Re:선형대수 질문입니당..

[단무깡]

문제는.. 행렬 A (n×n 행렬) 가 positive definite 이면 e^A도 positive definite 임을 보여라..

<Thm 1> 행렬 A가 positive definite ⇔ det A_i >0

(여기서 i = n 이면 det A_i = det A 가 되는거져..)

<Thm 2> det e^A = e^(trA)

(증명은 대각화를 이용하면 됩니다..)

따라서 정리 두개를 이용하면..

det (e^A) = e^(trA) >0 (∵ trA ∈ R(실수) )

∴ e^A는 positive definite 이다..
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A 가 symmetric 일 때, positive definite 가 되기 위한 필요충분 조건은 모든 principle submatrix 의 행렬식이 positive 가 되어야 한다입니다. 그 표현이 det A_i >0 인 듯합니다. 그렇다면

det (e^A)_i > 0 ( i = 1,2,3...n) 임을 보여야 하는데 i=n 인 경우만 det (e^A)_n > 0
임을 보였으니까 틀렸는거 아닐까요?

이 문제의 경우 positive definite 이기 위한 또다른 필요충분 조건, A 의 모든 고유값이 positive 다는 것을 이용합니다.

A 가 positive definite 이므로 A 의 고유값이 모두 positive 입니다. 즉

Ax_n = λ_n*x_n 에서 λ_n > 0

한편 e^A 는 A 와 교환법칙이 성립하므로 동시 고유벡터를 가집니다. 즉 A 의 고유벡터가 역시 e^A 의 고유벡터가 된다는 것이지요.

증명은 간단하지요.

Ax = λx

의 좌측양변에 e^A 곱하면

(e^A)Ax = λ(e^A)x

교환법칙이 성립하니깐

A[(e^A)x] = λ[(e^A)x]

Ax = λx 와 비교해보면

즉 (e^A)x 역시 A 의 고유벡터이기 때문에 x 의 적당한 상수배로 표현 됩니다. 즉

(e^A)x = μx

이거는 e^A 에 대한 고유값 방정식이죠. x 가 A 의 고유벡터였는데 역시 e^A 의 고유벡터가 된다는 소리죠.


Taylor 전개에 의해

e^A = E + A + A^2/2 + A^3/3! +....

즉

(e^A)x = (E + A + A^2/2 + A^3/3! +....)x

Ax = λx 를 이용하면 간단히

= (1+ λ+λ^2/2 + λ^3/3! +....)x

= (e^λ)x

즉

A 의 고유값이 λ 라면 e^A 의 고유값은 e^λ 입니다.

즉 e^A 의 고유값, e^λ > 0 이므로 positive 조건을 만족합니다.

[장구니]

헉~! 그런 실수를 하다니.. ㅡㅡ^ 근데 님께서 풀어주신 정리는 저희가 안 배운 정리네여.. 교수님께선 우리가 배운 정리로 풀어주셨거든여.. 암튼.. 이것도 참고해야겠어여.. 감사합니다~! ^^

[단무깡]

교수님께서 풀어 주신 풀이법 가르쳐 주세요. 저도 사실은 positive definite 부분은 생소하거든요.

[장구니]

메일로 보내드렸습니다.. ^^