[심화탐구 : 수학 10-가] 2. 부분집합의 개수

[신강산]

집합 A의 부분집합의 개수를 묻는다면, 누구나 쉽게 2의 n제곱이라고 대답할 수 있지만,

왜 그런지는 잘 모르는 경우가 많아 올립니다.

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- 명제 : 부분집합의 개수는 '2의 n제곱' 개이다.

- 증명 : 집합 A의 부분집합을 만들 때, 그 집합을 A'라 한다면,

A의 임의의 원소 a가 A'에 포함되는 경우 1가지, 포함되지 않는 경우 1가지이다.

또한 A의 A의 임의의 원소 b 또한 A'에 포함되는 경우 1가지, 포함되지 않는 경우 1가지이다.

이렇게 원래 집합에서 부분집합을 추출할 때, 포함되는 경우와 그렇지 않는 경우가 있으므로 총 2가지,

원소 a와 b가 포함되는 경우는 배반사건이므로, 각각의 경우를 모두 곱해주어야 한다.

따라서, 집합의 원소의 개수가 n일 때, 부분집합의 개수는 '2의 n제곱' 개이다.

- 증명 끝

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하나 더 하자면, 진부분집합의 경우에는 아무것도 포함이 안 된 경우(공집합일 때)는 제외하고 세야하므로, 부분집합의 개수에서 하나를 빼야 하는 것도 알 수 있습니다.