면 수렴하는 수열의 성질에 따라

X = lim(k->inf) x(k) = lim(k->inf) x(k+1)

이므로, x(k+1) = 1/2*(x(k)+a/x(k)) 의 양 변에 극한을 취하면

X = 1/2(X + a/X)

양 변에 X를 곱하면

X² = X²/2 + a/2,

∴ X = √a (x(k)가 음수가 되는 경우는 없으므로...)


별로 바람직한 풀이는 아니지만, 꽤 괜찮은 편법입니다 -ㅅ-

완벽한 풀이가 아닙니다..., 위 풀이는 다음과 같은 수열이 수렴한다는 전제 하에

풀었기 때문에....,  수렴 한다는 사실을 증명해야 합니다...,

수렴 한다는 사실을 증명 하는것이 문제 입니다

[마빈과 개구리]

흠?? 굳이 증명할 필요가 있습니까? 수렴한다고 가정하에 풀어서 수렴값이 나온것이기 때문에 참이라고 볼 수 있지 않을까요??

[자갈림]

a_(n+1) = 2*a_n - 5 같은 예는 수렴한다고 가정하면 수렴값이 나오지만 수렴하진 않죠 ;

[자갈림]

이 꼼수 이번정모책자에도 나왔더래요[밝히리님께서 쓰신 ^^ ]-_-; 물론 정석인가 문제집에도. ^^

[블러디]

여러번 언급되었던 내용입니다만, 고등학교과정에선 수렴의 정의를 배우지 않으므로 위의 꼼수풀이는 어쩔수없죠. 다만 대학에서 극한의 정의를 배운후엔 위의 풀이대로구하면 0점입니다. 위와같은 점화식문제는 초기값에 의존하여 수열의 성질이 바뀌고, a값이 1보다 크고작은 경우로 나눠 단조수렴정리를 사용하면 됩니다