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눈의 합 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
계 |
경우의 수 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
36 |
(가지)
눈의 합이 4인 경우의 수는 3가지이다.
눈의 합이 홀수가 되는 경우와 4가 되는 경우는 서로 배반이므로 구하는 경우의 수는
(가지)
<별해>
홀수가 나오는 경우는
(i) (짝수)+(홀수) :
(ii) (홀수)+(짝수) :
이므로 눈의 합이 홀수가 나오는 경우의 수는
(가지)
눈의 합이 4가 되는 경우는
(1, 3), (2, 2), (3, 1)
에서 3가지이다.
2. 100의 자리에 들어갈 수 있는 수는 4가지이고, 10의 자리에 들어갈 수 있는 수는 100의 자리에 들어간 수를 제외한 3가지, 1의 자리는 이 두 수를 제외한 2가지가 가능하므로 구하는 경우의 수는
(가지)
× |
1 |
2 |
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1 |
1 |
2 |
4 |
8 |
3 |
3 |
6 |
12 |
24 |
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9 |
18 |
36 |
72 |
이므로 오른쪽 표에서 양의 약수의 개수는
(개)
이다.
4. 페르마의 방법은 사전식 배열을 하여 경우의 수를 구하는 것이다.
(2) 3경기가 남았으므로 사전식 배열을 하면
이고, 이 중에서 가 이기는 경우는
의 7가지이므로 그 확률은 이다.
(3) 4경기가 남았으므로 사전식 배열을 하면
이고, 이 중에서 가 이기는 경우는
의 11가지이므로 그 확률은 이다.
5. (i) 의 꼴 :
(ii) 의 꼴 :
(iii) 의 꼴 :
(iv) 의 꼴에서
① 의 꼴 :
② 나머지는 직접 세면
이므로 구하는 수는
(번째)
6. A에서 세 모서리를 통해 B로 가는 통로를 수형도로 그리면
A - 1 - 2 - B, A - 1 - 5 - B
A - 3 - 2 - B, A - 3 - 6 - B
A - 4 - 5 - B, A - 4 - 6 - B
원뿔 곡선
1. 원뿔곡선의 역사
흔히들 이차곡선이라 함은 원, 타원, 포물선, 쌍곡선 이 네 가지를 일컫는데 이 곡선들은 원뿔곡선이라도 불리기도 한다.
기원전 4세기 경부터 그리스인들은 원 이외에도 여러 가지 곡선에 관한 연구를 하였다. 유클리드의 ≪원론≫의 유실된 네 부분은 타원, 쌍곡선, 포물선 등을 다룬 것이라 전해져 온다. 타원(원 포함), 포물선, 쌍고선을 흔히 원뿔곡선(conic sections)이라 부르는 것은, 왼쪽 그림에서 보는 바와 같이 이들 곡선이 원뿔의 한 평면에 의한 단면으로 나타나기 때문이다.
원뿔에 대해 관심을 가지고 연구한 최초의 수학자는 유독소스의 제자 메나이크모스(Menaikhmos, B.C 375~325)이다. 그는 인도에서 이탈리아에 이르는 대제국을 건설한 알렉산더 대왕의 수학선생이기도 했다. 그는 여러 가지 모양으로 원뿔을 모선에 수직인 평면으로 잘라 보았는데, 원뿔의 모양에 따라 그 잘린 단면이 다르다는 사실을 알아냈다. 그리고 그 모양이 변하는 기준은 바로 꼭지점에서 모선이 이루는 각(꼭지각)의 크기라는 사실도 알았다. 꼭지각이 예각인 경우에는 모선에 수직인 평면으로 자르면 타원이 생기고, 꼭지각이 직각인 경우에는 포물선이, 또 꼭지각이 둔각인 경우에는 쌍곡선이 나온다. 그러나 메나이크모스가 이런 도형들의 이름을 타원, 포물선, 쌍곡선으로 불렀던 것은 아니다. ‘예각원뿔의 절단’, ‘직각원뿔의 절단면’, ‘둔각원뿔의 절단면’이라 불렀다.
