스크랩 프렉탈의 정의

[운영자]

1. 프랙탈의 의미 및 기원

프랑스의 수학자인 만델브로트Mandelbrot는 1967년 영국에서 발행되는 과학 잡지인 '사이언스'에 「영국을 둘러싸고 있는 해안선의 총 길이는 얼마인가」라는 제목의 글을 발표했습니다.
간단하게 생각하면 바보같은 질문 같은데 이 글에서 만델브로트는 영국의 해안선의 길이는 어떤 자로 재느냐에 따라 얼마든지 달라질 수 있다고 주장했습니다.
1m 단위의 자로 재었을때와 1cm 단위의 자로 재었을때는 둘래의 길이가 엄청난 차이를 낳을 것이라는 것이죠.
당시 큰 관심을 가지고 있지 않던 과학자들도 이후 프랙탈 이론의 선구자로 알려진 후에는 여러 과학자들이 해묵은 '사이언스'지를 뒤적거렸다는 우스운 이야기도 전해지고 있습니다.

'프랙탈'이라는 용어는 만델브로트가 IBM에서 연구원으로 근무하던중 자신이 연구하던 것들을 책으로 출간하기 위해 책의 제목을 생각하다가 라틴어의 Fractus라는 낱말을 발견하여 FRACTAL이라는 용어를 만들었다는 설도 있고, 프랙탈 기하학이 정수가 아닌 분수(Fractional)차원을 가진다는 의미에서 FRACTAL이라는 용어를 만들었다는 설도 있습니다.

프랙탈의 속성은 자기 유사성Self-Similarity과 순환성Recursiveness이라는 특징을 가지고 있습니다.
삼라만상森羅萬象이 들어 있을것 만 같은 만델브로트 집합이나 줄리아 집합 뒤에는 z = z2 + c이라는 간단한 수식에서 출발합니다.

프랙탈은 컴퓨터의 발전과 더불어 더욱 알려지게 되었습니다.
비록 몇 줄 되지 않는 프로그램이지만 그 속에 숨어 있는 물리적, 기하학적, 철학적 내용은 앞으로 우리가 연구해야 할 과제입니다.

간단히 요약하면 자기 유사성과 자기 순환성을 가지는 도형을 밝히는 학문입니다.



2. 프랙탈의 쓰임새

자연은 멀티프랙탈 구조
일반적인 프랙탈 도형들은 전체를 보아도 그 일부분을 보아도 프랙탈 차원은 똑같다. 코흐곡선 전체의 차원은 약 1.26 이고 그 일부분의 차원도 역시 약 1.26 이다. 이처럼 보통의 프랙탈 도형은 대역적인 차원과 국소적인 차원이 일치한다. 그것은 생성자가 하나였으므로 당연한 일이다. 그러나 만델브로 집합은 대역적인 차원과 국소적인 차원이 다르다. 국소적으로 1.5 차원인 것들을 모아서 만들 전체의 차원은 1.3 이 되는 것이다. 이러한 프랙탈을 멀티프랙탈이라고 한다. 자연의 형태는 대부분 이러한 멀티 프랙탈 구조를 가지고 있다.
번개의 전파는 습도, 기압, 온도, 이온화의 경향 등 여러 조건이 복잡하게 얽혀서 그 경로가 결정되기 때문에 일직선이 아니고 구불구블 진행하며 가지치기를 한다. 그 모습은 불규칙하지만 전체와 가지의 비슷한 구조를 하고 있다.
강은 프랙탈 적이다. 큰 강줄기나 그 지류는 서로 비슷한 분기상태를 하고 있다. 한강의 일부 지류를 큰 강줄기와 비교하면 금방 닯음의 관계을 알 수 있다.


구름의 모양은 다양하지만 공통적으로 통게적인 프랙탈 구조를 갖는다. 뭉게구름도 마찬가리로 프랙탈의 입장에서 볼 수 있으며 실제로 그 차원은 대략 1.35 정도가 된다.
뇌에는 커달란 주름을 자세히 들여다 보면 다시 더 작은 주름이 계속되어 간다. 뇌가 프랙탈 구조를 갖는 이유는 좁은 공간안에 되도록 많은 뇌세포를 배치하기 위해서이다. 뇌의 구조는 2.72~2.79의 차원을 갖는다.
주가의 그래프를 하루 단위 또는 1개월 단위로 그려도 그래프는 같은 정도의 복잡한 모양으로 변화한다. 이것은 시간을 확대 또는 축소해 보아도 변화의 상태가 같다는 것인데 이것은 주가의 변동이 시간에 관해서 프랙탈 적임을 의미한다. 하루동안의 주가 변동이 1개월 후의 주가 변동과 동계적으로 닯은 꼴이라는 것은 내일의 주가를 예상하는 일이 1개월 후의 주가를 예상하는 것만큼이다 어려운 일임을 ?한다.
밤하늘 에 있는 별들의 수는 거의 무한대에 가깝다. 다라서 밤하늘은 대낮보다 밝아야 한다. 그런대 왜 밤하늘은 칠흙처럼 어두운가? 이문제가 바로 '올버스의 역설' 이다. 그 해답은 별의 분포가 프랙탈 구조이기 때문이다. 별군은 여기저기 산재되어 있고 그 별군을 확대해 보면 그와 유사한 구조로 별군이 나타난다. 그리고 확대를 계속하여도 그 유사구조는 한없이 나타난다.

