현재 "Discrets mathematics and it'sapplication"한글판을 교재로 공부하고 있는 대학생입니다.
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거기서 함수단원에서 3문제가 아리송해서 글을 올립니다.에매한 표현이나 오타가 있더라도 해바랍니다.
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문1)정수 집합으로부터 정수 집합으로의 함수 f(x) = x2 은 전사 함수인가?
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이문제의 답은 x^2=-1을 만드는 정수가 존재하지 않으므로 함수 f는 전사 함수가 아니다.
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여기서 이걸 그래프로 교수님이 그리던데 통이해가 않가더군요.그것도 그렇고 어떻게 해서 그런답이 나오는 지도 모르겠구요.답변부탁드립니다.
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문2)함수 f가 정수 집합으로부터 정수 집합으로의 함수이고 f(x)=x+1이다.f는 가역 함수인가? 가역 함수라면 그 역함수는 무엇인가?
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이문제 교수님이 f^-1(y)=y-1이라는 답을 써주시던데
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답은 f는 전다사 함수이므로 가역함수이다. 그 역함수는 y가 x의 상이라고 하면 y=x+1이므로 x=y-1이 된다. 따라서 f^-1(y) = y-1이다.어떻게 해서 이런답이 나오는지 통이해가 않되네요.
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문3)f와 g가 정수 집합으로부터 정수집합으로의 함수이고 f(x)=2X+3, g(x)=3x+2이다. 합성 함수
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f ° g, g ° f는 각각 무엇인가?
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(f ° g)(x) = f(g(x)) = f(3x+2)=2(3x+2)+3=6x+7이고
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(g ° f)(x) =g(f(x)) = g(2x+3)=3(2x+3)+2=6x+11이다.
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여기서 (f ° g)는 합성함수라고 해서 뒤에서부터 계산을 하잖아요?
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예를 들면 (f ° g)(a) = f(g(a)) (?이건 결합법칙인가?)
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이렇게요.근데 위문제에서 2(3x+2)+3는 우째서 이렇게 되는 겁니까?공식대로 하면
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(f ° g)(x) = f(g(x)) = =(2x+3)(3x+2)=6x+6이 되어야 되는거 아닌가요?
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어떻게 해서 그런답이 나온거죠?
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<참고사항>
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*전사함수:정의역 A,공역 B가 있을때, b B인 모든 원소에 대하여 f(a)=b인 원소 a A가 존재할 경우 f를 전사함수(onto 또는 surjective function이라고한다.)
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*단사함수:f의 정의역에 속한 모든 x와 y에 있어서 f(x) = f(y)이면 반드시 x=y일때, 함수 f를 단사 함수(one-to-one 또는 in-jective function)라고 한다.
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*합성함수:g가 집합 A로 부터 집합 B로의 함수이고 f가 집합 B로부터 C로의 함수라고 하자.함수 f와 g의 합성 함수는 f ° g로 표기하고 다음과 같이 정의된다.
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(f ° g)(a) = f(g(a))
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문2)고등학교 때도 배우죠...어떤 함수f의 역함수가 존재할 필충조건은 f가 1-1대응(전단사)함수라고요...f(x)=x+1은 전단사함수라는 것을 쉽게 증명 할 수 있죠? 역함수 구하는 법은 고등학교 때 했다시피 x,y바꾸고 식을 y에 대해 정리하면 됩니다....다만 그때 정의역은 원래 함수의 치역이고, 치역은 원래 함수의 정의
역이 되겠죠..어차피 전사이므로 치역이아니라 공역이어도 상관없습니다.... 님 f(x)=x-1 이나 f(y)=y-1 이나 아님 f(말)=말-1 이나 똑같은 함수(정의역과 공역이 같다면)라는거 이해하시죠? 매개변수는 그냥 매개변수 일뿐 아무런 의미가 없습니다...그 매개변수가 어디의 원소인지가 중요한겁니다..
문3)님 수학관가요? 너무 심하군요....특히 공식이라는 말에서 답변할 의미를 잃어버린다는....정석책보세요...거기 다 나오는 내용입니다.....노력하신다음 안되면 질문하세요....이런건 고등학교 교재보면 다 나오고 또 쉽게 이해할 수 있는 겁니다....그럼 열심히 공부하세요....
첫댓글 문1)전사라면 공역의 임의의 원소에 대한 원상이 있어야 합니다...그러나 님이 말씀하신대로 -1의 원상은 존재하지 않죠? 즉, 제곱해서 -1이 되는 원소가 정의역(정수)에는 없으므로 전사가 아닙니다.
문2)고등학교 때도 배우죠...어떤 함수f의 역함수가 존재할 필충조건은 f가 1-1대응(전단사)함수라고요...f(x)=x+1은 전단사함수라는 것을 쉽게 증명 할 수 있죠? 역함수 구하는 법은 고등학교 때 했다시피 x,y바꾸고 식을 y에 대해 정리하면 됩니다....다만 그때 정의역은 원래 함수의 치역이고, 치역은 원래 함수의 정의
역이 되겠죠..어차피 전사이므로 치역이아니라 공역이어도 상관없습니다.... 님 f(x)=x-1 이나 f(y)=y-1 이나 아님 f(말)=말-1 이나 똑같은 함수(정의역과 공역이 같다면)라는거 이해하시죠? 매개변수는 그냥 매개변수 일뿐 아무런 의미가 없습니다...그 매개변수가 어디의 원소인지가 중요한겁니다..
문3)님 수학관가요? 너무 심하군요....특히 공식이라는 말에서 답변할 의미를 잃어버린다는....정석책보세요...거기 다 나오는 내용입니다.....노력하신다음 안되면 질문하세요....이런건 고등학교 교재보면 다 나오고 또 쉽게 이해할 수 있는 겁니다....그럼 열심히 공부하세요....