Re:Fresnel integral

int(sin(x^2)dx, x=0..∞) = sqrt(2pi)/4 임을 어떻게 증명해야 할까요? int는 적분을 의미합니다. 즉, sin(x^2)을 x=0에서 x=무한대까지 적분하는 문제입니다. ======================================= 위의 문제가 바로 아래에 올렸던 문제입니다. 이 문제에 대해, homeomorphic님께서는, "int(exp(z^2)) 을 생각하시고 contour는 0부터 Pi/4까지의 반지름이 R인 부채꼴을 생각하시고 R을 무한대로 보내시면 원하는 결과를 얻을 수 있습니다."라고 답변해 주셨습니다. 여기에 대하여 몇가지 질문이 있습니다. ..................................................................... 1) 정확히 int(sin(x^2))과 int(exp(z^2))의 컨투어 적분은 어떤 관계를 가지게 됩니까? exp(z^2) 이 아니고 exp(-z^2) 을 택해야 할겁니다. exp(-iθ) = cos(θ) -isin(θ) 의 관계가 있으므로 sin 보다 다루기 쉬운 지수함수를 도입 하고 결과를 볼때는 허수부분만 관찰하면 되겠지요. 2) 저 컨투어는 원의 1/8인 부채꼴이 맞습니까? 맞습니다. 1사분면에 있고 부채꼴의 한 변은 x 축과 붙어 있으며 부채꼴의 반경은 R , θ = pi/4 입니다. 나중에 R 은 무한대로 보내게 됩니다. 3) 좀더 자세한 과정이 알고 싶습니다. 정확히 어떤 과정이 필요한 것입니까? 0 ~∞의 적분구간이 주어지면 복소적분과 라플라스 변환을 생각해 볼 수 있겠습니 다. C = ∫(0~∞)cos(x^2) dx , S = ∫(0~∞)sin(x^2) dx 로 두면 C - iS = ∫(0~∞) exp(-ix^2) dx (√i)x = x*exp(i*pi/4) = z 로 두면 , x가 0 ~∞ 일 때 z = 0 ~∞ , 단 z 는 실부와 허부 가 같게 설정되어 있으므로 y=x 축을 따르지요. 그러니 z 로 변수 변환하면 C-iS = exp(-i*pi/4)∫(line,θ=pi/4,->) exp(-z^2) dz ( '->' 는 경사진 y=x 를 올라감) ∫(line,θ=pi/4,->) exp(-z^2) dz 을 계산하기 위해 1/8 인 부채꼴을 contour 로 택합니 다. 코시적분 정리에 의해 해석적인 함수 f(z) 의 한바퀴 적분은 0 입니다. exp(-z^2) 은 복소평면 모든 곳에서 해석적인 함수이므로 부채꼴을 따라 반시계로 한바퀴 적분 시키면 0 입니다. 즉 ∫(한바퀴) exp(-z^2) dz = ∫(x축,0~R) exp(-z^2) dz +∫(부채꼴호) exp(-z^2) dz + ∫(line,θ=pi/4,<-) exp(-z^2) dz ( cf: <- 는 경사진 y=x 를 내려감) 여기서 부채꼴호의 적분은 R 이 무한대로 가게 되므로써 0 이 되어버립니다. 이유인즉 부채꼴호에선 z= R*exp(iθ) 로 표현되며, dz = R*i*exp(iθ)dθ, 대입하면 ∫(부채꼴호) exp(-z^2) dz = ∫(0~pi/4) exp(-R²e^(2iθ))*R*i*exp(iθ)dθ 피적분함수에 R/exp(R²*e^(2iθ)) 가 있지요. R 이 무한대가 되면 0 이 되어버리겠지요. 남은 것은 x 축 적분과 (line ,θ=pi/4) 입니다. 정리하면 lim(R->∞)∫(x축,0~R) exp(-z^2) dz = ∫(line,θ=pi/4,->) exp(-z^2) dz 구하고자 하는 적분 값은 우변인데 좌변을 보고 구할 수 있죠. 좌변은 x 축 상을 따르므로 z= x 이고 ∫(x축0~∞) exp(-x^2)dx = root(pi)/2 그러므로 C-iS = exp(-i*pi/4)∫(line,θ=pi/4,->) exp(-z^2) dz = exp(-i*pi/4)*(√pi)/2 ∴ S = √(pi/8) 좀 더 간단하게 라플라스 변환을 이용하는 것이지요. ( 앞으로 ∫ 의 적분 구간은 0~∞ 입니다.) S = ∫sin(x^2) dx x^2 = t 로 변수변환하면 S = (1/2)∫sin(t)/(√t) dt ( 참고로 sin(t)/(√t) 는 Bessel 미분방정식 x²y" +xy' +(x²-1/4)y =0 의 해입니다.) 1/2 은 나중에 계산하고 적분 부분만 봅시다. 피적분함수에 exp(-st) 만 곱하면 라플라스 변환이지요. 즉, 적분값을 구하기 위해 sin(t)/(√t) 의 라플라스 변환을 이용합니다. sin 보다 지수함수가 다루기 쉬우므로 exp(it)/(√t) 의 라플라스 변환을 다룹시다. L(s) = ∫exp(-st)*exp(it)/(√t) dt = ∫exp(-(s-i)t)/(√t) dt 여기서 s=0 대입하고 허수부분만 취하면 구하고자 하는 적분값을 얻을 수 있겠습니다. s-i = u 로 치환하면 L(u+i) = ∫exp(-ut)/(√t) dt 우변은 t^a 꼴의 라플라스 변환이지요. 관례적으로 쓰던 문자 s 대신 u 를 쓴 것 뿐입니다. t^a 의 라플라스 변환은 Γ(a+1)/u^(a+1) a = -1/2 대입하면 1/√t 의 라플라스 변환은 Γ(1/2)/u^(1/2) u=s-i 였으므로 L(s) = Γ(1/2)/(s-i)^(1/2) s= 0 대입하고 Γ(1/2) = √pi, (-i)^(1/2) = exp(-i*pi/4) 이므로 L(0) = √pi*exp(-i*pi/4) 이 값의 허수부분이 ∫sin(t)/(√t) dt 죠. 그리고 S 는 이 값의 절반이죠. ∴ S = √(pi/8)