프랙탈의 정의

어떤 물체나 형체의 전체구조 혹은 일부 구조가 그 물체 혹은 형체의 내부에서 끊임없이 반복되는 구조를 가질때 그 물체는 프랙탈 구조를 가지고 있다고 말합니다.  좀더 쉽게 말해서 프랙탈 이란 몇번을 반복해서 확대를 하더라도 전체와 비슷한 구조가 계속 반복되는 그런 구조를 가진 물체를 말합니다.  여기서 주의할 점은 확대의 횟수에는 제한이 없다는 점과 반드시 전체와 똑같은 구조일 필요없다는 점입니다.  즉, 무한히 확대를 한다고 하더라도 전체와 비스무리한 구조가 계속 반복되는 것이죠.

우리가 살고 있는 이 세상의 곳곳에 존재하는 프랙탈

프랙탈 구조를 가지는 물체나 형상들은 우리가 살고 있는 이 세상에 무수히 많이 존재합니다.  단지 그 구조가 너무나 세밀하고 조밀한 부분에 존재하는 경우가 많기 때문에 보통의 눈으로 보면 잘 보이지 않는 경우가 많습니다.  즉, 두눈을 크게 부릅뜨고, 정신을 집중해서 사물을 관찰해야만 합니다.  또한, 많은 경우에 있어서 프랙탈 구조는 겉으로는 평범한 물체같지만, 실제로는 그 물체의 보이지 않는 내면의 세계에 숨어있기 마련입니다.  즉, 우리가 살고 있는 이 세상의 이면의 거의 모든 곳에 프랙탈이 숨어있다라고 말할수가 있습니다.

프랙탈의 예

프랙탈의 예는 딴 한가지만 들겠습니다.  자세한 수학적인 설명은 생략하도록 하지요.

밑의 그림은 만델브로 집합이라는 유명한 프랙탈중의 하나입니다. 

위의 그림에서 흰색테두리로 둘러싸인 부분을 확대시켜 보겠습니다.

어떻습니까?  앞의 그림과 비슷한 구조가 반복되어 나타나지요?  하지만 완전히 똑같진 않군요.  이제 대충 이 그림의 어떤 부분을 확대해도 비슷한 구조가 나오리란 느낌이 드실껍니다.  그래도... 의심이 가실지 모르니 흰 테두리로 둘러싸인 사각형 부분을 다시 확대시켜 보겠습니다. 

정말 놀랍지 않습니까? ^^)/   도대체 만델브로 집합에는 어떤 비밀이 숨어있길래..  이런 이상한 도형들이 끊임없이 반복되어 보이는 것일까요??  불과 5~6년 전까지만 해도, 만델브로 집합은 수학자들만의 영역이었습니다.  그런데, 최근에 만델브로 집합과 거의 흡사한 형태를 가지는 구조를 물리학자들이 실제 실험을 통해 발견했다는 얘길 들었습니다.  결론만을 말씀드리자면,  이러한 만델브로 집합의 프랙탈 구조를 만들어내는 원리는 카오스 이론에 의한 결과입니다.

카오스의 정의

"단기 예측은 가능하지만, 장기 예측은 불가능한 결정론적인 인과율엔 근거하여 만들어지는 준 무작위 현상 (pseudo-random phenomenon)" 을 카오스 현상으로 정의할수 있습니다.

카오스 현상에서의 단기 예측이 가능한 예 (나비 효과)

이해를 돕기위해 카오스 현상과 완벽한 무작위 현상 두개를 비교하여 설명하도록 하겠습니다.

위의 그림을 가만히 살펴보시면, 실험에서 관측된 카오스 현상과 무작위 현상은 겉보기엔 별차이가 없어보입니다. 하지만, 초기의 값을 아주 미세하게 차이를 둬서 카오스의 경우만 다시 실험을 해보도록 하지요.  과연 어떻게 될까요?

그렇습니다.  그림에서 보시는 바와 같이 초기의 조건을 아주 미세하게만 다르게 했을때 바로 앞에서의 관측한 실험 데이터 (이 그림에선 회색 점과 실선으로 연결된 데이터들) 는 새로 관측된 실험 데이터와 비교했을때, 시간의 초기 영역에서는 단기 예측이 가능 하군요.  하지만 어느 순간을 넘어서면 장기 예측이 불가능 해지는 군요.  바로 이런 것이 카오스란 것입니다.  일명 "초기 조건에의 민감성" 혹은 "나비효과" 라고도 하는 것이죠.