복잡하고 긴 이 이름들이 오늘날 쓰이는 현대적인 명칭을 얻게 것은 아폴로니우스(Apollonios, B.C. ? ~ 200 ?)에 의해서이다. 그는 메나이크모스와는 달리 한가지의 원뿔을 가지고 여러 방향에서 잘라 보았다. 그의 관심사는 자른 면이 원뿔의 밑면과 이루는 각의 크기( )와 모선이 밑면과 이루는 각의 크기( )의 관계였다.
케플러는 1571년 독일의 슈투트가르트 근교에서 태어났고 원래 루터교의 목사가 되려고 튀빙겐 대학에서 수학하였다. 그는 천문학에 깊은 관심을 가졌고 1599년 천문학자 브라헤(Tycho Brache)의 조수가 되었는데, 3년 뒤 브라헤가 갑자기 죽자, 케플러는 스승이 남겨준행성 운동에 관한 방대하고 매우 정확한 천문학적인 자료들을 물려받았다. 21년동안 지칠 줄 모르는 열성과 끈기를 가지고 노력하여 성과 없는 시도를 수없이 반복하고, 계산으로 많은 분량의 종이를 사용하였던 그는 마침내, 천문학과 수학의 역사에 획기적인 사건으로 기록되는 행성의 운동법칙을 발견해 냈다.세 가지 법칙을 발견하게 되었다. 이 법칙의 발견으로 그동안 소원했던 타원에 대한 관심이 다시 살아났다.
2. 원뿔곡선의 성질
1) 포물선
포물선의 정의는 ‘준선까지의 거리와 초점까지의 거리가 같은 점들의 자취’로 식으로 만들면
이다. 포물선의 정의와 방정식은 알고 있으나 포물선이 갖고 있는 여러 가지 성질들과 포물선이 쓰이는 분야에 대하여는 생소하리라 본다. 아폴로니우스는 직원뿔을 모선에 평행하게 잘랐을 때 생기는 단면에 ‘파라볼라’(일치한다는 뜻)라는 이름을 붙였다. 물체를 던졌을 때 그것이 어떤 종류의 곡선을 그린다는 것을 알 수 있는데, 갈릴레이는 그 곡선, 즉 포물선임을 밝혀냈다. 뿐만 아니라, 우리 주변에서 살펴보면 밤하늘을 아름답게 수놓는 불꽃놀이의 폭죽이나 분수대의 쏟아 오르는 물의 자취, 투수가 던지는 공의 궤적을 자세히 보면 포물선이 됨을 알 수 있다.
왼쪽 그림에서 한 점 P에서 준선 까지의 거리와 초점 F까지의 거리는 같다. 또, 점 P에서의 접선에 관하여 표시된 두 각은 같다. 포물선의 초점이 있는 쪽의 곡선을 거울라 생각하고 초점 F에 광원을 두면 빛은 포물선에서 반사되어 모두 축에 평행(준선에 수직)하게 나아간다. 반대로 축에 평행하게 빛이 입사하면 포물선 거울에서 반사되어 빛은 모두 초점을 통과한다. 이러한 성질은 자동차의 헤드라이트를 만드는데 이용된다.
2) 타원
미국 국회의사당 건물 중 스테이츄어리 홀이라고 있다. 타원을 그 주축을 중심으로 회전시키면 타원면이 생기는데 스테이츄어리 홀의 천장이 타원면이다. 알람브라하의 궁전을 비롯하여 이런 건물이 전세계에 몇 개 있는데 이런 건물들의 특징은 무엇이며 왜 이런 건축물을 만들었을까?
직원뿔을 밑면에 닿지 않게 비스듬히 자른 단면은 타원이 되는데, 타원의 정의는 ‘두 초점으로부터의 거리의 합이 일정한 점들의 자취’이다. 서로 다른 두 점을 잡아 각각에 핀을 꽂고 실을 느슨히 연결한 후 연필 끝으로 실을 팽팽히 당기면서 회전시키면 연필 끝은 타원을 그리게 되고 이 곡선을 나타내는 이차식은
이다. 타원의 특징은 그림에서 보듯이 타원 위의 한 점에서 접선을 긋고 접점과 두 초점을 연결하면 접선과 이루는 각이 같아진다. 만약 타원 모양의 당구대를 만들면, 이 특징으로 인해 초점의 자리에 놓고 치는 당구공은 언제나 다른 초점으로 가게 된다.
