Re:간단한 것 같은데 - hyperpower (수정)

[puzzlist]

x를 지수로 반복하여 쌓아올린 것을 hyperpower function이라고 합니다.

사용되는 x의 개수를 n이라고 하면, x의 왼쪽 위에 작게 n을 써서 나타냅니다.

즉 ^1x = x, ^2x = x^x, ^3x = x^(x^x), ... 입니다.

그러면 우리가 풀어보려는 문제는 lim_n->oo (^n x)에 대한 것이라고 할 수 있겠죠.

우선 마빈과 개구리 님의 문제를 약간 바꾸어 보겠습니다.

x = sqrt{2}라고 하면, y = x^(x^(x^(x^...) 의 값은 얼마일까요?
(그냥 x^x^x^x^... 라고 쓰면 (...(((x^x)^x)^x)^...) 의 뜻인 것이 보통입니다. 아래아 한글의 수식편집기에서 원하는 대로 보인다고 해서 항상 올바른 것은 아닙니다.)

이 식은 x^y = y, 즉 sqrt{2}^y = y가 되어 y=2 면 될 것 같습니다. 그런데 이게 다일까요?

희한하게도 y=4 라고 하여도 식을 만족합니다. 그러니까 sqrt{2}를 지수로 반복한 결과는 2가 될 수도 있고 4가 될 수도 있다는 말이 됩니다. 뭔가 이상하죠?

실제로 이 수식은 4가 될 수는 없습니다. x = sqrt{2} < 2 니까, x^x < x^2 = 2 가 되어, x를 지수로 계속 쌓아올린 식의 값은 2를 넘을 수 없습니다.

이 문제를 조금 다르게 풀어봅시다.

한동안 수능에 많이 나왔던 형태로, x의 값이 주어지면 f(x)의 값을 찾고, 다시 그 값을 f에 대입해서 f(f(x))를 구하고, 다시 그 값을 대입하고, ... 이런 문제를 보신 기억이 있을 겁니다.

a = sqrt{2}를 지수로 반복한 문제를 이런 식으로 풀어보면, y = a^x와 y = x의 그래프를 이용하여 생각할 수 있습니다. 실제로 그려서 해 보면, 두 그래프의 교점은 (2,2)와 (4,4)지만 행동양식(?)은 전혀 다릅니다. x의 값을 2 부근에서 시작하면 그 결과는 점점 2를 향해 다가갑니다. 반대로 4 부근에서 시작하면 그 결과는 점점 4에서 멀어집니다. 이런 점에서 2를 끌개(attractor), 4를 밀개(repeller)라고 합니다. 카오스 이론에 나오는 끌개와 밀개가 바로 이런 개념이죠.

이제 x^(x^(x^...)) = a가 해를 가질 수 있는 a의 범위를 구하는 것도 이런 방법으로 생각할 수 있습니다. 실제로 그래프를 그려서 생각해 보면 e^(-e) < x < e^(1/e)일 때 끌개가 존재한다는 것을 알 수 있고 a의 범위는 1/e < a < e 가 됩니다.


>x^x^x^x^x^x^x^........................ = 2 일때
>
>만족하는 양의x 를 구하라.
>
>이 문제
>
>그냥 쉽게
>
>x^x^x^x^x^x^........= 2 라 했으므로,
>
>x^2 = x^x^x^x^x^x^...... = 2
>
>∴ x=sqrt[2]
>
>쉬운 것 같습니다.
>
>그럼, 2가아닌 다른 양의정수에서도 가능할까요??

[단무깡]

미처 'x^x < x^2 = 2' 이걸 몰랐네요. 그렇군요. 정확한 해답 감사합니다.

[생쥐~]

대단한...

[블러디]

마지막 a의 범위는 좀 이상한데요.. 하한쪽도 그렇지만 상한인 e^(1/e) 도 a의 범위가 아니라 x의 범위에서 나온수 아닌가요. 0<a<e 일때 x^a = a 의 해가 (0,e^(1/e))에 유일하게 있는건 알겠는데, 끌개(수렴)때문에 범위가 더 좁아진건가요?

[puzzlist]

블러디 님 말씀이 맞습니다. 지웠다 썼다 하다 보니 마지막 순간에 착각을 했네요. 1/e < a < e 가 옳습니다. 본문 고쳐 두겠습니다.

[puzzlist]

이 문제를 analytic continuation을 이용해서 복소 함수로 다루는 건 봤는데 자세한 내용은 모르겠습니다. http://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html 를 참고하세요.

[아구아]

아.. 제 생각이 잘 못 된 걸 눈치채고.. 금방 지웠는데 답글 감사합니다.. ^^ (하한값은 0이라는 엉터리 주장을 바로 윗글에서 제가 주장했습니다.. ㅠㅠ)