반면에 완벽한 무작위 현상이란건, 단기 예측조차도 불가능한 현상 을 말하는 것이겠죠? ^^

카오스와 프랙탈

카오스가 등장하는 곳엔 어김없이 프랙탈이 등장하고, 프랙탈이 등장하는 곳엔 어김없이 카오스가 등장합니다.  즉, 같은 현상의 다른 이름인 셈이죠.  만약, 자연계에 존재하는 새로운 프랙탈을 발견했다면 그 이면에 존재하는 카오스 현상에 대해서 규명해야하고, 반대로, 카오스 현상을 발견했다면 그 이면에 존재하는 프랙탈 구조를 밝혀내야 한다는 말입니다.

어떤 사람은 프랙탈이 좀더 넓은 개념이다,  혹 어떤 사람은 카오스가 좀 더 넓은 개념이다 이런식으로 말할수도 있겠습니다만, 두개의 학문을 모두 제대로 공부한 사람이라면, 반드시 프랙탈과 카오스는 같은 것의 서로 다른 면이다라고 말할수 있어야 한다는 것이지요.  이유인즉, 실제 자연계에 존재하는 모든 프랙탈 형상을 만들어내는 원리는 카오스라는 의미입니다. 

카오스에 나타나는 프랙탈

아래의 그림은 Bifurcation Diagram이라는 건데요,, 카오스를 연구하다보면 많이 등장하는 그림입니다.  난류같은데서 특히 이러한 놀라운 그림들이 많이 발견되고 있습니다.

분명, 앞의 만델브로 집합과 비슷한 유형의 자기 유사성 ( self-similarity ) 가 보이시죠??

그림에서 빨간 테두리로 둘러싸인 부분을 확대해 보겠습니다.

어떻습니까?  앞의 그림과 똑같진 않지만 비슷한 유형의 복잡한 그림이 반복되지요.  이러한 복잡하면서도 놀라운 자기 유사성이 앞의 만델브로 집합처럼 끊임없이 반복됩니다.

언제나 부분이 전체를 닮는 자기 유사성(self-similarity)과 소수(小數)차원을 특징으로 갖는 형상.입니다

그림1은 원래는 삼각형인데 각변을 또 다른 삼각형으로 만들어 다른 도형을 만드는겁니다. 그 또다른삼각형에서 각 변을 삼각형으로 변환시켜 또또다른삼각형을 만드는거구요...

대충이런겁니다.

프랙탈의 특징은

첫째, 자기유사성 (자기와 비슷한 것을 만든다)
둘째, 순환성 ( 위의 일을 계속 반복함)

입니다. 자세하게 예를들어 설명한것은 윗내용이고요.

프랙탈이 실생활에 쓰이는곳은

1.일단 거위털에서 볼수있습니다.

거위털이 프랙탈 구조이기 때문에 공기를 많이 담을수 잇어서

방한용으로 많이 쓰이죠

2.세계를 기준으로 볼때 해안선에서도 볼수 있습니다.

이런말이 있는데요 거인의 발로 걸은 해안선의 길이와 소인국의 사람의 발로 걸은 거리는 다르다. 즉.. 해안선도 프랙탈 구조로 볼수있기때문에 길이가 다른거죠.

3.우리몸을 기준으로 볼때 또 기관지라던지 혈관도 프랙탈 구조입니다.

단순히 보면 하나의 혈관이지만 자세히 보면은 그 혈관에서 여러가닥의 혈관으로 나뉘어져 있고 또 그 혈관들이 다른혈관으로 나뉘어져 있는 모습을 볼수있다고 합니다.

4.눈구조에서도 볼수있는데요

저희가 보는 눈은 단순히 동그라미나 불규칙한 모습일 겁니다.

하지만 그 안을 살펴보면 상당히 규칙적인 모습을 갖추고 있는데

이것도 프랙탈 구조의 일종으로 볼수있습니다

5.또한 번개에서도 볼수있는데요

저희가 보는 번개는 한줄기 혹은 한줄기에서 뻗어나간 모습입니다.

하지만 자세히 찍은 사진을 보면 프랙탈 구조로 보이게 됩니다.

이외에도 구름,뇌,주가,꽃양배추,칸토르 먼지 등등 여러군데에서 볼수있습니다

About Fractal  ( 프렉탈에 대하여 )

 

첫 번째 사진은 진짜 구름사진이다.  그리고 두 번째 , 세 번째 사진은 컴퓨터가 만든 사진이다.  하지안 이 두 사진의 차이는 있다.  두 번째 사진은 컴퓨터를 이용하여 사람이 조작하여 만들었지만 세 번째 사진은 컴퓨터가 스스로 창조한 것이다.  컴퓨터에 어떠한 규칙성을 부여하면 컴퓨터가 스스로 그림을 창조하는 것이다.  그렇다면 그 '규칙'은 어떤 것인가?

구름이나 번개, 유리파편, 겨울철 유리창에 서리는 성애, 비바람에 시달려 꼬부라진 소나무 등 우리를 둘러싸고 있는 자연계에는 복잡하고 불규칙한 모양들로 가득하다.  이러한 다양한 모양에서 어떤 공통점을 찾기는 쉽지 않다.  그러나 수학자 만델브로(Mandelbrot) 는 '프랙탈' 개념을 사용하여 이러한 다양한 모양의 자연현상을 통일관점에서 설명했다.