만약 여러분이 미 국회의사당을 방문하게 되면 스테이츄어리 홀의 한 초점에 친구를 세워 놓고 다른 한 초점에 서서 멀리 떨어져 있는 친구에게는 들릴 것 같지 않은 작은 소리로 말해 보아라. 과연 친구는 여러분의 말소리를 들을 수 있을까?
3) 쌍곡선
아폴로니우스는 ‘쌍곡선은 두 초점으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 자취’로 쌍곡선을 정의하였다. 이를 식으로 나타내면
이 된다. 17세기에 쌍곡선 위의 임의의 점에서 그은 접선의 접점을 두 초점과 연결했을 때 그 각도 같아짐을 알아냈다. 이 특징으로 인해 쌍곡선의 한 초점에서 나오는 광선은 쌍곡선에서 반사될 때 빛이 마치 다른 초점에서 나오는 것처럼 보인다.
유리판 두 장을 한 옆에 막대기를 끼워서 끈으로 묶고 그것을 붉은 잉크로 엷게 물들인 대야에 담긴 얕은 물위에 세워보면 멋진 곡선이 생기는데 이것은 정확한 쌍곡선의 모양이다. 나뭇잎사귀가 물에 떨어져 반쯤 물에 잠겨 있을 때 그 잎이 바위같은데 붙어있을 경우더 그러한 현상이 일어난다. 나뭇잎이 아니라도 작은 돌의 평탄한 면에서도 나무조각에서도 이런 현상을 볼 수 있다.
활동지
1. 아폴로니우스는 하나의 원뿔을 여러 가지 모양으로 자르는 데 그 단면과 원뿔의 밑면과 이루는 각의 크기 를 모선과 밑면이 이루는 각의 크기 를 비교하여 ‘부족하다(ellipsis)' ’일치한다(parabale)', ‘ 넘어선다(hyperbole)’라 불렀다. 잘린 원뿔의 단면이 포물선, 쌍곡선, 타원은 가 가 어떤 크기 관계일 때 생기는지 알아보자.(힌트-이차곡선를 영어로 무엇이라 하는지 조사해 보아라)
2. 케플러의 행성의 법칙을 조사하여 보자. 또 그는 적분에 관한 수학적 업적도 남겼는데 이를 알아보자.
3. 자동차의 헤드라이트나 무대의 스포트라이트의 반사경은 포물면으로 되어 있다. 헤드라이트 불빛은 옆으로 분산되지 않게 곧장 앞으로 뻗어나가 멀리까지 환히 비추게 해야 한다. 포물선의 어떤 원리가 반사된 불빛을 곧장 앞으로 뻗어나가게 하는지 생각해 보자.
4. 주어진 직사각형 모양의 종이 ABCD의 한 개 귀를 여러 번 접었다가 펴되 C점이 언제나 변 AB위에 놓이도록 한다. 이 때 접혔던 금들이 안고 있는 선이 무엇인지 관찰하고 그 이유를 말하여라.
또, 옆의 그림처럼 주어진 원형의 종이에 중심이 아닌 한 점 P을 잡는다. 그 점을 원둘레 위의 임의의 점이 지나도록 하면서 접었다 폈다를 반복한다. 접혀서 생기는 금들이 안고 있는 곡선이 무엇인지 관찰하고 그 이유를 말하여라.
5. 쌍곡선 한 점 에서 두 초점을 그은 각이 점 에서 그은 접선에 의하여 이등분됨을 보여라.
예시 답안
1. 원뿔곡선의 이름은 ‘타원(ellipse), '포물선(parabola)', '쌍곡선(hyperbola)'이다.
2. 그 세가지 법칙은 다음과 같다.
Ⅰ. 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원궤도를 따라 태양의 둘레를 돈다.
Ⅱ. 행성과 태양을 잇는 동경은 동일한 시간 동안 같은 면적을 그린다.
Ⅲ. 행성이 자신의 궤도를 완전히 한 바퀴 도는 시간의 제곱은 궤도의 반장축의 길이의 세제곱에 비례한다 .
