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n dimension manifold 가 정확히 무엇을 말하는 건지 모르겠습니다.
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예를 들어 반경이 r 인 구의 표면에 대한 patch 는 다음과 같습니다.
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x = rsinθcosΦ
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y = rsinθsinΦ
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z = rcosθ
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( r=일정 , 0<θ<pi,0<Φ<2*pi )
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그럼 구의 표면 자체를 2차원 manifold 라고 하는건지, 아님 θ,Φ 영역을 2차원 manifold
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라고 하는건가요?
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그리고 구의 표면 위에서 Φ=2θ ( 0<θ<pi)를 만족하는 선은 다음과 같습니다.
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x = rsinθcos2θ
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y = rsinθsin2θ
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z = rcosθ
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그럼 이 선 자체를 1차원 manifold 라고 하는건가요, 아님 θ 영역 자체를 1차원 manifold
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라고 하는건가요?
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문제는 대부분의 경우 한 장으로 도형 전체를 표시할 수 있는 지도를 만들 수 없다는 건데요, (구면에서도 구면 전체를 덮는 지도를 만드는 것은 불가능하지요) 이를 극복하기 위해 여러 장의 지도가 필요한 거고, 적당한 compatible condition이 필요한 겁니다.
첫댓글 'θ,Φ 영역'이 무엇을 뜻하는 거지요? 표면 자체를 2차원 manifold로 보는 것과 저 영역을 manifold로 보는 것이 각각 어떠한 의미로 말씀하신 것인지를 보다 구체적으로 묘사해 주세요.
θ,Φ 영역은 mapping 되기 전의 영역이고 표면 자체는 mapping 된 후의 영역이라고 보면 됩니다.
결국 manifold라고 보고 싶은 것은 위의 경우에는 구면입니다. 그리고 θ,Φ 영역은 비유를 들자면 구면의 일부의 '지도(map)'라고 할 수 있겠지요. 말하자면 manifold는, 도형과 '지도 몇 장'으로 구성된 세트라고 보면 됩니다.
문제는 대부분의 경우 한 장으로 도형 전체를 표시할 수 있는 지도를 만들 수 없다는 건데요, (구면에서도 구면 전체를 덮는 지도를 만드는 것은 불가능하지요) 이를 극복하기 위해 여러 장의 지도가 필요한 거고, 적당한 compatible condition이 필요한 겁니다.
그렇군요.한가지 더 질문해도 될까요? torus 의 경우 torus 표면 전체를 cover 할 수 있는 최소한의 patch 는 몇개인가요? 구면의 경우는 2개가 맞나요?
torus는 S^1 × S^1 이므로 생각해보세요.
3개인가요? 잘 모르겠네요.,
product manifold를 정의할때 미분구조를 주는 방법을 생각해보면 됩니다. 그냥 각각 미분구조의 product으로 주게되죠. 4개