프랙탈 도형그리기

프랙탈 도형을 만들 때에도 최초의 직선이나 도형이 필요하다.  이것을 창시자(initiator)라고 부른다.  여기에 프랙탈 도형을 만드는 규칙이 주어졌을 때 생긴 도형을 생성자(generator)라고 부른다.  이 생성자를 어떻게 반복하느냐에 따라서 조금씩 다른 프랙탈 도형이 얻어진다.

코흐라인(Koch)

먼저 코흐라인의 생성자는 선분이다.  이 선분을 3등분해서 가운데의 선분을 위로 구부려 올려 만든다.  이렇게 해서 생성자는 길이가 원래 선분의 1/3인 선분 네 개로 이루어진다.  이 생성자를 축소해 가면서 새로 생긴 네 개의 선분과 바꾸어 간다.  이 과정을 무한히 반복하면 코흐곡선을 얻을 수 있다.

프랙탈은 본래 '무한' 개념을 전제로 하고 있다.  프랙탈 도형은 생성자를 무한히 반복하여 얻어지기 때문이다.  이렇게 해서 우리는 무한을 눈으로 똑똑히 볼 수 있게 되었다.  프랙탈은 무한을 기하학적으로 나타내어 다루는 새로은 무한 수학의 탄생을 알린다.

램던코흐라인 (Random Koch)

프랙탈 도형은 약간의 조작의 변화로 매우 다양한 모습이 생성된다.  앞에서 코흐곡선을 만들 때 선분을 3등분하여 가운데 부븐을 꺽어서 위로 솟아오르게 하였다.   이 작업을 각 선분마다 계속 무한의 반복하는 것만으로 프랙탈 도형의 이미지를 얻었다.  그런데 가운데 부분을 꺽어서 위로만 솟아오르게 하지 않고 위와 아래로 번갈아 가며 해보면 아주 판이한 모습이나타난다.  이것은 코흐곡선과는 아주 다른 이미지이다.  마치 어느 해안선의 모습처럼 말이다.

이러한 곡선을 램덤(random) 코흐곡선이라고 부른다.  랜덤 코흐곡선과 보통의 코흐곡선의 차원과 똑같다.  복잡하고 정교한 프랙탈 도형의 특징은 아주 작은 기하학적 변화의 반복에 의하여 생선되는 것이다.  변수의 약간의 오차가 반복되는 알고리즘이 누적되면 전혀 다른 모습의 프랙탈 도형이 만들어진다.

꽃양배추(모란채)

 유럽 원산의 관상용 식물에서 이름을 딴 꽃양배추라는 프랙탈 도형을 만들어 보자. 꽃양배추의 창시자는 수직선분이다.  그리고 생성자는 창시자의 꼭대기에서 그 절반 길이의 두 개의 가지(선분)가 좌우 30도 씩 벌어진 Y 자형을 이룬다.

꽃양배추를 만드는 방법을 약간 고쳐서 가지가 나오는 자리를 바꾸면 나무를 만들 수 있다. 아마 식물의 진화도 이 프랙탈 도형의 변형처럼 DNA 암호코드를 약간 바꿈으로서 이루어지는 것인지 모른다.  그건 어쨌든 나무의 생성자는 가지가 3개로 늘어나고, 위치가 어긋나는 것뿐이다.  여러 가지 나무의 모습은 가지가 벌어지는 각도와 가지의 위치, 그리고 가지의 길이에 의해 결정된다는 것을 알 수 있다.

칸토르 먼지

칸토르 먼지를 만드는 방법은 다음과 같다.  먼저 길이가 1인 선분을 생각하고 그 중에서 중간의 1/3 부분을 제거하고 야쪽 0~1/3, 2/3~1 부분은 그대로 남긴다.

그리고 어러한 것은 무한히 반복하여 아리에 그린다.  이렇게 칸토르 먼지를 만들면먼지에 포함되어 있는 점의 집합이 자연수 전체의 집합보다 더 큰 비가부번의 농도르 갖는다는 것이다.

프랙탈 도형의 특징

프랙탈 도형의 특징은 첫째, 정수차원이 아닌 프랙탈 차원을 갖는다는 점과  둘째, 도형의 어느 부분을 확대하여도 전체의 모습을 볼 수 있는 자기닯음 구조라는 것 그리고 세 번째는 자기닯음 구조에서 유추할 수 있듯이 그 길이가 무한대라는 점이다.

프랙탈 차원

프랙탈 도형의 특징은 프랙탈 차원을 갖는다는 것이다.

도형의 양에는 길이, 면적, 부피 등이 있다.  이러한 여러 가지 양의 크기를 '측도' 라고 한다. 1차원 도형의 측도는 '길이' 이며, 2차원 도형의 측도는 '넓이' 이다.  이처럼 도형은 그 차원에 따라 측도가 달라진다.  차원이 다른 도형을 확대할 때 그 크기, 즉 측도가 달라진다.  예를 들어 일정한 길이의 1차원 도형인 선분을 3배로 확대하면 그 길이는 3배가 된다.  그러나 2차? 도형인 정사각형을 3배로 확대하년 넓이는 9배가 되고, 3차원 정육면체의 경우에는 부피가 27배로 늘어난다.  따라서 차원이란 다음과 같이 말할 수 있다.