3. 초점 F에 광원을 두면 빛은 포물선에서 반사되어 모두 축에 평행(준선에 수직)하게 나아간다. 반대로 축에 평행하게 빛이 입사하면 포물선 거울에서 반사되어 빛은 모두 초점을 통과한다. 헤드라이트 불빛은 옆으로 분산되지 않게 곧장 앞으로 뻗어나가 멀리까지 환히 비추게 해야 하므로 빛을 반사시키는 거울을 포물면 모양으로 만들고 그 초점 위치에 광원을 놓으면 된다. 손전등이나 무대 공연 때에 사용하는 스포트라이트의 원리도 마찬가지이다. 포물면 모양의 렌즈로 태양 광선을 모으는 것이나 전파를 모으는 위성방송 수신용 ‘파라볼라안테나’도 이 원리를 이용한 것이다.
4. 옆의 그림에서 보는 것과같이 C를 AB위에 오도록 접었을 때, 접혔다 펴면 △HED≡△CED 된다. 따라서 CP=HP 이고 따라서 P점의 자취는 AB를 준선으로하고 C를 초점으로 하는 포물선이 된다.
또, 원주 위의 점 A를 P와 겹치게 접었다 편 후, 원의 중심 A와 연결시킨다. 접힌 금과의 교점을 각각 Q, M 이라 놓으면 AM = PM, QM은 공통이고 ∠AMQ는 직각이므로 △AQM≡△PQM이 된다. 따라서 AQ = PQ 이다. 그러므로 언제나 OQ + PQ는 원의 반지름이다. 따라서 Q의 자취는 O와 P를 초점으로 하는 타원이 된다. 물론 선들이 만나서 생기는 포락선은 어떤 특수한 성질을 갖는 점들이 모여 만들어지는 형태입니다. 때문에 어떤 특수한 성질이 여기서는 타원이 되는 것이다.
각 단원에 도입할 수학사 내용을 선정하는 것에서도 여러 교사의 의견차로 다양한 내용이 선정되고 정리되어 학습에 이용되겠지만 같은 내용이더라도 수업 방법을 얼마든지 달리할 수 있다. 그 방법적 측면에서 살펴 볼 한 예가 이희종의 논문『고등학교 수학과 학습흥미 유발을 위한 수학사적인 교수-학습자료개발 연구』이다. 단원의 마무리 단계에서 옛날의 수학 책들에서 실제적인 문제들을 그대로 수학의 학습 내용에 추가하여 학생들에게 제시함으로 사고력을 자극시키려는 취지에서 이희종은 다음과 같은 수업지도 방법을 제시하였다.
수업 도입단계에서 수학이 발달 해 온 과정, 수학을 빛낸 사람들과 일화 등을 제시하여 수학에 대한 흥미를 유발하고 수학의 유용성을 인식하게 하여 주위 집중시키고, 전개단계에서는 한 문제의 다양한 풀이 소개하고 이를 학생의 풀이 방법과 비교하여 학생의 성취 행동을 고취시킨다. 이때 수학사에 숨겨진 발견의 과정을 살펴보면서 고민, 좌절, 발견의 기쁨을 알고 과제 집착성 등의 정서적 발달의 중요성을 알게 한다. 마지막 정리 단계에서는 본 학습내용과 관련 있는 기지(旣知)의 수학 문제들 발췌하여 제시함으로써 학생의 학습 내용의 파지와 전이를 높인다.
수학사세미나팀이 개발한 교재의 방향은 이희종과는 모습을 달리 하는데, 학생활동으로 다루지어는 문제가 예전에 수학자들이 풀기 위해 애쓰던 수식적 형태의 문제가 아니라 수학사의 내용을 학생 스스로 생각해 보고 필요한 자료는 찾고 조사하는 과제적 성격의 활동들이 주어지는 것이다. 이는 학생들의 탐구 정신과 창의성을 자극하고 성취감을 갖게 하려는 것이고, 지식을 정리하여 알려주는 데서 벗어나 교사는 지식에 대한 정보 안내만을 하고 학생 스스로가 자신의 지식을 만들어 가게 하려는 것이다.
