Q) A function f:[0,1]->R is Lipschitz continuous if there is a constant L such that |f(x)-f(y)|<=L|x-y| for all x,y in [0,1]. Prove that the set of Lipschitz continuous functions is a dense subset of C([0,1], R).
<br>
C([0,1],R) = { f:[0,1]->R | f is a continuous and bounded function on [0,1] }.
<br>
<br>
함수가 Lipschitz continuous하면 uniformly continuous on [0,1] 한건 알겠는데, Lipschitz continuous한 함수의 집합이 dense subset of C([0,1],R)인걸 증명하는건 어렵네요.
<br>
도와주세요.
<!-- -->
첫댓글사실 C^∞[0,1] (=smooth functions from [0,1] to R) 이 C[0,1] 에서 dense 합니다. approximate identity 라는 것을 참고해 보시길. 그리고 일계도함수만 연속이더라도 평균값의 정리에 의해서 Lipschitz continuous 합니다.
첫댓글 사실 C^∞[0,1] (=smooth functions from [0,1] to R) 이 C[0,1] 에서 dense 합니다. approximate identity 라는 것을 참고해 보시길. 그리고 일계도함수만 연속이더라도 평균값의 정리에 의해서 Lipschitz continuous 합니다.
같은 설명일지 모르는데.. 텍스트에서 기본적으로 다항함수가 C([0,1], R)에서 덴스하다는것을 자세하게 설명하지 않나요? 어쨌든..다항함수가 립취츠컨디션을 만족한다는것을 보이면 충분하겠네요... 증명은 평균값 정리를 쓰면 금방해낼수 있을겁니다.