차원=(측도)/(확대율)

그러면 코흐라인을 3배 확대하여 보자. 이 때 코흐라인의 측도는 3배가 되었을까? 아니다.  왜냐하면 코흐곡선의 길이는 무한대이기 때문이다. 따라서 3배로 확대해도 여전히 길이는 무한대이기 때문에 무한대를 3배하여도 여전히 무한대인 것이다.  따라서 코흐라인의 경우에는 길이는 의미가 없다.  그래서 코흐곡선은 확대하기 전의 코흐곡선의 일부가 확대된 코흐곡선 속에 몇 개나 들어 있는지를 보고 그것으로 측도를 삼을 수 있다.  왼쪽 그림을 보면 3배로 확대된 코흐곡선에는 원래의 코흐곡선이 4개가 들어 있음을 알 수 있다.  따라서 차원 =(측도)/(확대율)  =4/3 = 1.2618

코흐곡선은 1차원도형도 아니고 2차원도형도 아닌 1.2618 차원을 가진다.

칸토를 먼지를 3배로 확대하면 원래의 칸토르 먼지가 두 개 생간다.  따라서 프랙탈 차원은

log2/log3=0.6309 이다. 이러한 비정수차원을 만델브로는 프렉탈 차원이라고 이름지었다.

자기닮은 구조

프랙탈 도형은 부분의 부분 또 그 부분을 반복해서 확대해가도 도형의 구조는 본질적으로 변하지 않는다.  이와 같이 무한소까지 확대를 하여도 전체와 일치하는 자기 닮음 구조로 되어 있다.  이것은 어느 부분이나 전체를 재구성할 수 있는 정보를 모두 가지고 있음을 뜻한다. 인간의 시각은 직관적으로 프랙탈 차원에서의 질서를 간파할 수 있을 만큼 정교하고 빠르다. 예를 들어 나뭇가지 하나만 보고도 그것이 어떤 나무인지 알 수 있고, 가죽의 일부만 보고도 그것이 호랑이 가죽인지, 고양이 가죽인지 알 수 있다.  

무한대 길이

이등변 삼각형의 두변을 이등분해 보자,  그리고 나눈변의 위쪽 반을 각각 밑변을 향해 꺽어 내린다. 그러면 작은 이등변 삼각형이 생긴다.  이 조작을 새로 생간 이등변 삼각형에 대해서도 똑같이 실행한다. 이러한 조작을 무한히 반복한다.  이 때 이 선분의 길이는 어떤가?  원래의 길이와 똑같다.  이것은 프랙탈 도형과 유사한 것처럼 보이지만 프랙탈 도형이 아니다.

하지만 코흐 곡선은 생성자의 조작을 반복해 나갈수록 길이가 늘어나고 결국에는 길이가 무한대로 발산되어 간다.  과연 이 차이는 어디에서 오는 것인까?  그것은 단순히 2등분해서 반복적으로 꺽어가는 것과 생성자를 복잡하게 방향을 바꾸어 가면서 반복하는 차이에서 나온다.  이 사실은 단순함과 복잡함의 차이를 말하는 것이다.  이등변 삼각형은 단순하게 위 아래로만 교대로 나타나지만, 코흐곡선은 매우 복잡하게 배열되어 있다는 것이다.  뿐만 아니라 반복회수가 거듭될수록 이등변 삼각형과 코흐곡선의 늘어나는 선분의 개수는 크게 차이가 난다.

코흐라인과 칸토르 먼지

코흐라인은 앞서 말했다시피 주어진 선분애서 한 가운데의 1/3을 위로 꺽어 올리는 과정을 무한히 반복하여 만든다. 그런데, 이 코흐곡선에서 위로 솟아로은 부분만을 전부 잘라내고 남은 밑변 부분을 살펴 보면 놀랍게도 바로 칸토르 먼지가 된다.  즉 코흐곡선의 어느 부분에나 칸토르 먼지가 숨어 있다는 이야기이다.

코흐라인의 수학적 의미

2차원의 평면은 복소변수 의 평면 (복수평면)으로 생각할 수 있다.  코흐라인은 다음과 같은 간단한 1차의 축소사상에 대한 자기상사 집합이다.

 ,    

여기서 를  로 잡고

를 만족하는 복소평면의 집합 를 잡으면 가 코흐라인이 된다.

코흐라인의 일반적인 형태는

 ,    

로서 를 만족하는 라는 집합도형을 그린다.

여기서 라는 복소수의 파라미터를 여러 가지로 변화시킴으로서 여러 가지형태의 프랙탈 도형을 그릴 수 있다.

