Re:이상적분인데요...도와주세요~

[단무깡]

∫(1~∞)(1/x)sin(1/x) dx = ???

1/x = t 로 치환하면 위의 적분은

∫(0~1) sin(t)/t dt

지요.

사인적분이라고 부르는 특수 함수가 있습니다.

Si(x) = ∫(0~x) sin(t)/t dt

로 정의 되는데 적분계산은 테일러 전개를 이용합니다.

sin(t) = t - t^3/3! + t^5/5! .....

로 전개시키면 위의 적분은

∫(0~x) [1 - t^2/3! + t^4/5! .....] dx

= x - x^3/(3*3!) + x^5/(5*5!) .....

= ∑ (-1)ⁿx^(2n+1)/[(2n+1)*(2n+1)!] (단,sum 은 n=0,1,2...∞)

<수렴 반경>

lim(n->∞) |a_(n+1)|/|a_n| < 1

의 조건을 이용하면 수렴반경이 무한대임을 알 수 있습니다.

x=1 대입하면

= 1 - 1/(3*3!) + 1/(5*5!) .... = 대략 0.9461


좀더 나가면

sin(t)/t 의 라플라스 변환은 다음과 같습니다.

L(s) = ∫(0~∞) [sin(t)/t]exp(-st) dt = acot(s)

s=0 대입하면

L(0) = ∫(0~∞) [sin(t)/t] dt = acot(0) = pi/2

즉,

Si(∞) = ∫(0~∞) sin(t)/t dt = pi/2

의 결과를 얻습니다.

Si(x) 의 여함수(complementary function) 라고 해서

si(x) = Si(∞) - Si(x) = pi/2 - Si(x) = ∫(x~∞) sin(t)/t dt

로 정의합니다.

∫(x~∞) sin(t)/t dt 의 적분은 pi/2 - Si(x) 를 이용한다는거지요.

이와 관련해서 코사인 적분

ci(x) = ∫(x~∞) cos(t)/t dt

지수 적분

Ei(x) = ∫(x~∞) exp(-t)/t dt

로그 적분

li(x) = ∫(0~∞) dt/ln(t)

도 있습니다.

[밝히리]

Arfken 책에서 많이 본 듯한 ~.~ ; 역시... 이런거 다루어 본 사람은 대답하는 것이 다르군요 ㅋㅋ 치환적분한다는 생각은 못했습니다. 그렇게 식을 바꾸면 정적분이 존재한다는 것이 자명해 지는군요.