삼각함수 이해

[김주국]

 삼각함수의 그래프

 sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β , cos(α + β) = cos α cos β -  sin α sin β의 증명

삼각함수 공식 sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β 증명

 

왼쪽 그림에서 sin α  = sin(α + β) / { cos β + sin  β  cos α /sin α }

 

정리하면 sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

 

 

 

삼각함수 공식  cos(α + β) = cos α cos β -  sin α sin β 증명

 

오른쪽 그림에서 sin α / cos α = tan α = cos β / { sin  β + cos(α + β) /sin α }

 

정리하면 cos(α + β) = cos α cos β -  sin α sin β

 sin(α - β) = sin α cos β -  cos α sin β, cos(α - β) = cos α cos β +  sin α sin β 증명

삼각함수 공식 sin(α - β) = sin α cos β -  cos α sin β 증명

 

왼쪽 그림에서 h = cos α / cos β  이고

 

x = h sin(α - β) = (sin α - h sin β ) sin( π/2 - β ) = (sin α - h sin β ) cos β

 

정리하면   sin(α - β) = sin α cos β -  cos α sin β

 

 

삼각함수 공식  cos(α - β) = cos α cos β +  sin α sin β  증명

 

오른쪽 그림에서 h = cos α / sin β   이고

 

x = h cos(α - β) = (sin α + h cos β ) cos α 

 

정리하면   cos(α - β) = cos α cos β +  sin α sin β

 

tan(α - β) = (tan α - tan β ) / (1 +  tan α tan β ) 증명

삼각함수 공식 tan(α - β) = (tan α - tan β ) / (1 +  tan α tan β ) 증명

위의 그림에서 BF/BE = AD/DE 이므로

tan(α - β) = DE/BE = AD/BF =  (tan α - tan β ) / (1 +  tan α tan β )

 * sin 75˚, cos 75˚,  tan 75˚

sin 에 대한 덧셈정리에서

sin75˚ = sin(45˚ + 30˚) = sin 45˚ cos 30˚ + cos 45˚ sin 30˚

= (1/√2 ) (√3 /2) +  (1/√2 ) (1 /2)

=  √6 /4 +  √2 /4

=  (√6  +  √2 ) /4 = cos 15˚

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cos 에 대한 덧셈정리에서

cos75˚ = cos(45˚ + 30˚) = cos 45˚ cos 30˚  -  sin 45˚ sin 30˚

= (1/√2 ) (√3 /2)  -  (1/√2 ) (1 /2)

=  √6 /4  -  √2 /4

=  (√6  -  √2 ) /4 = sin 15˚

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tan 에 대한 덧셈정리에서

tan 75˚ = tan(45˚ + 30˚) = ( tan 45˚ + tan 30˚)/( 1- tan 45˚ tan 30˚)

= (1 + 1/√3 )/ {1 - 1*(1/√3 )}

= (√3 + 1)/(√3 -1)

= (√3 + 1)^2 / 2

= ( 3 + 1 + 2 √3 ) /2

= 2 + √3  = cot 15˚

* sin 36˚, cos 36˚,  tan 36˚

sin 36˚ = √(1-cos^2 36˚) = √(10 - 2√5) /4 = cos 54˚

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cos 36˚ = (1 + √5)/4 = sin 54˚

cos 2 ×36˚ = cos 72˚ = cos (180˚ - 108˚) = - cos 108˚ = -cos 3×36˚

이고 배각공식에서

cos 2x = -1 + 2cos^2 x , cos 3x =  -3cos x  + 4 cos^3 x 이므로 t = cos 36˚ 라 두면

-1+ 2t^2  = -(-3t + 4t^3)

정리하면

4t^3 + 2t^2 - 3t -1 = (t+1)(4t^2 - 2t-1) = 0

에서 근의 공식에 의해 t = (1 + √5)/4

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tan 36˚  = √(5 - 2√5) /2 = cot 54˚