(ⅰ)  a = 0

        b = 0.4+0.5 i

        c = 0

        d = 0.4-0.5 i

(ⅱ)  a = 0.4614+0.4614 i

        b = 0

        c = 0.622-0.196 i

        d = 0

(ⅲ)  a = 0.5+0.5 i

        b = 0

        c = 0.5-0.5 I

        d = 0

(ⅳ)  a = 0

        b = 0.5+0.2887 I

        c = 0

        d = 0.6667

(ⅴ)  a = 0.707 I

        b = 0

        c = 0.5

        d = 0

(ⅵ)  a = 0.4614+0.4614 I

        b = 0

        c = 0

        d = 0.2896-0.585 I

만델브로 집합

가 복소수일 때 하나의 재귀함수 를 생각해보자, 이 복소함수 는 로부터 하나의 복소수열 이 만들어진다.  =,  , ...... ......

복소수는 복소평면에 한 점으로 나타낼 수 있기 때문에 위의 복소수열은 복소평면 상에 하나의 점열로 나타낼 수 있다.  이처럼 복소평면상의 점열이 그리는 시스템을 복소함수 에 의한 '복소역학계'라고 부른다.  이때 이 점열 은 복소함수  라는 법칙에 정해진다.

복소역학계가 만드는 점열은 초기값 에 따라 한 점에 수렴하든지, 아니면 무한대로 발산하는지, 아니면 주기적인 진동이 일어나든지 결정된다. 복소 재귀함수 를 생각해보면 이 함수에 의해 샌기는 점열은 초기치와 함께 상수 값에 따라 다양한 변화를 보인다.  초기값 를 0 으로 고정해 놓고 의 값만을 변화시켜보면 값이 일정범위내에 있을 때 이 복소수열은 한점에 수렴한다.  이 복소함수에서 값의 변동폭을 점점 넓혀가 보면 매우 아름답고 환상적인 모습의 인력권이 나타나게 된다.  프랙탈한 복고편면 성의 인력권을 만델브로 집합이라고 한다.  좀 더 정확히 정의해 보면 를 변화시켜서 이 무한대가 되지 않는 의 집합을 만델브로 집합이라고 한다.

만델브로 집합은 어느 부분을 확대해도 다시 전체의 모습, 즉 매우 조그만 만델브로 집합이 계속해서 나타난다.  따라서 만델브로 집합의 경계의 둘레의 길이는 무한대이다.

 

줄리아 집합

줄리아 집합은 만텔브로 잡합과는 반대로 복소상수 를 고정하고, 의 값을 변화시키면서 수렴하는 점들만을 찾는 것이다.   의 근을 구할 때 뉴턴법에서 3개의 근 주위에 작은 원판을 설정하여 각각의 원판을 두 가지 색, 예를 들면 흑과 백을 칠해둔다.  그리고 1회 에 앞의 점화식을 적용하여 여기에 이 들어가는 의 영역을 흑 또는 백으로 각각 나누어 칠한다.  다시 더 1회 실시하여 가 들어가는 것을 조금 엷은 색을 칠하고 차례차례 칠해가서 언제까지나 색을 칠할 수 없는 집합이 남았을 때, 이것이 줄리아 집합니다.

자연은 멀티프랙탈 구조

일반적인 프랙탈 도형들은 전체를 보아도 그 일부분을 보아도 프랙탈 차원은 똑같다.  코흐곡선 전체의 차원은 약 1.26 이고 그 일부분의 차원도 역시 약 1.26 이다.  이처럼 보통의 프랙탈 도형은 대역적인 차원과 국소적인 차원이 일치한다.  그것은 생성자가 하나였으므로 당연한 일이다.  그러나 만델브로 집합은 대역적인 차원과 국소적인 차원이 다르다.  국소적으로 1.5 차원인 것들을 모아서 만들 전체의 차원은 1.3 이 되는 것이다.  이러한 프랙탈을 멀티프랙탈이라고 한다.  자연의 형태는 대부분 이러한 멀티 프랙탈 구조를 가지고 있다.

번개의 전파는 습도, 기압, 온도, 이온화의 경향 등 여러 조건이 복잡하게 얽혀서 그 경로가 결정되기 때문에 일직선이 아니고 구불구블 진행하며 가지치기를 한다.  그 모습은 불규칙하지만 전체와 가지의 비슷한 구조를 하고 있다.

강은 프랙탈 적이다.  큰 강줄기나 그 지류는 서로 비슷한 분기상태를 하고 있다.  한강의 일부 지류를 큰 강줄기와 비교하면 금방 닯음의 관계을 알 수 있다.

구름의 모양은 다양하지만 공통적으로 통게적인 프랙탈 구조를 갖는다. 뭉게구름도 마찬가리로 프랙탈의 입장에서 볼 수 있으며 실제로 그 차원은 대략 1.35 정도가 된다.  

뇌에는 커달란 주름을 자세히 들여다 보면 다시 더 작은 주름이 계속되어 간다.  뇌가 프랙탈 구조를 갖는 이유는 좁은 공간안에 되도록 많은 뇌세포를 배치하기 위해서이다.  뇌의 구조는 2.72~2.79의 차원을 갖는다.