2. 개념의 발달사에 따른 수학사 수업
기말고사가 끝나고 12월의 수업과 2월의 수업은 교사나 학생 모두 한번쯤 교과서를 벗어나고픈 충동을 준다. 이 때, 수학사를 더듬어 보는 프로그램을 가지고 아이들과 함께 해 보는 것이 어떨까? 수학사를 직접적으로 수업과 연관시켜 흥미를 돋우는 것도 좋지만 수학사의 한 주제를 선택하여 그 분량에 따라, 가령 일주일에 1시간씩 3주에 걸쳐 3시간을 시리즈로 연결하여 수업해 보는 것도 의미 있을 것 같다.
수학을 ‘수’ 없이 특히 ‘아라비아 숫자 0123456789’ 없이 이야기 할 수 있을까? 우리가 쓰는 이 아라비아 숫자는 언제 만들어진 것이고 이것 말고 다른 숫자는 없었을까? 지금 사용하는 것 보다 더 좋은 수체계는 없을까? 아니 아예 근본적으로 수는 왜 생긴 것일까? 등과 같은 수에 대한 근본적이 의문을 갖고 수의 탄생과 성장과정을 살피고, 문명의 발달과 더불어 인간은 끊임없이 시야를 넓혔으며, 이에 따라 수의 세계도 확장되어 갔음을 역사적으로 살펴 볼 수 있다. 즉, 수의 세계에서도 “필요는 발명의 어머니” 라는 명언이 실현되는 곳으로써 수가 단순한 추상의 산물에 그치지 않고 인간 생활의 절실한 필요에서 태어났음을 실감할 수 있다. 수라는 ‘구슬’은 기수법으로 꿰매져서 비로소 그 이름이 ‘보배’가 되는데, 수를 탄생시킨 인류는 마침내 세련된 기수법에 의해서 수의 세계를 활짝 펼쳐놓았음을 깨닫게 된다.
그 동안 수학사 세미나팀에서 공부한 수학사 내용을 정리도 해 볼 겸 3시간 짜리 분량으로 수체계와 관련된 수학사 수업을 준비해보았다. 첫 시간은 수학사의 개요를 살펴보고 수체계에 대한 그림, 사진 등의 시각적 자료와 내용을 나누고 익히며, 둘째 시간은 칠교놀이와 수체계를 연결하여 조별활동을 통해 직접 수체계를 응용하여 본다. 마지막 시간은 학생이 직접 가감승제가 가능한 수체계를 만들어 보는 것이다.
맺으며
그러나 수학 수업 현장에서 교사들은 수학교과 과정의 내용을 충실히 전달하기 위하여 애쓰지만, 연계과정을 통해 계속 복잡해져 가는 수학교과는 자칫 수업내용을 충분히 이해하지 못한 학생에게 부담감을 주는 교과목으로 인식되어 버리고 만다. 학생들은 논리의 전개를 이해하지 못한 채 흥미를 잃어버리고 수학은 재미없고 별 쓸모도 없으면서 입시에만 중요한 교과라고 생각한다. 입시가 끝나면 수학은 그 빛을 바랜다. 현재 대학교에서는 수학을 일반교양에서 삭제하려는 움직임이 있다. 심지어 자연과학대학에서도 수학을 배우느니 학과관련 강의를 개설하는 것이 낫다는 여론이다. 수학의 중요성이 지성의 요람 대학교에서 인정되고 있지 않는 것이 현실이다. 이런 현실 속에서, 수학교사는 막연하고 수학이 중요하다고 느끼고 대학교에서의 수학강의의 축소에 대하여 무엇인가 잘못되었다고 생각하지만, 정확하게 왜 수학이 중요한지를 설명하고 흥미와 관심을 잃어버린 학생들을 다시금 수학을 활기차게 공부할 수 있도록 고무시키지 조차 어렵다.