주가의 그래프를 하루 단위 또는 1개월 단위로 그려도 그래프는 같은 정도의 복잡한 모양으로 변화한다.  이것은 시간을 확대 또는 축소해 보아도 변화의 상태가 같다는 것인데 이것은 주가의 변동이 시간에 관해서 프랙탈 적임을 의미한다.  하루동안의 주가 변동이 1개월 후의 주가 변동과 동계적으로 닯은 꼴이라는 것은 내일의 주가를 예상하는 일이 1개월 후의 주가를 예상하는 것만큼이다 어려운 일임을 ?한다.

밤하늘 에 있는 별들의 수는 거의 무한대에 가깝다.  다라서 밤하늘은 대낮보다 밝아야 한다.  그런대 왜 밤하늘은 칠흙처럼 어두운가?  이문제가 바로 '올버스의 역설' 이다. 그 해답은 별의 분포가 프랙탈 구조이기 때문이다.  별군은 여기저기 산재되어 있고 그 별군을 확대해 보면 그와 유사한 구조로 별군이 나타난다.  그리고 확대를 계속하여도 그 유사구조는 한없이 나타난다.

 카오스의 등장

앞서말한 이등변삼각형을 따라 여행하는 사람이 있다고 가정하자.  이 사람은 나침반을 들고 여행하고 있다.  이 사람이 나침반을 보면 바늘은 두 방향 사이를 되풀이하여 왔다갔다 할 뿐이다.  하지만 코흐곡선을 위를 여행하는 경우에는 나침반이 불규칙적으로 360도 어느 방향으로나 돌아간다.  그리고 그 방향은 전혀 종잡을 수 없다.  패턴이 없다.  코흐곡선은 반복회수를 늘려감에 따라 선분의 수가 폭팔적으로 늘어나며, 그 방향도 종잡을 수 없이 변한다.  정보가 폭팔적으로 증가하는 것이다.  코흐곡선을 아무리 보고 있어도 싫증나지 않는 이유는 파도치는 해변에서 바다를 보는 것처럼 순간마다 조금씩  변하는 그 모양에 수없이 많은 정보가 숨어있기 때문이다.  복잡성과 단순함에는 이처럼 질적 차이가 난다.

프랙탈과 카오스는 종이의 앞뒤면과 같다.  카오스는 얼핏 무질서 그 자체를 뜻하는 것으로 오인하기 쉽다.  그러나 질서와 무질서는 서로가 대립적인 개념이지만 카오스는 그 안에 질서와 무질서의 양면성을 함께 간직하고 있다.  질서란 이성으로 파악할 수 있는 사물의 조리나 순서로 이해되어 왓다.  반면에 무질서는 이해할 수 없는 경우에 따라서는 인간의 이성이 접근할 수 없는 것이었다.

작성자의 게시글 더보기

나눔과더함 그리고 때

불규칙한 눈송이 모양에도 패턴이 있네

◆ 혼돈과 정돈◆

실험실 안의 통제된 환경은 과학적인 법칙이나 원리를 그대로 재현할 수 있습니다. 하지만 우리가 사는 일상생활을 과학적으로 설명하기에는 너무나 복잡하고, 나타나는 현상도 무질서하지요. 특히 구름 모양 같은 기상 현상이 대표적입니다. 또 공기 중에서 연기가 퍼져 나가는 모습이나 물 속에서 잉크가 퍼져 나가는 모습은 일정한 규칙에 의한 것이 아닌, 제멋대로인 것처럼 보입니다. 도대체 여기엔 어떤 과학적인 원리가 숨어 있는 것일까요?

◆ ① 카오스 이론이란

= 카오스 이론의 출발은 '나비효과'라고 부르는 현상의 발견에서 비롯되었습니다. 전문용어로는 '초기 조건에의 민감한 의존성'이라는 개념인데 이를 쉽게 '나비효과'라고 부릅니다. 즉 나비 한 마리가 중국 베이징에서 공기를 살랑거리면 다음달 미국 뉴욕에서 폭풍이 일어날 수도 있다는 것이지요. 자연 속에 숨어 있는 이러한 카오스를 연구하는 새로운 사고방식과 방법이 바로 카오스 이론입니다.

기상학자인 로렌츠는 컴퓨터를 이용해 몇 가지 기상 조건과 운동 방정식을 입력시켜 기상이 어떻게 변하는가를 예측하는 모의실험을 프로그램으로 만들어 보았습니다. 기온과 기압 그리고 풍속 등을 입력시키고 시간에 따른 기후의 변화를 살펴보는 것이었는데, 소수점 이하의 작은 차이를 가진 입력의 결과로 인해 엄청나게 다른 기후들이 나타나는 것을 발견했습니다. 이것은 방법상의 문제가 아니고 기상현상의 근본적인 특성, 즉 카오스적 특성이 있다는 것을 보여 주는 것이었습니다. 달리 말하면 기본적으로 장기 기상 예측은 불가능하다는 것입니다.

그러나 카오스 이론은 과학적인 예측과 추론을 포기하자는 주장을 하지 않습니다. 복잡한 자연현상에도 어떤 보편성이 있는 것이고 그것은 적절한 변수와 방정식을 입력하고 컴퓨터의 엄청난 연산능력을 빌리면 충분히 계산이 가능한 것이라고 봅니다. 혼돈 속에 숨어 있는 질서정연한 자연현상을 밝혀낼 수 있는 가능성을 열어준 카오스 이론은 수학, 물리학, 기상학, 생물학, 의학, 천문학, 경제학 등 여러 분야에 걸쳐 새로운 사고방식의 시초가 됐습니다.

우리가 사는 세상과 자연에서 일어나는 현상을 해석하기 위한 틀은 '카오스'만 있을까요? 자연에서 볼 수 있는 식물이나 광물, 눈꽃송이 등 안에서 우리는 의외의 기하학적 패턴을 발견할 수 있습니다. 만델브로트는 이런 점에 주목해 '프랙탈'에 주목했습니다.

◆ ② 프랙탈 이론이란

= 만델브로트(Mandelbrot)는 1975년 '프랙탈한 대상 모양, 우연, 차원'이라는 책을 출판하면서 프랙탈이라는 개념을 세상에 알렸습니다. 그는 유클리드 기하학이 규칙적이거나 불규칙적인 자연현상을 설명하는 데 한계가 있다는 것을 인식했습니다. 이에 대해 자연을 모델링하는 새로운 도구로서 프랙탈을 소개했지요.

그는 "구름은 구의 일부분이 아니고, 산은 원뿔이 아니며, 해안선은 원의 일부분이 아니다. 여러 자연의 패턴은 불규칙적이다. 자연은 고도로 복잡하고, 복잡한 정도는 모두 다르다"면서 프랙탈에 대한 설명을 시작했습니다. 프랙탈은 전체를 여러 부분으로 나누었을 때 부분 안에 전체의 모습을 갖는 무한 단계에서의 기하적인 도형을 얘기합니다. 결국 유사성과 순환성이라는 특징을 내재하고 있지요. 말델브로트는 프랙탈이 고전적인 유클리드 기하학보다 자연현상을 더 잘 표현할 수 있는 이유로 자기닮음을 들었습니다.

자연현상도 프랙탈을 통해 설명할 수 있습니다. 프랙탈 도형을 만들 때에도 최초의 직선이나 도형이 필요합니다. 이런 간단한 규칙에서 출발해서 복잡한 그림이 만들어지는 것입니다. 나중에 만들어진 도형은 처음의 규칙을 찾을 수 없을 정도로 '아무런 규칙 없이' 또는 '자연스럽게' 만들어진 것처럼 보이게 됩니다. 우리가 자연에서 볼 수 있는 많은 현상도 처음 보면 이렇게 제멋대로인 것처럼 보입니다. 하지만 그 안에는 규칙성이 숨어 있을 수 있지요.

◆ ③ 프랙탈 도형 만들어 보기

= 일정한 규칙에 의해서 도형을 그리는 방법 중 하나가 코흐 라인입니다. 코흐 라인은 가장 단순한 도형인 직선에서 출발해서 규칙을 정하고 그 규칙을 계속 반복해서 도형을 그려 나갑니다. 이러한 도형이 어떤 모습을 보일까요.

코흐 라인을 직접 한번 그려봅시다. 우선 선분을 3등분해서 가운데의 선분을 위로 구부려 올려 만듭니다. 이렇게 해서 만든 도형은 길이가 원래 선분의 3분의 1인 선분 네 개로 된 삼각형 모양으로 만들어집니다. 각각의 선분을 이 규칙에 맞게 바꾸어 주는 과정을 무한히 반복하면 코흐 곡선을 얻을 수 있습니다. 여러분이 그린 코흐 곡선을 보면 어떤 생각이 드나요. 눈송이를 확대해서 본 모양과 유사하지요? 실제로 눈송이 모양은 자연이 스스로 만든 기하학적인 모양으로 유명합니다. 실제 자연현상을 프랙탈로 표현하는 것 중에서 가장 기본적인 모습을 보여줄 때 눈송이 모양으로 프랙탈 원리의 도입을 시작하곤 합니다.

◆ ④ 프랙탈로 예술을?

= 프랙탈의 정의에서도 볼 수 있듯이 겉으로 보기에는 아주 복잡한 모양들 속에는 간단한 원리가 숨어 있습니다.

하지만 기본적인 규칙이라도 수십 번 반복되는 형태를 그림으로 표현하는 것을 직접 손으로 하는 것은 쉽지 않습니다. 그래서 이를 컴퓨터 프로그램을 통해 그리는 것이 가장 일반적입니다.

프랙탈 아트는 기존의 예술 형식을 초월한 새로운 예술행위로 신기한 패턴과 무늬로 사람들의 흥미를 일회적으로 자극하는 데 그치는 것이 아닙니다.

프랙탈 아트는 4C-혼돈(Chaos), 컴퓨터(Computer), 창조성(Creativity), 의사소통(Communication)-라고 불리며 하나의 예술로 자리 잡아가고 있습니다.

[출처] 프렉탈 이론|작성자 허주상

[출처] 프랙탈의 정의 (나눔과더함 그리고 때{Segment+Momentum<Timing=On Demand}) |작성자 처음과끝