수학사를 살펴보면 왜 수학이 생겨났고 타학문과는 어떠한 연관이 있고 앞으로의 과학가 정보사회에서 수학이 어떤 역할을 하는지 알 수 있다. 그러나 수학사를 도입한 수업이 학생들에게 어떠한 학습효과가 있는지 정확하게 연구된바가 없다. 다만, 수학성적과 관련되어 연구한 바에 의하면 효과가 없다고 한다. 하지만 이 연구는 문제풀이적인 수학교육과 평가라는 현재의 수학교육과정에서 수학사 도입의 효과를 측정한 것에 불과하다. 너무나 많은 수학적 지식을 학생들의 머리에 집어넣고 입시의 문제 풀이 식의 수업은 학생들에게 좋은 수학교육이 아니라고 생각한다. 많은 수학의 내용은 그 발견이나 발전에 있어서 현실적인 문제와 역사적인 문제를 가지고 있으나 수업현장에서는 현실적이지 않으며 개연성없이 수학의 교과 내용을 제시하고 있다. 이러한 교육방법은 머리 속에 언어의 틀과 마찬가지로 수학과 논리의 틀을 형성시킬 수는 있으나 학생들의 흥미와 창조성을 잃게 만든다.
학생들의 수학에 대한 흥미 유발과 수학 고유의 본성인 창조성을 학생스스로가 발휘할 수 있도록 하기 위한 한 가지 방편으로 수학사를 수업 지도안으로 제작하여 보급해야 할 필요가 절실한 것이다.
그러나 교사들이 수학의 역사를 학생들에게 옛날 이야기 수준에서 제공한다면 그것은 교육의의가 없다. 여러 교사가 힘과 지혜를 모아 직접 수업에 이용할 수 있는 웍시트(Work Sheet)를 개발하여 현장 수업에 활용할 수 있도록 해야 한다. 그리고 학습 지도 자료는 가능한 HTML 문서로 만들어 데이터 베이스로 활용하고 수업지도안으로 대체해 나가야 한다.
개개인의로서의 교사들은 연구 능력과 시간부족 수학사를 연구하여 수업에 적용하기까지의 공정을 해나가기가 어렵다. 그러나 많은 교사에 십시일반으로 지도안을 만들어 공유하고 공적으로 만들어진 모범적인 수학사 학습지도안이 각 학교에 배포되어 교사들이 그대로 또는 수정 보완하여 사용할 수 있다면 많은 시간과 비용을 절감할 수 있다.
98년에 결성된 우리 수학사팀은 수학사를 연구하여 현행 중 고등학교 각 교육과정에 맞는 수업 지도안 개발을 중심으로 수학교사들의 공동연구를 통하여
첫째, 수학 수업이 교과 내용에만 국한된 강의가 아니라 현실적이고 역사적인 필요성과 개연성을 가지고 바라볼 수 있는 능력을 학생들에게 보여줄 수 있는 수학사 수업 지도안을 개발하고
둘째, 수학의 역사를 통하여 수학의 여러 내용이 만들어진 과정에 대한 고찰을 통해서 확인하도록 함으로써 실증적 학습태도를 길러 주며
셋째, 그로부터 살아있는 수학의 필요성에 대한 생각을 유도하는 데 있다.
넷째, 또한 HTML 문서로 작성된 수학사 수업 지도안을 만들어 보급함으로써 인터넷 시대의 새로운 교수 학습 방법을 제시하는 데 그 목적을 두고 있다.
참 고 문 헌
민세영, 역사발생적 원리에 따른 로그 단원의 지도에 관한 연구, 대한수학교육학회 논문집 제7권 2호(1997), 381-396
민세영, 피아제의 개념 발달과 메카니즘과 대수의 역사, 대한수학교육학회 논문집(1998 추계)
이희종, 고등학교 수학과 학습흥미 유발을 위한 수학사적인 교수-학습자료개발 연구, 한국교원대학교 대학원 석사논문 (1993) / 발췌본-저널 수학사랑 통권 6호(1996년)
육인선 외 2명, 수학은 아름다워 Ⅰ,Ⅱ, 동녘, 1992.
Eves(이우영, 신항균 역), 수학사, 경문사, 1995.
☞ 출처 : 제 2 회 Math Festival 프로시딩 원고 < http://www.mathlove.org >
원문 : http://www.mathlove.org/doc/mf2/378임경원-수학사를도입한수업.hwp